Goniometrische identiteiten (voorbeelden en oefeningen)

De trigonometrische identiteiten zijn relaties tussen trigonometrische verhoudingen, die gelden voor elke waarde van de variabele. Bijvoorbeeld:

tan θ = zonde θ / cos θ

Het is een trigonometrische identiteit die drie verhoudingen van de hoek θ, de raaklijn, de sinus en de cosinus van genoemde hoek relateert.

Deze identiteit geldt voor alle waarden, behalve die waarbij 0 de noemer is. De cos θ is 0 voor θ = ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2 ... Een ander voorbeeld van trigonometrische identiteit is:

zonde x. sec x. ctg x = 1

Artikel index

• 1 demo
• 2 soorten trigonometrische identiteiten
  • 2.1 - Fundamentele trigonometrische identiteiten
  • 2.2 - Identiteiten van Pythagoras
  • 2.3 - Formules voor de cosinus en sinus van het optellen / aftrekken van hoeken
  • 2.4 - Formules voor de dubbele hoek
  • 2.5 - Formules voor de halve hoek
• 3 Opgeloste oefeningen
  • 3.1 - Oefening 1
  • 3.2 - Oefening 2
• 4 referenties

Demonstratie

Er zijn twee basismanieren om aan te tonen dat een trigonometrische identiteit waar is:

1- Het transformeren van een van de leden van de gelijkheid in de andere, door middel van gemakkelijke algebraïsche manipulaties.

2- Ontwikkel beide leden van de gelijkheid afzonderlijk, totdat de respectievelijke uiteindelijke uitdrukkingen van elk exact hetzelfde zijn.

In de voorgestelde identiteit gaan we de linkerkant van de gelijkheid transformeren, waarvoor we ctg x en sec x in termen van sinus en cosinus als volgt uitdrukken:

ctg x = cos x / sin x

sec x = 1 / cos x

We vervangen deze uitdrukking aan de linkerkant van de identiteit en vereenvoudigen:

zonde x. (1 / cos x). (cos x / sin x) = (sin x. cos x / cos x. sin x) = 1

En de juistheid van de identiteit is al geverifieerd.

Typen trigonometrische identiteiten

Er zijn verschillende klassen van trigonometrische identiteiten. We zullen de belangrijkste hieronder kort beschrijven:

- Fundamentele trigonometrische identiteiten

We onderscheiden twee soorten fundamentele identiteiten:

I) Die worden uitgedrukt door de basisverhoudingen sinus, cosinus en tangens:

• sec x = 1 / cos x
• cosec x / 1 / sin x
• ctg x = 1 / tg x
• tg x = sin x / cos x
• ctg x = cos x / sin x

II) Die afgeleid van pariteit. We weten uit de grafiek dat sin x een oneven functie is, wat betekent dat:

sin (-x) = - sin x

Van zijn kant is cos x een even functie, daarom:

cos (-x) = cos x

Dan:

tg (-x) = sin (-x) / cos (-x) = -sen x / cos x

Evenzo:

• cotg (-x) = -ctg x
• sec (-x) = sec x
• cosec (-x) = - cosec x

- Pythagorische identiteiten

Ze worden verkregen uit de toepassing van de stelling van Pythagoras op de rechthoekige driehoek van benen a en b en hypotenusa c. Laten we kijken:

De stelling van Pythagoras stelt dat:

c^twee = een^twee + b^twee

Alles delen door c^twee​

c^twee / c^twee = (een^twee / c^twee) + (B^twee / c^twee​

De term aan de linkerkant is 1 en onthoud dat sinus en cosinus van de scherpe hoek α worden gedefinieerd als:

zonde α = a / c

cos α = b / c

Resultaat:

1 = (zonde α)^twee + (cos α)^twee

Deze identiteit staat bekend als fundamentele identiteit.

De procedure kan worden uitgevoerd door te delen door a^twee en B^twee, wat aanleiding geeft tot nog twee identiteiten:

sec^twee α = 1 + tg^twee α

oogst^twee α = 1 + ctg^twee α

- Formules voor de cosinus en sinus van het optellen / aftrekken van hoeken

De belangrijkste trigonometrische identiteiten voor cosinus, sinus en tangens van optellen en aftrekken zijn als volgt:

Bewijs van zonde (α + β) en cos (α + β)

Deze identiteiten kunnen geometrisch worden bewezen of ook door de formule van Euler:

en^iα = cos α + ik zonde α

Laten we eens kijken wat er met de formule gebeurt bij het vervangen van de som van twee hoeken α en β:

en^{ik (α +β​} = cos (α + β) + i sin (α + β)

Deze uitdrukking is complex, het reële deel is cos (α + β) en het imaginaire deel is i sin (α + β). We bewaren dit resultaat voor later gebruik en richten ons op het ontwikkelen van het exponentiële deel:

en^{ik (α +β​} = e^iα ⋅ e^iβ = (cos α + i sin α). (cos β + i sin β) =

= cos α⋅cos β + cos α⋅i sin β + i⋅sen α cos β - sin α⋅sen β

Het reële deel van deze uitdrukking is degene die niet wordt vermenigvuldigd met de denkbeeldige eenheid "i":

cos α⋅cos β - sin α. zonde β

Het imaginaire deel is daarom:

ik (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β)

Om twee complexe uitdrukkingen gelijk te laten zijn, moet het reële deel van de ene gelijk zijn aan het reële deel van de andere. Hetzelfde gebeurt met denkbeeldige delen.

We nemen het opgeslagen resultaat en vergelijken het hiermee:

cos α. cos β - sin α. zonde β = cos (α + β)

i (cos α⋅sen β + sin α⋅cos β) = i sin (α + β)

sin (α + β) = (cos α. sin β + sin α⋅cos β)

- Formules voor de dubbele hoek

In de vorige formules nemen we β = α en ontwikkelen:

sin (α + α) = sin 2 α = sin α⋅cos α + cos α. zonde α = 2⋅ zonde α ⋅ cos α

cos (α + α) = cos 2 α = cos α⋅cos α - sin α⋅sen α = cos^twee α - zonde ^twee α

tg (α + α) = tg 2 α = [tg α + tg α] / [1- tg α⋅tg α] = 2tg α / 1- tg^twee α

Als we in de tweede uitdrukking cos vervangen^twee α = 1 - zonde^twee α wordt verkregen:

cos 2 α = cos^twee α - (1- cos^twee α) = 2 cos^twee α -1

- Formules voor de halve hoek

Laten we in deze laatste uitdrukking α vervangen door α / 2, het volgende blijft over:

cos α = 2 cos ^twee(α / 2) -1

Oplossen voor:

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Laat zien:

We gaan de linker term algebraïsch bewerken, zodat deze op de juiste lijkt. Omdat sin x in de juiste term voorkomt, is de eerste stap het uitdrukken van cos^tweex in termen van sin x zodat alles in termen van dezelfde trigonometrische verhouding is:

Dan wordt 1 - zonde in rekening gebracht^twee x omdat het een verschil is tussen perfecte vierkanten. Om dit te doen, wordt de fundamentele identiteit gewist:

cos^tweex = 1 - zonde^twee X

1 - sen^twee x = (1- sin x) (1 + sinx)

En de factorisatie wordt vervangen in de oorspronkelijke uitdrukking:

De term (1- sinx) wordt vereenvoudigd en er blijft een gelijkheid bestaan:

1 + sin x = 1 + sinx

- Oefening 2

Los de volgende goniometrische vergelijking op en geef de oplossing voor waarden tussen 0 en 360º:

tg x + sec^twee x = 3

Oplossing

In de term aan de linkerkant zijn er twee trigonometrische verhoudingen, daarom is het nodig om alles tot één te reduceren om het onbekende te kunnen oplossen. De term sec^twee x wordt uitgedrukt door een van de Pythagorische identiteiten:

sec^twee α = 1 + tg^twee α

Vervanging in de vergelijking blijft:

tg x + 1 + tg^twee x = 3

De voorwaarden herschikken:

tg^twee x + tg x + 1 = 3

Deze vergelijking wordt opgelost door de verandering van variabele uit te voeren:

tg x = u

of^twee + u + 1-3 = 0 → u^twee + u - 2 = 0

Deze kwadratische vergelijking is eenvoudig op te lossen door te factureren:

(u +2) (u-1) = 0

Daarom u₁ = -2 en u_twee = 1, wat overeenkomt met:

tg x₁ = -2

tg x_twee = 1

Tenslotte:

X₁ = arctg (-2) = 296,6º

X_twee  = arctg (1) = 45º

Referenties

1. Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. Nationale Universiteit van de Litoral.
2. Figuera, J. 1999. Mathematics. 1e. Gediversifieerd. Bolivarian Collegiate Editions.
3. Hoffman, J. Selectie van wiskundeonderwerpen. Deel 4.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice hal.
5. Wikipedia. Goniometrische identiteiten en formules. Hersteld van: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. 4 manieren om een ​​kwadratische vergelijking op te lossen. Hersteld van: francesphysics.blogspot.com.
7. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. Mcgraw heuvel.