De Eulernummer of e-nummer is een bekende wiskundige constante die vaak voorkomt in tal van wetenschappelijke en economische toepassingen, samen met het getal π en andere belangrijke getallen in de wiskunde.
Een wetenschappelijke rekenmachine retourneert de volgende waarde voor het getal e:
e = 2,718281828 ...
Maar er zijn nog veel meer decimalen bekend, bijvoorbeeld:
e = 2.71828182845904523536 ...
En moderne computers hebben biljoenen decimalen gevonden voor het getal e.
Het is een nummer irrationeel, wat betekent dat het een oneindig aantal decimalen heeft zonder enig herhalend patroon (de reeks 1828 verschijnt tweemaal aan het begin en herhaalt zichzelf niet meer).
En het betekent ook dat het getal e niet kan worden verkregen als het quotiënt van twee hele getallen.
Artikel index
Het nummer en Het werd geïdentificeerd door de wetenschapper Jacques Bernoulli in 1683 toen hij het probleem van samengestelde rente bestudeerde, maar eerder was het indirect verschenen in de werken van de Schotse wiskundige John Napier, die rond 1618 logaritmen uitvond..
Het was echter Leonhard Euler in 1727 die het de naam e-nummer gaf en de eigenschappen ervan intensief bestudeerde. Daarom wordt het ook wel de Euler-nummer en ook als natuurlijke basis voor de natuurlijke logaritmen (een exponent) die momenteel worden gebruikt.
Het getal e is de moeite waard:
e = 2.71828182845904523536 ...
Het weglatingsteken betekent dat er een oneindig aantal decimalen is en in feite, met de huidige computers, zijn er miljoenen bekend.
Er zijn verschillende manieren om e te definiëren die we hieronder beschrijven:
Een van de verschillende manieren waarop het getal e wordt uitgedrukt, is degene die de wetenschapper Bernoulli aantrof in zijn werken over samengestelde rente:
Waarin je de waarde moet doen n een heel groot aantal.
Met behulp van een rekenmachine is eenvoudig te controleren wanneer n erg groot is, neigt de vorige uitdrukking naar de waarde van en hierboven gegeven.
Natuurlijk kunnen we ons afvragen hoe groot het kan worden n, dus laten we ronde getallen proberen, zoals deze bijvoorbeeld:
n = 1000; 10.000 of 100.000
In het eerste geval krijgen we e = 2,7169239…. In de tweede e = 2.7181459… en in de derde is het veel dichter bij de waarde van en: 2.7182682. We kunnen al achterhalen dat met n = 1.000.000 of groter de benadering nog beter zal zijn.
In wiskundige taal, de procedure van het maken n komt steeds dichter bij een zeer grote waarde, wordt het genoemd limiet tot oneindig en wordt als volgt aangeduid:
Om oneindigheid aan te duiden, wordt het symbool "∞" gebruikt.
Het is ook mogelijk om het nummer e te definiëren door middel van deze bewerking:
De cijfers die in de noemer verschijnen: 1, 2, 6, 24, 120… komen overeen met de bewerking n!, waar:
n! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ...
En per definitie 0! = 1.
Het is gemakkelijk te verifiëren dat hoe meer toevoegingen worden toegevoegd, hoe nauwkeuriger het aantal wordt bereikt en.
Laten we wat testen doen met de rekenmachine en steeds meer aanvullingen toevoegen:
1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806
Hoe meer termen er aan de sommatie worden toegevoegd, hoe meer het resultaat eruitziet en.
Wiskundigen bedachten een compacte notatie voor deze sommen met veel termen, met behulp van het sommatiesymbool Σ:
Deze uitdrukking wordt als volgt gelezen: "som van n = 0 tot oneindig van 1 tussen n faculteit".
Het getal e heeft een grafische weergave met betrekking tot het gebied onder de grafiek van de curve:
y = 1 / x
Als de waarden van x tussen 1 en e liggen, is dit gebied gelijk aan 1, zoals geïllustreerd in de volgende afbeelding:
Enkele van de eigenschappen van het getal e zijn:
-Het is irrationeel, met andere woorden, het kan niet worden verkregen door simpelweg twee gehele getallen te delen.
-Het nummer en het is ook een transcendent nummer, wat betekent dat en is geen oplossing van een polynoomvergelijking.
-Het is gerelateerd aan vier andere bekende getallen op het gebied van wiskunde, namelijk: π, i, 1 en 0, via de Euler-identiteit:
enπi + 1 = 0
-De oproepen complexe getallen kan worden uitgedrukt door middel van e.
-Het vormt de basis van de natuurlijke of natuurlijke logaritmen van vandaag (de oorspronkelijke definitie van John Napier verschilt enigszins).
-Het is het enige getal waarvan de natuurlijke logaritme gelijk is aan 1, dat wil zeggen:
ln e = 1
Het getal e komt zeer vaak voor op het gebied van waarschijnlijkheid en statistiek, en komt voor in verschillende verdelingen, zoals normaal of Gaussiaans, Poisson's en andere..
In engineering is het gebruikelijk, aangezien de exponentiële functie y = eX het is bijvoorbeeld aanwezig in mechanica en elektromagnetisme. Onder de vele toepassingen die we kunnen noemen:
-Een kabel of ketting die aan de uiteinden wordt vastgehouden, neemt de vorm aan van de curve die wordt gegeven door:
y = (eX + en-X) / twee
-Een aanvankelijk ontladen condensator C, die in serie is geschakeld met een weerstand R en een spanningsbron V om op te laden, krijgt een bepaalde lading Q als functie van de tijd t gegeven door:
Q (t) = CV (1-e-t / RC
De exponentiële functie y = A.eBx, met constante A en B, wordt het gebruikt om celgroei en bacteriegroei te modelleren.
In de kernfysica worden radioactief verval en leeftijdsbepaling gemodelleerd door radiokoolstofdatering.
Bij de berekening van samengestelde rente komt het getal e van nature voor.
Stel dat u een bepaald bedrag heeft P.of, om het te beleggen tegen een rente van i% per jaar.
Als u het geld 1 jaar laat staan, heeft u na die tijd:
P (1 jaar) = Pof + P.of.ik = Pof (1+ ik)
Na nog een jaar zonder het aan te raken, heb je:
P (2 jaar) = Pof + P.of.ik + (P.of + P.of .ik) ik = Pof +2 Blzof.ik + Pof.iktwee = Po (1 + ik)twee
En zo doorgaan n jaren:
P = Pof (1 + i)n
Laten we nu een van de definities van e onthouden:
Het lijkt een beetje op de uitdrukking voor P, dus er moet een relatie zijn.
We gaan de nominale rente uitkeren ik Aan n perioden, op deze manier zal de samengestelde rentevoet i / n zijn:
P = Pof [1+ (i / n)]n
Deze uitdrukking lijkt een beetje meer op onze limiet, maar is nog steeds niet precies hetzelfde.
Na enkele algebraïsche manipulaties kan echter worden aangetoond dat door deze verandering van variabele aan te brengen:
h = n / ik → ik = n / h
Ons geld P wordt:
P = Pof [1+ (1 / u)]Hoi P.of [1+ (1 / u)]hik
En wat zit er tussen de toetsen, ook al staat er geschreven met de letter h, is gelijk aan het argument van de limiet dat het getal e definieert, en mist alleen de limiet.
Laten we doen h → ∞, en wat tussen de accolades staat, wordt het nummer en. Dit betekent niet dat we oneindig lang moeten wachten om ons geld op te nemen.
Als we goed kijken, als we bezig zijn h = n / ik en neigen naar ∞, wat we eigenlijk hebben gedaan, is de rente verdelen in zeer, zeer korte tijdsperioden:
ik = n / h
Dit heet continue samenstelling. In zo'n geval kan het geldbedrag eenvoudig als volgt worden berekend:
P = Pof .enik
Waar ik de jaarlijkse rentevoet is. Bijvoorbeeld, bij een storting van € 12 tegen 9% per jaar, door middel van continue kapitalisatie, heeft u na één jaar:
P = 12 x e0,09 × 1 € = 13,13 €
Met een winst van 1,13 .
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.