Cilindrisch coördinatensysteem, verandering en oefeningen

De cilindrische coördinaten ze dienen om punten in een driedimensionale ruimte te lokaliseren en bestaan ​​uit een radiale coördinaat ρ, een azimutale coördinaat φ en een hoogtecoördinaat z.

Een punt P. gelegen in de ruimte wordt orthogonaal op het vlak geprojecteerd XY aanleiding geven tot het punt P ' in dat vliegtuig. De afstand van de oorsprong tot het punt P ' definieert de coördinaat ρ, terwijl de hoek gevormd door de as X met de straal OP ' definieert de coördinaat φ. Eindelijk de coördinaat z is de orthogonale projectie van het punt P. op de as Z. (zie figuur 1).

De radiale coördinaat ρ is altijd positief, de azimutale coördinaat φ varieert van nul radialen tot twee pi radialen, terwijl de z-coördinaat elke reële waarde kan aannemen:

0 ≤ ρ < ∞

0 ≤ φ < 2π

- ​ < z < + ∞

Artikel index

• 1 Coördinatenwijziging
  • 1.1 Vectorbasis in cilindrische coördinaten
• 2 voorbeelden
  • 2.1 Voorbeeld 1
  • 2.2 Voorbeeld 2
• 3 Opgeloste oefeningen
  • 3.1 Oefening 1
  • 3.2 Oefening 2
  • 3.3 Oefening 3
  • 3.4 Oefening 4
• 4 referenties

Verandering van coördinaten

Het is relatief eenvoudig om de cartesiaanse coördinaten (x, y, z) van een punt P te bepalen uit de cilindrische coördinaten (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ zonde (φ)

z = z

Maar het is ook mogelijk om de poolcoördinaten (ρ, φ, z) te verkrijgen uitgaande van de kennis van de cartesiaanse coördinaten (x, y, z) van een punt P:

ρ = √ (x^twee + Y^twee​

φ = arctan (y / x)

z = z

Vectorbasis in cilindrische coördinaten

De basis van cilindrische eenheidsvectoren is gedefinieerd Uρ, Uφ, Uz.

De vector Uρ raakt aan de lijn φ = ctte en z = ctte (radiaal naar buiten wijzend), de vector Uφ raakt aan de lijn ρ = ctte en z = ctte en tenslotte Uz heeft dezelfde richting van de Z-as.

In de cilindrische eenheidsbasis, de positievector r van een punt P wordt vectorieel als volgt geschreven:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Aan de andere kant, een oneindig kleine verplaatsing dr vanaf punt P wordt het als volgt uitgedrukt:

dr = dρ Uρ + ρ dφ  Uφ + dz Uz

Evenzo is een oneindig klein element van volume dV in cilindrische coördinaten:

dV = ρ dρ dφ dz

Voorbeelden

Er zijn talloze voorbeelden van het gebruik en de toepassing van cilindrische coördinaten. In cartografie, bijvoorbeeld, de cilindrische projectie, precies gebaseerd op deze coördinaten. Er zijn nog meer voorbeelden:

voorbeeld 1

Cilindrische coördinaten hebben toepassingen in de technologie. Als voorbeeld hebben we het CHS-systeem (Cylinder-Head-Sector) voor het lokaliseren van gegevens op een harde schijf, die eigenlijk uit meerdere schijven bestaat:

- De cilinder of het spoor komt overeen met de coördinaat ρ.

- De sector komt overeen met de positie φ van de schijf die hoog draait hoeksnelheid.

- De kop komt overeen met de z-positie van de leeskop op de bijbehorende schijf.

Elke byte aan informatie heeft een nauwkeurig adres in cilindrische coördinaten (C, S, H).

Voorbeeld 2

Bouwkranen leggen de positie van de last vast in cilindrische coördinaten. De horizontale positie wordt bepaald door de afstand tot de as of pijl van de kraan ρ en door zijn hoekpositie φ ten opzichte van een referentieas. De verticale positie van de last wordt bepaald door de z-coördinaat van de hoogte.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Er zijn punten P1 met cilindrische coördinaten (3, 120º, -4) en punt P2 met cilindrische coördinaten (2, 90º, 5). Vind de Euclidische afstand tussen deze twee punten.

Oplossing: Eerst gaan we verder met het vinden van de Cartesiaanse coördinaten van elk punt volgens de bovenstaande formule.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

De Euclidische afstand tussen P1 en P2 is:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5))^twee+(2 - 2,60)^twee+(5 - (- 4))^twee ​

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Oefening 2

Punt P heeft cartesische coördinaten (-3, 4, 2). Zoek de overeenkomstige cilindrische coördinaten.

Oplossing: We gaan verder met het vinden van de cilindrische coördinaten met behulp van de bovenstaande relaties:

ρ = √ (x^twee + Y^twee) = √ ((- 3)^twee + 4^twee) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Er moet aan worden herinnerd dat de arctangensfunctie meerwaardig is met een periodiciteit van 180 °. Ook moet de hoek φ tot het tweede kwadrant behoren, aangezien de x- en y-coördinaten van punt P in dat kwadrant liggen. Dit is de reden waarom bij het resultaat φ 180º is opgeteld.

Oefening 3

Uitdrukken in cilindrische coördinaten en in cartesiaanse coördinaten het oppervlak van een cilinder met straal 2 en waarvan de as samenvalt met de Z-as.

Oplossing: het is duidelijk dat de cilinder een oneindige verlenging heeft in de z-richting, dus de vergelijking van het genoemde oppervlak in cilindrische coördinaten is:

ρ = 2

Om de cartesiaanse vergelijking van het cilindrische oppervlak te verkrijgen, wordt het kwadraat van beide leden van de vorige vergelijking genomen:

ρ^twee = 4

We vermenigvuldigen beide leden van de vorige gelijkheid met 1 en passen de fundamentele trigonometrische identiteit (sen^twee(φ) + cos^twee(φ) = 1):

1 * ρ^twee = 1 * 4

(sen^twee(φ) + cos^twee(φ)) * ρ^twee = 1 * 4

Het haakje is ontwikkeld om te verkrijgen:

(ρ sin (φ))^twee + (ρ cos (φ))^twee = 4

We herinneren ons dat het eerste haakje (ρ sin (φ)) de y-coördinaat is van een punt in poolcoördinaten, terwijl de haakjes (ρ cos (φ)) de x-coördinaat voorstelt, zodat we de vergelijking van de cilinder in cartesiaanse coördinaten​

Y^twee + X^twee = 2^twee

De vorige vergelijking moet niet worden verward met die van een cirkel in het XY-vlak, want in dit geval zou het er als volgt uitzien: y^twee + X^twee = 2^twee ​z = 0.

Oefening 4

Een cilinder met straal R = 1 m en hoogte H = 1 m heeft zijn massa radiaal verdeeld volgens de volgende vergelijking D (ρ) = C (1 - ρ / R) waarbij C een constante is met de waarde C = 1 kg / m³. Vind de totale massa van de cilinder in kilogram.

Oplossing: Het eerste is om te beseffen dat de functie D (ρ) de volumetrische massadichtheid vertegenwoordigt, en dat de massadichtheid wordt verdeeld in cilindrische schalen met afnemende dichtheid van het midden naar de periferie. Een oneindig klein volume-element volgens de symmetrie van het probleem is:

dV = ρ dρ 2π H

Daarom zal de oneindig kleine massa van een cilindrische schaal zijn:

dM = D (ρ) dV

Daarom wordt de totale massa van de cilinder als volgt uitgedrukt welomlijnde integraal​

M = ∫_of^R D (ρ) dV = ∫_of^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π H C ∫_of^R (1 - ρ / R) ρ dρ

De oplossing van de aangegeven integraal is niet moeilijk te verkrijgen, met als resultaat:

​_of^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R^twee

Door dit resultaat op te nemen in de uitdrukking van de massa van de cilinder, verkrijgen we:

M = 2π H C (⅙) R^twee = ⅓ π H C R^twee ​

 ⅓ π 1 m * 1 kg / m³* 1m^twee = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Referenties

1. Arfken G en Weber H. (2012). Wiskundige methoden voor natuurkundigen. Een uitgebreide gids. 7e editie. Academische pers. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Berekening cc. Opgeloste problemen van cilindrische en sferische coördinaten. Hersteld van: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Cilindrische coördinaten." Van MathWorld-A Wolfram Web. Hersteld van: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Cilindrisch coördinatensysteem. Hersteld van: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Vectorvelden in cilindrische en sferische coördinaten. Hersteld van: en.wikipedia.com