EEN permutatie zonder herhaling van n elementen zijn de verschillende groepen verschillende elementen die kunnen worden verkregen door geen enkel element te herhalen, alleen door de volgorde van plaatsing van de elementen te variëren.
Om het aantal permutaties zonder herhaling te achterhalen, wordt de volgende formule gebruikt:
Pn = n!
Welke uitgebreid zou zijn Pn = n! = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1).
Dus in het vorige praktijkvoorbeeld zou het als volgt worden toegepast:
P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 verschillende 4-cijferige getallen.
Dit zijn de in totaal 24 arrays: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.
Zoals te zien is er in ieder geval geen herhaling, namelijk 24 verschillende nummers.
Artikel index
We gaan meer specifiek het voorbeeld analyseren van de 24 verschillende 4-cijferige arrangementen die gevormd kunnen worden met de cijfers van het getal 2468. Het aantal arrangementen (24) kan als volgt bekend worden:
Je hebt 4 opties om het eerste cijfer te selecteren, dat laat 3 opties over om het tweede te selecteren. Er zijn al twee cijfers ingesteld en er zijn nog 2 opties over voor het selecteren van het derde cijfer. Het laatste cijfer heeft slechts één keuzemogelijkheid.
Daarom wordt het aantal permutaties, aangeduid met P4, verkregen door het product van de selectie-opties in elke positie:
P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 verschillende 4-cijferige getallen
Over het algemeen is het aantal permutaties of afzonderlijke arrangementen dat kan worden uitgevoerd met alle n elementen van een bepaalde set:
Pn = n! = N (n - 1) (n - 2)… (2) (1)
De uitdrukking n! staat bekend als n faculteit en betekent het product van alle natuurlijke getallen die tussen het getal n en het getal één liggen, inclusief beide.
Stel nu dat u het aantal permutaties of tweecijferige getallen wilt weten dat kan worden gevormd met de cijfers van het getal 2468.
Dit zouden in totaal 12 arrangementen zijn: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86
Je hebt 4 opties om het eerste cijfer te selecteren, er blijven 3 cijfers over om het tweede te selecteren. Daarom wordt het aantal permutaties van de 4 cijfers twee aan twee genomen, aangeduid met 4P2, verkregen door het product van de selectie-opties in elke positie:
4P2 = 4 * 3 = 12 verschillende 2-cijferige getallen
Over het algemeen is het aantal permutaties of afzonderlijke arrangementen dat kan worden uitgevoerd met r elementen van de n in totaal in een bepaalde set:
nPr = n (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)]
De bovenstaande uitdrukking wordt afgekapt voordat n! Wordt afgespeeld. Om n te voltooien! daaruit zouden we moeten schrijven:
n! = N (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] (n - r) ... (2) (1)
De factoren die we toevoegen, vertegenwoordigen op hun beurt een faculteit:
(n - r) ... (2) (1) = (n - r)!
Daarom,
n! = N (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] (n - r) ... (2) (1) = n (n - 1) (n - 2) ... [n - (r - 1)] (n - r)!
Vanaf hier
n! / (n - r)! = N (n - 1) (n - 2)… [n - (r - 1)] = nPr
Hoeveel verschillende 5-lettercombinaties kunnen worden geconstrueerd met de letters van het woord KEY??
We willen het aantal verschillende 5-lettercombinaties vinden dat kan worden geconstrueerd met de 5 letters van het woord KEY; dat wil zeggen, het aantal arrays van 5 letters dat alle letters omvat die beschikbaar zijn in het woord KEY.
Aantal 5-letterwoorden = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 verschillende 5-lettercombinaties.
Dit zijn: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC ... tot 120 verschillende lettercombinaties in totaal.
Je hebt 15 genummerde ballen en je wilt weten hoeveel verschillende groepen van 3 ballen er gebouwd kunnen worden met de 15 genummerde ballen?
U wilt het aantal groepen van 3 ballen vinden dat gemaakt kan worden met de 15 genummerde ballen.
Aantal groepen van 3 ballen = 15P3 = 15! / (15 - 3)!
Aantal groepen van 3 ballen = 15 * 14 * 13 = 2730 groepen van 3 ballen
Een fruitwinkel heeft een beursstand die bestaat uit een rij vakken in de inkomhal van het pand. In één dag verwerft de groenteman te koop: sinaasappels, bananen, ananas, peren en appels.
a) Op hoeveel verschillende manieren moet u de beursstand bestellen??
b) Op hoeveel verschillende manieren moet je de stand bestellen als je naast de eerder genoemde vruchten (5), op die dag: mango's, perziken, aardbeien en druiven (4)?
a) We willen het aantal verschillende manieren vinden om al het fruit in de weergaveregel te bestellen; dat wil zeggen, het aantal arrangementen van 5 fruitartikelen waarbij al het fruit is betrokken dat op die dag te koop is.
Aantal standarrangementen = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Aantal standopstellingen = 120 manieren om de stand te presenteren
b) We willen het aantal verschillende manieren vinden om al het fruit in de weergaveregel te bestellen als er 4 extra items zijn toegevoegd; dat wil zeggen, het aantal arrangementen van 9 fruitartikelen waarbij al het fruit dat die dag te koop is, is betrokken.
Aantal standarrangementen = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Aantal standopstellingen = 362.880 manieren om de stand te presenteren
Een kleine eetgelegenheid heeft een stuk grond met voldoende ruimte om 6 voertuigen te parkeren.
a) Hoeveel verschillende manieren om de voertuigen op het perceel te bestellen kunnen worden geselecteerd?
b) Stel dat een aaneengesloten perceel grond wordt verworven waarvan de afmetingen het mogelijk maken om 10 voertuigen te parkeren, hoeveel verschillende manieren om de voertuigen te bestellen kunnen nu worden geselecteerd?
a) We willen het aantal verschillende manieren vinden om op het perceel de 6 voertuigen te ordenen die kunnen worden gehuisvest.
Aantal opstellingen van de 6 voertuigen = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Aantal opstellingen van de 6 voertuigen = 720 verschillende manieren om de 6 voertuigen op het perceel te bestellen.
b) We willen het aantal verschillende manieren vinden om op het perceel de 10 voertuigen te ordenen die kunnen worden gehuisvest na de uitbreiding van het perceel.
Aantal opstellingen van de 10 voertuigen = P10 = 10!
Aantal voertuigopstellingen = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Aantal opstellingen van de 10 voertuigen = 3.628.800 verschillende manieren om de 10 voertuigen op het perceel te bestellen.
Een bloemist heeft bloemen van 6 verschillende kleuren om bloemenvlaggen te maken van landen die maar 3 kleuren hebben. Als bekend is dat de volgorde van de kleuren belangrijk is in de vlaggen,
a) Hoeveel verschillende vlaggen van 3 kleuren kunnen worden gemaakt met de 6 beschikbare kleuren?
b) De verkoper koopt bloemen van 2 extra kleuren naast de 6 die hij al had, hoeveel verschillende vlaggen van 3 kleuren kunnen er nu gemaakt worden?
c) Aangezien u 8 kleuren heeft, besluit u uw aanbod vlaggen uit te breiden, hoeveel verschillende vlaggen van 4 kleuren kunt u maken?
d) Hoeveel van 2 kleuren?
a) We willen het aantal verschillende vlaggen van 3 kleuren vinden dat gemaakt kan worden door een keuze te maken uit de 6 beschikbare kleuren.
Aantal 3-kleurenvlaggen = 6P3 = 6! / (6 - 3)!
Aantal 3-kleurenvlaggen = 6 * 5 * 4 = 120 vlaggen
b) U wilt het aantal verschillende vlaggen van 3 kleuren vinden dat gemaakt kan worden door een keuze te maken uit de 8 beschikbare kleuren.
Aantal 3-kleurenvlaggen = 8P3 = 8! / (8 - 3)!
Aantal 3-kleurenvlaggen = 8 * 7 * 6 = 336 vlaggen
c) Het aantal verschillende 4-kleurenvlaggen dat kan worden gemaakt door een keuze te maken uit de 8 beschikbare kleuren, moet worden berekend.
Aantal 4-kleurenvlaggen = 8P4 = 8! / (8 - 4)!
Aantal 4-kleurenvlaggen = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 vlaggen
d) U wilt het aantal verschillende vlaggen van 2 kleuren bepalen dat gemaakt kan worden door een keuze te maken uit de 8 beschikbare kleuren.
Aantal 2-kleurige vlaggen = 8P2 = 8! / (8 - 2)!
Aantal 2-kleurenvlaggen = 8 * 7 = 56 vlaggen
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.