De wiskundige hoop of verwachte waarde van de willekeurige variabele X, wordt aangeduid als E (X) en wordt gedefinieerd als de som van het product tussen de kans dat een willekeurige gebeurtenis plaatsvindt en de waarde van die gebeurtenis.
In wiskundige vorm wordt het als volgt uitgedrukt:
μ = E (X) = ∑ Xik. P (xik) = x1.P (x1) + xtwee.P (xtwee) + x3.P (x3
Waar xik is de waarde van de gebeurtenis en P (xik) de waarschijnlijkheid van voorkomen. De sommatie strekt zich uit over alle waarden die X toelaat. En als deze eindig zijn, convergeert de aangegeven som naar de waarde E (X), maar als de som niet convergeert, dan heeft de variabele gewoon geen verwachte waarde.
Als het gaat om een continue variabele X, de variabele kan oneindige waarden hebben en de integralen vervangen de sommaties:
Hier staat f (x) voor de kansdichtheidsfunctie.
Over het algemeen is de wiskundige verwachting (wat een gewogen gemiddelde is) niet gelijk aan het rekenkundig gemiddelde of gemiddelde, tenzij we te maken hebben met discrete verdelingen waarin elke gebeurtenis is even waarschijnlijk. Dan, en alleen dan:
μ = E (X) = (1 / n) ∑ Xik
Waar n het aantal mogelijke waarden is.
Het concept is erg handig in financiële markten en verzekeringsmaatschappijen, waar zekerheid vaak ontbreekt, maar er wel kansen zijn..
Artikel index
Onder de belangrijkste eigenschappen van wiskundige verwachting vallen de volgende op:
- Teken: als X positief is, dan zal E (X) dat ook zijn.
- Verwachte waarde van een constante: de verwachte waarde van een reële constante k is de constante.
E (k) = k
- Lineariteit in de som: de verwachting van een willekeurige variabele die op zijn beurt de som is van twee variabelen X en Y is de som van de verwachtingen.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- Vermenigvuldiging met een constante: als de willekeurige variabele de vorm heeft kX, waar k is een constante (een reëel getal), het valt buiten de verwachte waarde.
E (kX) = k E (X)
- Verwachte waarde van het product en onafhankelijkheid tussen variabelen: als een willekeurige variabele het product is van de willekeurige variabelen X en Y, die onafhankelijk zijn, dan is de verwachte waarde van het product het product van de verwachte waarden.
E (X.Y) = E (X) .E (Y)
- Willekeurige variabele van het formulier Y = aX + b: gevonden door de vorige eigenschappen toe te passen.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
Over het algemeen wel Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (xikP [g (xik
- Bestelling op verwachte waarde: als X ≤ Y, dan:
E (X) ≤ E (Y)
Omdat er van elk de verwachte waarden zijn.
Toen de beroemde astronoom Christian Huygens (1629-1695) de lucht niet observeerde, legde hij zich onder meer toe op het bestuderen van kansspelen bij kansspelen. Hij was het die het concept van wiskundige hoop introduceerde in zijn werk uit 1656 getiteld: Redeneren over gokken.
Huygens ontdekte dat weddenschappen op drie manieren konden worden geclassificeerd, op basis van de verwachte waarde:
-Voordeelspellen: E (X)> 0
-Eerlijke weddenschappen: E (X) = 0
-Handicapspel: E (X) < 0
Het probleem is dat bij een kansspel de wiskundige verwachting niet altijd gemakkelijk te berekenen is. En als je kunt, is het resultaat soms teleurstellend voor degenen die zich afvragen of ze wel of niet willen wedden.
Laten we een simpele gok proberen: kop of munt en de verliezer betaalt $ 1 koffie. Wat is de verwachte waarde van deze weddenschap?
Welnu, de kans dat een kop wordt gerold is ½, gelijk aan een munt. De willekeurige variabele is om $ 1 te winnen of $ 1 te verliezen, de winst wordt aangegeven met + teken en het verlies met teken -.
We ordenen de informatie in een tabel:
We vermenigvuldigen de waarden van de kolommen: 1. ½ = ½ en (-1). ½ = -½ en als laatste worden de resultaten opgeteld. De som is 0 en het is een eerlijk spel, waarbij van de deelnemers wordt verwacht dat ze niet winnen of verliezen.
Franse roulette en loterij zijn handicapspellen waarin de meeste gokkers verliezen. Later is er een iets complexere inzet in de sectie opgeloste oefeningen.
Hier zijn enkele eenvoudige voorbeelden waarbij het concept van wiskundige verwachting intuïtief is en het concept verduidelijkt:
We beginnen met een eerlijke dobbelsteen. Wat is de verwachte waarde van de lancering? Als de dobbelsteen eerlijk is en 6 koppen heeft, is de kans dat een waarde (X = 1, 2, 3 ... 6) zal rollen 1/6, zoals hier:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
De verwachte waarde is in dit geval gelijk aan het gemiddelde, aangezien elk vlak dezelfde kans heeft om eruit te komen. Maar E (X) is geen mogelijke waarde, aangezien geen kop 3,5 waard is. Dit is perfect mogelijk in sommige distributies, hoewel in dit geval het resultaat de gokker niet veel helpt..
Laten we een ander voorbeeld bekijken met het opgooien van twee munten.
Twee eerlijke munten worden de lucht in gegooid en we definiëren de willekeurige variabele X als het aantal koppen dat wordt gegooid. De gebeurtenissen die kunnen optreden, zijn de volgende:
-Er komen geen koppen op: 0 koppen wat gelijk is aan 2 staarten.
-Geeft 1 kop en 1 munt of munt terug.
-2 gezichten komen tevoorschijn.
Laat C een hoofd zijn en T een zegel, de monsterruimte die deze gebeurtenissen beschrijft, is als volgt:
Sm = Seal-Seal; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face = TT, TC, CT, CC
De waarschijnlijkheid dat de gebeurtenissen plaatsvinden zijn:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
De tabel is opgebouwd met de verkregen waarden:
Volgens de aan het begin gegeven definitie wordt de wiskundige verwachting berekend als:
μ = E (X) = ∑ Xik. P (xik) = x1.P (x1) + xtwee.P (xtwee) + x3.P (x3
Waarden vervangen:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Dit resultaat wordt als volgt geïnterpreteerd: als een persoon genoeg tijd heeft om een groot aantal experimenten uit te voeren door de twee munten om te draaien, wordt van hem verwacht dat hij bij elke draai een hoofd krijgt..
We weten echter dat releases met 2 labels perfect mogelijk zijn..
Bij het opgooien van twee eerlijke munten wordt de volgende inzet gedaan: als er 2 koppen uitkomen, wordt $ 3 gewonnen, als er 1 kop uitkomt, wordt $ 1 gewonnen, maar als er twee zegels uitkomen, moet $ 5 worden betaald. Bereken de verwachte winst van de weddenschap.
De willekeurige variabele X is de waarde die het geld opneemt in de weddenschap en de kansen werden berekend in het vorige voorbeeld, daarom is de tabel van de weddenschap:
E (X) = 3. ¼ + 1, ½ + (-5). ¼ = 0
Aangezien de verwachte waarde 0 is, is het een eerlijk spel, dus hier wordt van de gokker verwacht dat hij niet wint en ook niet verliest. De inzetbedragen kunnen echter worden gewijzigd om van de weddenschap een handicapspel of een handicapspel te maken..
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.