Twee of meer hoeken zijn Complementaire hoeken als de som van zijn metingen overeenkomt met die van een rechte hoek. Zoals bekend is de maat van een rechte hoek in graden 90º en in radialen π / 2.
De twee hoeken naast de hypotenusa van een rechthoekige driehoek zijn bijvoorbeeld complementair aan elkaar, aangezien de som van hun maten 90 ° is. De volgende figuur is in dit opzicht zeer illustratief:
In figuur 1 zijn in totaal vier hoeken weergegeven. α en β zijn complementair omdat ze dat zijn aangrenzend en hun som vormt een rechte hoek. Evenzo is β complementair aan γ, waaruit volgt dat γ en α even groot zijn.
Nu, aangezien de som van α en δ gelijk is aan 90 graden, kan worden gesteld dat α en δ complementair zijn. Bovendien, aangezien β en δ dezelfde complementaire α hebben, kan worden gesteld dat β en δ dezelfde maat hebben.
Artikel index
In de volgende voorbeelden wordt gevraagd om de onbekende hoeken te vinden, aangegeven met vraagtekens in figuur 2.
De volgende voorbeelden zijn in volgorde van complexiteit.
In de figuur hierboven hebben we dat de aangrenzende hoeken α en 40º optellen tot een rechte hoek. Dat wil zeggen, α + 40º = 90º, dus α = 90º- 40º = 50º.
Omdat β complementair is aan de hoek van 35º, is β = 90º - 35º = 55º.
Uit figuur 2C hebben we dat de som van γ + 15º + 15º = 90º. Met andere woorden, γ is complementair aan de hoek 30º = 15º + 15º. Zodat:
γ = 90º - 30º = 60º
In deze voorbeelden zijn er meer invalshoeken betrokken. Om de onbekenden te vinden, moet de lezer het concept van complementaire hoek zo vaak als nodig toepassen.
Omdat X complementair is aan 72º, volgt hieruit dat X = 90º - 72º = 18º. Verder is Y complementair met X, dus Y = 90º - 18º = 72º.
Ten slotte is Z complementair met Y. Uit al het bovenstaande volgt dat:
Z = 90º - 72º = 18º
De hoeken δ en 2δ zijn complementair, dus δ + 2δ = 90º.
Dat wil zeggen, 3δ = 90º, wat inhoudt dat δ = 90º / 3 = 30º.
Als we de hoek tussen ω en 10º U noemen, dan is U een aanvulling op beide, omdat wordt opgemerkt dat hun som een rechte hoek voltooit. Hieruit volgt dat U = 80º. Omdat U complementair is met ω, dan is ω = 10º.
Hieronder worden drie oefeningen voorgesteld. In alle gevallen moet de waarde van de hoeken A en B in graden worden gevonden, zodat aan de relaties getoond in figuur 3 wordt voldaan.
Bepaal de waarden van hoeken A en B uit deel I) van figuur 3.
Uit de getoonde figuur is te zien dat A en B complementair zijn, dus A + B = 90º. We vervangen de uitdrukking voor A en B als een functie van x gegeven in deel I):
(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90
Vervolgens worden de termen op de juiste manier gegroepeerd en wordt een eenvoudige lineaire vergelijking verkregen:
(5x / 2) + 22 = 90
Als we 22 van beide leden aftrekken, hebben we:
5x / 2 = 90-22 = 68
En tot slot wordt de waarde van x gewist:
x = 2 * 68/5 = 136/5
Nu wordt de hoek A gevonden door de waarde van X te vervangen:
A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20,6 º.
Terwijl hoek B is:
B = 2 * 136/5 + 15 = 347/5 º = 69,4 º .
Zoek de waarden van de hoeken A en B van afbeelding II, figuur 3.
Nogmaals, aangezien A en B complementaire hoeken zijn, hebben we: A + B = 90º. Als we de uitdrukking voor A en B substitueren als een functie van x gegeven in deel II) van figuur 3, hebben we:
(2x - 10) + (4x +40) = 90
Gelijke termen worden samen gegroepeerd om de vergelijking te verkrijgen:
6 x + 30 = 90
Als u beide leden door 6 deelt, krijgt u:
x + 5 = 15
Waaruit volgt dat x = 10º.
Daarom:
A = 2 * 10 - 10 = 10º
B = 4 * 10 + 40 = 80º.
Bepaal de waarden van hoeken A en B uit deel III) van figuur 3.
Opnieuw wordt de figuur zorgvuldig geanalyseerd om de complementaire hoeken te vinden. In dit geval hebben we dat A + B = 90 graden. Als we de uitdrukking voor A en B als functie van x in de figuur invullen, hebben we:
(-x +45) + (4x -15) = 90
3 x + 30 = 90
Als u beide leden door 3 deelt, krijgt u het volgende:
x + 10 = 30
Waaruit volgt dat x = 20º.
Met andere woorden, de hoek A = -20 +45 = 25º. En van zijn kant: B = 4 * 20 -15 = 65º.
Er wordt gezegd dat er twee hoeken zijn loodrechte zijden als elke zijde zijn corresponderende loodlijn op de andere heeft. De volgende afbeelding verduidelijkt het concept:
In figuur 4 worden bijvoorbeeld de hoeken α en θ bekeken. Merk nu op dat elke hoek zijn corresponderende loodrecht op de andere hoek heeft.
Men ziet ook dat α en θ dezelfde complementaire hoek hebben z, daarom concludeert de waarnemer onmiddellijk dat α en θ dezelfde maat hebben. Het lijkt er dan op dat als twee hoeken zijden loodrecht op elkaar hebben, ze gelijk zijn, maar laten we eens kijken naar een ander geval.
Beschouw nu de hoeken α en ω. Deze twee hoeken hebben ook corresponderende loodrechte zijden, maar ze kunnen niet van gelijke grootte worden genoemd, aangezien de ene scherp is en de andere stomp..
Merk op dat ω + θ = 180º. Verder θ = α. Als je deze uitdrukking vervangt door z in de eerste vergelijking, krijg je:
δ + α = 180º, waarbij δ en α onderling loodrechte hoeken van zijden zijn.
Uit het bovenstaande kan een regel worden afgeleid waaraan wordt voldaan zolang de hoeken loodrechte zijden hebben:
Als twee hoeken onderling loodrechte zijden hebben, dan zijn ze gelijk als beide acuut of beide stomp zijn. Anders, als de ene acuut is en de andere stomp, dan zijn ze aanvullend, dat wil zeggen, ze zijn opgeteld 180º.
Door deze regel toe te passen en te verwijzen naar de hoeken in figuur 4, kunnen we het volgende bevestigen:
α = β = θ = φ
γ = δ
Met de aanvullende hoek ω van α, β, θ en φ.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.