De veeltermvergelijkingen Ze zijn een verklaring die de gelijkheid van twee uitdrukkingen of leden verhoogt, waarbij ten minste een van de termen die aan elke kant van de gelijkheid deel uitmaken, veeltermen P (x) zijn. Deze vergelijkingen worden genoemd naar de mate van hun variabelen.
In het algemeen is een vergelijking een bewering die de gelijkheid van twee uitdrukkingen vaststelt, waarbij in ten minste één daarvan onbekende grootheden voorkomen, die variabelen of onbekenden worden genoemd. Hoewel er veel soorten vergelijkingen zijn, worden ze over het algemeen in twee typen ingedeeld: algebraïsch en transcendentaal..
Polynoomvergelijkingen bevatten alleen algebraïsche uitdrukkingen, die een of meer onbekenden in de vergelijking kunnen hebben. Afhankelijk van de exponent (graad) die ze hebben, kunnen ze worden ingedeeld in: eerste graad (lineair), tweede graad (kwadratisch), derde graad (kubiek), vierde graad (kwartiek), graad groter dan of gelijk aan vijf en irrationeel.
Artikel index
Polynoomvergelijkingen zijn uitdrukkingen die worden gevormd door een gelijkheid tussen twee veeltermen; dat wil zeggen door de eindige sommen van vermenigvuldigingen tussen waarden die onbekend zijn (variabelen) en vaste getallen (coëfficiënten), waarbij de variabelen exponenten kunnen hebben, en hun waarde kan een positief geheel getal zijn, inclusief nul.
De exponenten bepalen de mate of het type vergelijking. De term van de uitdrukking met de exponent met de hoogste waarde vertegenwoordigt de absolute graad van de polynoom.
Polynoomvergelijkingen worden ook wel algebraïsch genoemd, hun coëfficiënten kunnen reële of complexe getallen zijn en de variabelen zijn onbekende getallen die worden weergegeven door een letter, zoals: "x".
Als u een waarde vervangt voor de variabele 'x' in P (x), is het resultaat gelijk aan nul (0), dan wordt gezegd dat die waarde voldoet aan de vergelijking (het is een oplossing), en wordt doorgaans de wortel van het polynoom genoemd.
Bij het ontwikkelen van een polynoomvergelijking wil je alle wortels of oplossingen vinden.
Er zijn verschillende soorten polynoomvergelijkingen, die worden gedifferentieerd op basis van het aantal variabelen en ook op basis van de mate van hun exponent.
Dus de polynoomvergelijkingen -waar de eerste term een polynoom is met een enkele onbekende, gezien het feit dat de graad een natuurlijk getal (n) kan zijn en de tweede term nul is-, kunnen als volgt worden uitgedrukt:
naarn * Xn + naarn-1 * Xn-1 +… + A1 * X1 + naar0 * X0 = 0
Waar:
- naarn, naarn-1 nu al0, zijn echte coëfficiënten (getallen).
- naarn is anders dan nul.
- De exponent n is een positief geheel getal dat de graad van de vergelijking vertegenwoordigt.
- x is de variabele of onbekende waarnaar moet worden gezocht.
De absolute of hogere graad van een polynoomvergelijking is de exponent met de hoogste waarde van al degenen die het polynoom vormen; dus de vergelijkingen worden geclassificeerd als:
Eerstegraads polynoomvergelijkingen, ook wel lineaire vergelijkingen genoemd, zijn die waarbij de graad (de grootste exponent) gelijk is aan 1, de polynoom de vorm P (x) = 0 heeft; en het is samengesteld uit een lineaire en een onafhankelijke term. Het is als volgt geschreven:
bijl + b = 0.
Waar:
- a en b zijn reële getallen en a ≠ 0.
- bijl is de lineaire term.
- b is de onafhankelijke term.
De vergelijking 13x - 18 = 4x.
Om lineaire vergelijkingen op te lossen, moeten alle termen die de onbekende x bevatten worden doorgegeven aan de ene kant van de gelijkheid, en degenen die dat niet hebben, moeten naar de andere kant worden verplaatst om het op te lossen en een oplossing te krijgen:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2.
De gegeven vergelijking heeft dus maar één oplossing of wortel, namelijk x = 2.
Tweede graads polynoomvergelijkingen, ook wel kwadratische vergelijkingen genoemd, zijn die waarin de graad (de grootste exponent) gelijk is aan 2, de polynoom de vorm P (x) = 0 heeft en is samengesteld uit een kwadratische term, een lineaire en een onafhankelijke. Het wordt als volgt uitgedrukt:
bijltwee + bx + c = 0.
Waar:
- a, b en c zijn reële getallen en a ≠ 0.
- bijltwee is de kwadratische term en "a" is de coëfficiënt van de kwadratische term.
- bx is de lineaire term en "b" is de coëfficiënt van de lineaire term.
- c is de onafhankelijke term.
Over het algemeen wordt de oplossing voor dit soort vergelijkingen gegeven door x uit de vergelijking op te lossen, en het is als volgt, die resolvent wordt genoemd:
Daar, (btwee - 4ac) wordt de discriminant van de vergelijking genoemd en deze uitdrukking bepaalt het aantal oplossingen dat de vergelijking kan hebben:
- Ja btwee - 4ac) = 0, de vergelijking heeft een enkele oplossing die dubbel is; dat wil zeggen, het zal twee gelijke oplossingen hebben.
- Ja btwee - 4ac)> 0, heeft de vergelijking twee verschillende reële oplossingen.
- Ja btwee - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).
We hebben bijvoorbeeld de vergelijking 4xtwee + 10x - 6 = 0, identificeer om het op te lossen eerst de termen a, b en c, en vervang deze vervolgens in de formule:
a = 4
b = 10
c = -6.
Er zijn gevallen waarin de tweedegraads polynoomvergelijkingen niet alle drie de termen hebben, en daarom worden ze op een andere manier opgelost:
- In het geval dat de kwadratische vergelijkingen niet de lineaire term hebben (d.w.z. b = 0), wordt de vergelijking uitgedrukt als axtwee + c = 0. Los op voor x om het op te lossentwee en de vierkantswortels worden op elk lid toegepast, waarbij we bedenken dat de twee mogelijke tekens die het onbekende kan hebben, in overweging moeten worden genomen:
bijltwee + c = 0.
Xtwee = - c ÷ a
Bijvoorbeeld 5 xtwee - 20 = 0.
5 xtwee = 20
Xtwee = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
X1 = 2.
Xtwee = -2.
- Als de kwadratische vergelijking geen onafhankelijke term heeft (dat wil zeggen, c = 0), wordt de vergelijking uitgedrukt als axtwee + bx = 0. Om het op te lossen, moeten we de gemeenschappelijke factor van de onbekende x in het eerste lid nemen; Aangezien de vergelijking gelijk is aan nul, is het waar dat ten minste één van de factoren gelijk is aan 0:
bijltwee + bx = 0.
x (bijl + b) = 0.
U moet dus:
x = 0.
x = -b ÷ a.
Bijvoorbeeld: we hebben de vergelijking 5xtwee + 30x = 0. Eerste factor:
5xtwee + 30x = 0
x (5x + 30) = 0.
Er worden twee factoren gegenereerd die x en (5x + 30) zijn. Aangenomen wordt dat een van deze gelijk is aan nul en dat de andere een oplossing krijgt:
X1 = 0.
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30 ÷ 5
Xtwee = -6.
Polynoomvergelijkingen van hogere graad zijn die die vanaf de derde graad gaan en die kunnen worden uitgedrukt of opgelost met de algemene veeltermvergelijking voor elke graad:
naarn * Xn + naarn-1 * Xn-1 +… + A1 * X1 + naar0 * X0 = 0
Dit wordt gebruikt omdat een vergelijking met een graad groter dan twee het resultaat is van het ontbinden van een polynoom; dat wil zeggen, het wordt uitgedrukt als de vermenigvuldiging van polynomen van graad één of hoger, maar zonder echte wortels.
De oplossing van dit type vergelijkingen is direct, omdat de vermenigvuldiging van twee factoren gelijk is aan nul als een van de factoren nul (0) is; Daarom moet elk van de gevonden polynoomvergelijkingen worden opgelost door elk van de factoren gelijk aan nul te stellen.
We hebben bijvoorbeeld de derdegraads (kubieke) vergelijking x3 + Xtwee +4x + 4 = 0. Om het op te lossen, moeten de volgende stappen worden gevolgd:
- De termen zijn gegroepeerd:
X3 + Xtwee +4x + 4 = 0
(X3 + Xtwee ) + (4x + 4) = 0.
- De leden worden ontbonden om de gemeenschappelijke factor van het onbekende te krijgen:
Xtwee (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(Xtwee + 4)(x + 1) = 0.
- Op deze manier worden twee factoren verkregen, die gelijk moeten zijn aan nul:
(Xtwee + 4) = 0
(x + 1) = 0.
- Het is te zien dat de factor (xtwee + 4) = 0 heeft geen echte oplossing, terwijl de factor (x + 1) = 0 wel. Dus de oplossing is:
(x + 1) = 0
x = -1.
Los de volgende vergelijkingen op:
(2xtwee + 5)(x - 3)(1 + x) = 0.
In dit geval wordt de vergelijking uitgedrukt als de vermenigvuldiging van veeltermen; dat wil zeggen, er wordt rekening mee gehouden. Om het op te lossen, moet elke factor gelijk worden gesteld aan nul:
- 2xtwee + 5 = 0, heeft geen oplossing.
- x - 3 = 0
- x = 3.
- 1 + x = 0
- x = - 1.
De gegeven vergelijking heeft dus twee oplossingen: x = 3 en x = -1.
X4 - 36 = 0.
Er is een polynoom gegeven, die kan worden herschreven als een verschil in kwadraten om tot een snellere oplossing te komen. De vergelijking is dus:
(Xtwee + 6)(Xtwee - 6) = 0.
Om de oplossing van de vergelijkingen te vinden, worden beide factoren gelijk gesteld aan nul:
(Xtwee + 6) = 0, heeft geen oplossing.
(Xtwee - 6) = 0
Xtwee = 6
x = ± √6.
De beginvergelijking heeft dus twee oplossingen:
x = √6.
x = - √6.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.