Magnetische inductieformules, hoe deze wordt berekend en voorbeelden

1847
Robert Johnston

De magnetische inductie of magnetische fluxdichtheid is een verandering van de omgeving veroorzaakt door de aanwezigheid van elektrische stromen. Ze wijzigen de aard van de ruimte die hen omringt en creëren een platteland vector.

De vector magnetische inductie, magnetische fluxdichtheid Of gewoon magnetisch veld B, het heeft drie onderscheidende kenmerken: een intensiteit uitgedrukt door een numerieke waarde, een richting en ook een gevoel gegeven op elk punt in de ruimte. Het is vetgedrukt om het te onderscheiden van puur numerieke of scalaire grootheden.

Regel van de rechterduim om de richting en het gevoel van de magnetische inductievector te bepalen. Bron: Jfmelero [CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)]

De rechterduimregel wordt gebruikt om de richting en richting van het magnetische veld te vinden dat wordt veroorzaakt door een stroomvoerende draad, zoals weergegeven in de bovenstaande afbeelding.

De duim van de rechterhand moet in de richting van de stroom wijzen. Vervolgens geeft de rotatie van de vier overgebleven vingers de vorm aan van B, die in de figuur wordt weergegeven door de concentrische rode cirkels.

In dat geval wordt het adres van B raakt de omtrek concentrisch met de draad en is tegen de klok in.

De magnetische inductie B In het internationale systeem wordt Tesla (T) gemeten, maar het komt vaker voor om het te meten in een andere eenheid genaamd Gauss (G). Beide eenheden werden respectievelijk genoemd ter ere van Nikola Tesla (1856-1943) en Carl Friedrich Gauss (1777-1855) vanwege hun buitengewone bijdragen aan de wetenschap van elektriciteit en magnetisme..

Artikel index

  • 1 Wat zijn de eigenschappen van magnetische inductie of magnetische fluxdichtheid?
  • 2 Wet van Biot-Savart
  • 3 formules
  • 4 Hoe wordt het berekend?
    • 4.1 Voorbeeld
  • 5 referenties

Wat zijn de eigenschappen van magnetische inductie of magnetische fluxdichtheid?

Een kompas dat in de buurt van onder spanning staande draad wordt geplaatst, zal altijd uitlijnen met B. De Deense natuurkundige Hans Christian Oersted (1777-1851) was de eerste die dit fenomeen in het begin van de 19e eeuw opmerkte.

En als de stroom ophoudt, wijst het kompas weer naar het geografische noorden, zoals altijd. Door de positie van het kompas zorgvuldig te veranderen, wordt een kaart met de vorm van het magnetische veld verkregen.

Deze kaart heeft altijd de vorm van cirkels concentrisch met de draad, zoals aan het begin beschreven. Op deze manier kun je visualiseren B.

Zelfs als de draad niet recht is, blijft de vector B het zal er concentrische cirkels omheen vormen. Om de vorm van het veld te bepalen, stelt u zich hele kleine draadsegmenten voor, zo klein dat ze rechtlijnig lijken en omgeven door concentrische cirkels..

Magnetische veldlijnen geproduceerd door een stroomvoerende draadlus. Bron: Pixabay.com

Dit wijst op een belangrijke eigenschap van magnetische veldlijnen. B: ze hebben geen begin of einde, het zijn altijd gesloten curven.

De wet van Biot-Savart

De 19e eeuw markeerde het begin van het tijdperk van elektriciteit en magnetisme in de wetenschap. Rond het jaar 1820 ontdekten de Franse natuurkundigen Jean Marie Biot (1774-1862) en Felix Savart (1791-1841) de wet die hun naam draagt ​​en waarmee we de vector kunnen berekenen B.

Ze maakten de volgende opmerkingen over de bijdrage aan het magnetische veld geproduceerd door een draadsegment met verschillende lengtes dl die een elektrische stroom draagt ik

  • De omvang van B neemt af met het inverse kwadraat van de afstand tot de draad (dit is logisch: weg van de draad is de intensiteit van B moet kleiner zijn dan dichtbij punten).
  • De omvang van B is evenredig met de intensiteit van de stroom ik dat gaat door de draad.
  • Het adres van B raakt aan de straalomtrek r gecentreerd op de draad en het gevoel van B wordt, zoals we al zeiden, gegeven door de regel van de rechterduim.

Het kruisproduct of het kruisproduct is het geschikte wiskundige hulpmiddel om het laatste punt uit te drukken. Om een ​​vectorproduct tot stand te brengen, zijn twee vectoren nodig, die als volgt worden gedefinieerd:

  • dl is de vector waarvan de grootte de lengte is van het differentiële segment dl
  • r is de vector die van de draad naar het punt gaat waar u het veld wilt vinden

Formules

Dit alles kan worden gecombineerd tot een wiskundige uitdrukking:


De evenredigheidsconstante die nodig is om gelijkheid tot stand te brengen, is de magnetische permeabiliteit van vrije ruimte μof  = 4π.10-7 T.m / A

Deze uitdrukking is de wet van Biot en Savart, waarmee we het magnetische veld van een huidig ​​segment kunnen berekenen.

Zo'n segment moet op zijn beurt deel uitmaken van een groter en meer gesloten circuit: een stroomverdeling.

De voorwaarde dat het circuit gesloten is, is nodig om een ​​elektrische stroom te laten stromen. Elektrische stroom kan niet stromen in open circuits.

Om het totale magnetische veld van de stroomverdeling te vinden, worden tenslotte alle bijdragen van elk differentieel segment opgeteld dl. Dit staat gelijk aan integratie over de gehele distributie:

Om de wet van Biot-Savart toe te passen en de magnetische inductievector te berekenen, moeten enkele zeer belangrijke belangrijke punten in overweging worden genomen:

  • Het kruisproduct tussen twee vectoren resulteert altijd in een andere vector.
  • Het is handig om het vectorproduct te vinden voordat om over te gaan naar de resolutie van de integraal, dan wordt de integraal van elk van de afzonderlijk verkregen componenten opgelost.
  • Het is noodzakelijk om een ​​beeld van de situatie te maken en een geschikt coördinatensysteem op te zetten.
  • Telkens wanneer het bestaan ​​van enige symmetrie wordt waargenomen, moet deze worden gebruikt om rekentijd te besparen.
  • Als er driehoeken zijn, zijn de stelling van Pythagoras en de cosinusstelling een grote hulp om de geometrische relatie tussen de variabelen vast te stellen..

Hoe wordt het berekend?

Met een praktisch voorbeeld van de berekening van B voor een rechte draad zijn deze aanbevelingen van toepassing.

Voorbeeld

Bereken de magnetische veldvector die een zeer lange rechtlijnige draad produceert op een punt P in de ruimte, volgens de getoonde afbeelding.

Geometrie die nodig is om het magnetische veld op punt P van een oneindig lange stroomdraad te berekenen. Bron: zelf gemaakt.

Van de figuur moet je:

  • De draad is in verticale richting gericht, waarbij de stroom I naar boven stroomt. Deze richting is + y in het coördinatensysteem, waarvan de oorsprong in punt O ligt.
  • In zo'n geval volgens de regel van de rechterduim, B op punt P is het naar de binnenkant van het papier gericht, daarom wordt het in de figuur aangeduid met een kleine cirkel en een "x". Dit adres wordt gebruikt als -z.
  • De rechthoekige driehoek waarvan de benen zijn Y Y R, relateer beide variabelen volgens de stelling van Pythagoras: rtwee= Rtwee+Ytwee

Dit alles wordt vervangen door de integraal. Het uitwendige product of kruis wordt aangegeven door zijn grootte plus zijn richting en zijn betekenis:

De voorgestelde integraal is te vinden in een tabel met integralen of wordt opgelost door een geschikte trigonometrische substitutie (de lezer kan het resultaat controleren met y = Rtg θ)

Het resultaat komt overeen met wat werd verwacht: de grootte van het veld neemt af met de afstand R en neemt evenredig toe met de intensiteit van de stroom I.

Hoewel een oneindig lange draad een idealisatie is, is de verkregen uitdrukking een zeer goede benadering voor het veld van een lange draad.

Met de wet van Biot en Savart is het mogelijk om het magnetische veld van andere zeer symmetrische distributies te vinden, zoals een cirkelvormige lus die stroom voert, of gebogen draden die rechtlijnige en kromlijnige segmenten combineren..

Om de voorgestelde integraal analytisch op te lossen, moet het probleem natuurlijk een hoge mate van symmetrie hebben. Anders is het alternatief om de integraal numeriek op te lossen.

Referenties

  1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physics for Science and Engineering. Deel 2. Mexico. Cengage Learning Editors. 367-372.

Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.