EEN bijectieve functie is er een die voldoet aan de dubbele voorwaarde van zijn injectief en surjectief. Dat wil zeggen, alle elementen van het domein hebben één afbeelding in het codomain, en op zijn beurt is het codomein gelijk aan de rangorde van de functie ( RF. .
Het wordt vervuld door een een-op-een-relatie te beschouwen tussen de elementen van het domein en het codomein. Een eenvoudig voorbeeld is de functie F: R R gedefinieerd door de lijn F (x) = x
Opgemerkt wordt dat voor elke waarde van het domein of de startset (beide termen zijn evenzeer van toepassing) er een enkel beeld is in het codomein of de aankomstset. Bovendien is er geen element van het codomain dat geen afbeelding is.
Dus F: R R gedefinieerd door de lijn F (x) = x is bijectief
Artikel index
Om dit te beantwoorden, is het nodig om duidelijk te zijn over de begrippen waarnaar wordt verwezen Injectiviteit Y Surjectiviteit van een functie, naast de criteria om functies te conditioneren om ze aan de vereisten aan te passen.
Een functie is injectief wanneer elk van de elementen van zijn domein gerelateerd is aan een enkel element van het codomein. Een element van het codomain kan alleen de afbeelding zijn van een enkel element van het domein, op deze manier kunnen de waarden van de afhankelijke variabele niet worden herhaald.
Overwegen injectief voor een functie moet het volgende worden vervuld:
∀ x1 ≠ xtwee ⇒ F (x1 ) ≠ F (xtwee
Een functie is geclassificeerd als surjectief, als elk element van zijn codomain een afbeelding is van ten minste één element van het domein.
Overwegen surjectief voor een functie moet het volgende worden vervuld:
Worden F: DF. CF.
∀ b ℮ CF. EN tot ℮ DF. / F (a) = b
Dit is de algebraïsche manier om vast te stellen dat voor elke "b" die toebehoort aan CF. er is een "a" die toebehoort aan DF. zodanig dat de functie geëvalueerd in "a" gelijk is aan "b".
Soms een functie die dat niet is bijectief, het kan aan bepaalde voorwaarden worden onderworpen. Deze nieuwe voorwaarden kunnen er een bijectieve functie. Allerlei wijzigingen aan het domein en het codomein van de functie zijn geldig, waarbij het doel is om de eigenschappen van injectiviteit en surjectiviteit in de overeenkomstige relatie te vervullen..
Laat de functie F: R R gedefinieerd door de lijn F (x) = 5x +1
A: [Alle reële getallen]
Opgemerkt wordt dat er voor elke waarde van het domein een afbeelding in het codomain staat. Deze afbeelding is uniek wat maakt F. wees een injectieve functie. Op dezelfde manier zien we dat het codomain van de functie gelijk is aan zijn rang. Hiermee wordt voldaan aan de voorwaarde van surjectiviteit.
Omdat we tegelijkertijd injectief en surjectief zijn, kunnen we dat concluderen
F: R R gedefinieerd door de lijn F (x) = 5x +1 is een bijectieve functie.
Dit geldt voor alle lineaire functies (functies waarvan de grootste graad van de variabele één is).
Laat de functie F: R R gedefinieerd door F (x) = 3xtwee - twee
Bij het tekenen van een horizontale lijn wordt opgemerkt dat de grafiek meer dan eens wordt gevonden. Hierdoor is de functie F. het is niet injectief en zal het daarom ook niet zijn bijectief zolang het is gedefinieerd in R R
Op dezelfde manier zijn er waarden van het codomain die geen afbeeldingen zijn van enig element van het domein. Hierdoor is de functie niet surjectief, wat het ook verdient om de aankomstset te conditioneren.
We gaan verder met het conditioneren van het domein en het codomain van de functie
F: [0 , ] [- twee ,
Waar wordt opgemerkt dat het nieuwe domein de waarden van nul tot positief oneindig omvat. Het vermijden van de herhaling van waarden die de injectiviteit beïnvloeden.
Evenzo is het codomein gewijzigd, geteld van "-2" tot positief oneindig, waarbij uit het codomein de waarden zijn geëlimineerd die niet overeenkwamen met enig element van het domein
Op deze manier kan ervoor worden gezorgd dat F. : [0 , ] [- twee , gedefinieerd door F (x) = 3xtwee - twee
Het is bijectief
Laat de functie F: R → R gedefinieerd door F (x) = Sen (x)
In de pauze - , + de sinusfunctie varieert de resultaten tussen nul en één.
De functie F. het komt niet overeen met de criteria van injectiviteit en surjectiviteit, omdat de waarden van de afhankelijke variabele elk interval van π worden herhaald. Ook de termen van het codomein buiten het interval [-eleven] Ze zijn geen afbeelding van enig element van het domein.
Bij het bestuderen van de grafiek van de functie F (x) = Sen (x) intervallen worden waargenomen waar het gedrag van de curve voldoet aan de criteria van bijectiviteit. Zoals bijvoorbeeld het interval DF. π / 2,3π / 2 voor het domein. Y CF. = [-1, 1] voor het codomain.
Waar de functie varieert, resulteert van 1 tot -1, zonder een waarde in de afhankelijke variabele te herhalen. En tegelijkertijd is het codomein gelijk aan de waarden die door de uitdrukking worden aangenomen Sen (x)
Op deze manier de functie F: [ π / 2,3π / 2 ] → [-1, 1] gedefinieerd door F (x) = Sen (x). Het is bijectief
Noem de noodzakelijke voorwaarden voor DF. en CF.. Dus de uitdrukking
F (x) = -xtwee bijectief zijn.
De herhaling van resultaten wordt waargenomen wanneer de variabele tegengestelde waarden aanneemt:
F (2) = F (-2) = -4
F (3) = F (-3) = -9
F (4) = F (-4) = -16
Het domein is geconditioneerd, waardoor het wordt beperkt tot de rechterkant van de echte lijn.
DF. = [0 , +
Op dezelfde manier wordt opgemerkt dat het bereik van deze functie het interval is - , 0], dat, wanneer het optreedt als een codomein, voldoet aan de voorwaarden van surjectiviteit.
Op deze manier kunnen we dat concluderen
De uitdrukking F: [0 , + ] [ - , 0] gedefinieerd door F (x) = -xtwee Het is bijectief
Controleer of de volgende functies bijectief zijn:
F: [0 , ) R gedefinieerd door F (x) = 3 (x + 1)twee +twee
F: [ 3π / 2,5π / 2 ] → R. gedefinieerd door F (x) = 5 ctg (x)
F: [ -π,π ] → R. gedefinieerd door F (x) = Cos (x - 3)
F: R R gedefinieerd door de lijn F (x) = -5x + 4
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.