De echte getallen ze vormen de numerieke verzameling die de natuurlijke getallen, de gehele getallen, de rationele en het irrationele getallen omvat. Ze worden aangeduid met het symbool ℝ of gewoon R en de reikwijdte die ze hebben in wetenschap, techniek en economie is zodanig dat wanneer het over 'getal' gaat, het bijna vanzelfsprekend wordt dat het een reëel getal is.
Echte cijfers worden al sinds de oudheid gebruikt, hoewel ze die naam niet kregen. Reeds vanaf de tijd dat Pythagoras zijn beroemde stelling ontwikkelde, ontstonden er getallen die niet konden worden verkregen als quotiënten van natuurlijke getallen of gehele getallen.
Voorbeelden van getallen zijn √2, √3 en π. Deze nummers worden gebeld irrationeel, in tegenstelling tot rationale getallen, die wel afkomstig zijn van gehele verhoudingen. Daarom was er een numerieke set nodig die beide klassen van getallen omvatte..
De term 'reëel getal' is bedacht door de grote wiskundige René Descartes (1596-1650) om onderscheid te maken tussen de twee soorten wortels die kunnen ontstaan door het oplossen van een veeltermvergelijking.
Sommige van deze wortels kunnen zelfs wortels zijn van negatieve getallen, Descartes noemde deze 'denkbeeldige getallen' en degenen die dat niet waren, waren echte getallen.
De denominatie bleef in de loop van de tijd bestaan, wat aanleiding gaf tot twee grote numerieke sets: reële getallen en complexe getallen, een grotere set met reële getallen, imaginaire getallen en getallen die deels reëel en deels imaginair zijn..
De evolutie van reële getallen ging door totdat in 1872 de wiskundige Richard Dedekind (1831-1936) de reeks reële getallen formeel definieerde door middel van de zogenaamde bezuinigingen door Dedekind. De synthese van zijn werk werd gepubliceerd in een artikel dat datzelfde jaar het licht zag.
Artikel index
De onderstaande tabel toont voorbeelden van reële getallen. Deze set heeft als subsets de natuurlijke getallen, de gehele getallen, het rationele en het irrationele. Elk aantal van deze sets is zelf een reëel getal.
Daarom zijn 0, negatieven, positieven, breuken en decimalen reële getallen.
Reële getallen kunnen op de reële lijn worden weergegeven R, zoals de foto laat zien. Het is niet nodig dat de 0 altijd aanwezig is, maar het is handig om te weten dat links daarvan de negatieve realen staan en rechts de positieve. Daarom is het een uitstekend referentiepunt.
Op de echte lijn wordt een schaal genomen, waarin de gehele getallen worden gevonden:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. De pijl geeft aan dat de lijn zich uitstrekt tot in het oneindige. Maar dat is niet alles, in elk beschouwde interval zullen we ook altijd oneindige reële getallen vinden.
De reële getallen worden op volgorde weergegeven. Om te beginnen is er de volgorde van de gehele getallen, waarbij de positieven altijd groter zijn dan 0, terwijl de negatieven kleiner zijn..
Deze volgorde wordt binnen de reële getallen gehouden. Als voorbeeld worden de volgende ongelijkheden getoond:
a) -1/2 < √2
b) e < π
c) π> -1/2
-Reële getallen omvatten natuurlijke getallen, gehele getallen, rationale getallen en irrationele getallen..
-De commutatieve eigenschap van optellen is vervuld: de volgorde van de toevoegingen verandert de som niet. Als a en b twee reële getallen zijn, is het altijd waar dat:
a + b = b + a
-0 is het neutrale element van de som: a + 0 = a
-Voor de som is aan de associatieve eigenschap voldaan. Als a, b en c reële getallen zijn: (a + b) + c = a + (b + c).
-Het tegenovergestelde van een reëel getal is -a.
-Aftrekken wordt gedefinieerd als de som van het tegenovergestelde: a - b = a + (-b).
-Aan de commutatieve eigenschap van het product is voldaan: de volgorde van de factoren verandert het product niet: a.b = b.a
-In het product wordt ook de associatieve eigenschap toegepast: (a.b) .c = a. (B.c)
-De 1 is het neutrale element van de vermenigvuldiging: a.1 = a
-De distributieve eigenschap van vermenigvuldiging met betrekking tot optellen is geldig: a. (b + c) = a.b + a.c
-Delen door 0 is niet gedefinieerd.
-Elk reëel getal a, behalve 0, heeft een multiplicatieve inverse van-1 zodanig dat a.a-1 = 1.
-Als a een reëel getal is: a0 = 1 en een1 = een.
-De absolute waarde of modulus van een reëel getal is de afstand tussen genoemd getal en 0.
Met de reële getallen kun je de bewerkingen uitvoeren die worden gedaan met de andere numerieke sets, inclusief optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, empowerment, radicatie, logaritmen en meer.
Zoals altijd is delen door 0 niet gedefinieerd, noch zijn negatieve logaritmen van getallen noch 0, hoewel het waar is dat log 1 = 0 en dat logaritmen van getallen tussen 0 en 1 negatief zijn.
De toepassingen van reële getallen in allerlei situaties zijn zeer gevarieerd. Echte cijfers verschijnen als antwoorden op veel problemen in de exacte wetenschappen, informatica, techniek, economie en sociale wetenschappen..
Allerlei grootheden en grootheden zoals afstanden, tijden, krachten, geluidsintensiteit, geld en nog veel meer, worden uitgedrukt in reële getallen.
De overdracht van telefoonsignalen, het beeld en geluid van een video, de temperatuur van een airconditioner, een verwarming of een koelkast kan digitaal worden geregeld, wat betekent dat fysieke grootheden worden omgezet in numerieke reeksen.
Hetzelfde gebeurt bij het uitvoeren van een banktransactie via internet of het raadplegen van instant messaging. De echte cijfers zijn overal.
We gaan met oefeningen zien hoe deze getallen werken in veel voorkomende situaties die we dagelijks tegenkomen..
Het postkantoor accepteert alleen pakketten waarvan de lengte, plus de omtrekmaat, niet groter is dan 108 inch. Daarom moet het weergegeven pakket worden geaccepteerd dat:
L + 2 (x + y) ≤ 108
a) Zal een pakket van 15 cm breed, 20 cm hoog en 1,5 meter lang erdoorheen komen??
b) Hoe zit het met een die 2 x 2 x 4 voet meet3?
c) Wat is de hoogst aanvaardbare hoogte voor een pakket waarvan de basis vierkant is en 23 x 23 cm meettwee?
L = 5 voet = 60 inch
x = 15 cm
y = 8 inch
De op te lossen operatie is:
L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) inch = 60 + 2 x 14 inch = 60 + 28 inch = 88 inch
Het pakket is geaccepteerd.
De afmetingen van dit pakket zijn kleiner dan pakket a), dus ze slagen er allebei in om te slagen.
In dit pakket:
x = L = 9 inch
Er moet aan worden voldaan dat:
9+ 2 (9 + y) ≤ 108
27 + 2j ≤ 108
2j ≤ 81
en ≤ 40,5 inch
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.