De simpsons regel is een methode om bij benadering bepaalde integralen te berekenen. Het is gebaseerd op het verdelen van het integratie-interval in een even aantal gelijkmatig verdeelde subintervallen.
De uiterste waarden van twee opeenvolgende subintervallen definiëren drie punten waarmee een parabool, waarvan de vergelijking een tweedegraads polynoom is, past.
Vervolgens wordt het gebied onder de curve van de functie in de twee opeenvolgende intervallen benaderd door het gebied van het interpolatiepolynoom. Als we de bijdrage aan het gebied onder de parabool van alle opeenvolgende subintervallen toevoegen, hebben we de geschatte waarde van de integraal.
Aan de andere kant, aangezien de integraal van een parabool algebraïsch exact kan worden berekend, is het mogelijk om een analytische formule te vinden voor de geschatte waarde van de bepaalde integraal. Het staat bekend als de Simpson's formule.
De fout van het aldus verkregen geschatte resultaat neemt af naarmate het aantal onderverdelingen n groter is (waarbij n een even getal is).
Hieronder zal een uitdrukking worden gegeven die het mogelijk maakt de bovengrens van de fout van de benadering van de integraal I te schatten, wanneer een verdeling van n reguliere subintervallen van het totale interval is gemaakt [a, b].
Artikel index
Het integratie-interval [a, b] is onderverdeeld in n subintervallen waarbij n een even geheel getal is. De breedte van elke onderverdeling is:
h = (b - a) / n
Op deze manier wordt op het interval [a, b] de partitie gemaakt:
X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn
Waar X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h, ..., Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.
De formule die het mogelijk maakt om bij benadering de bepaalde integraal I van de continue, en bij voorkeur gladde, functie op het interval [a, b] te berekenen, is:
Om de formule van Simpson te verkrijgen, wordt in elk subinterval [Xi, Xi + 2] de functie f (X) benaderd door een tweedegraads polynoom p (X) (parabool) die door de drie punten gaat: [Xi, f (Xi)] ; [Xi + 1, f (Xi + 1)] en [Xi + 2, f (Xi + 2)].
Vervolgens berekenen we de integraal van de polynoom p (x) in [Xi, Xi + 2] die de integraal van de functie f (X) in dat interval benadert.
De vergelijking van de parabool p (X) heeft de algemene vorm: p (X) = A Xtwee + B X + C.Als de parabool door de punten Q gaat die in rood zijn aangegeven (zie figuur), worden de coëfficiënten A, B, C bepaald uit het volgende stelsel van vergelijkingen:
Ah)twee - B h + C = f (Xi)
C = f (Xi + 1)
Ah)twee + B h + C = f (Xi + 2)
Het is te zien dat de coëfficiënt C wordt bepaald. Om de coëfficiënt A te bepalen, voegen we de eerste en derde vergelijking toe en verkrijgen we:
2 A uurtwee + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).
Vervolgens wordt de waarde van C vervangen en wordt A gewist, waardoor:
A = [f (Xi) - 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 htwee
Om de coëfficiënt B te bepalen, wordt de derde vergelijking afgetrokken van de eerste en wordt B opgelost, met als resultaat:
B = [f (Xi + 2) - f (Xi)] = 2 uur.
Samenvattend heeft het tweedegraads polynoom p (X) dat door de punten Qi, Qi + 1 en Qi + 2 gaat, coëfficiënten:
A = [f (Xi) - 2 f (Xi + 1) + f (Xi + 2)] / (2 htwee
B = [f (Xi + 2) - f (Xi)] = 2 uur
C = f (Xi + 1)
Zoals eerder vermeld, wordt op het totale integratie-interval [a, b] een partitie gemaakt X0, X1, X2, ..., Xn-1, Xn met stap h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n , waarbij n een even getal is.
Merk op dat de fout afneemt met de vierde macht van het aantal onderverdelingen in het interval. Ga je bijvoorbeeld van n onderverdelingen naar 2n, dan neemt de fout met een factor 1/16 af.
De bovengrens van de fout verkregen door de Simpson-benadering kan worden verkregen uit dezelfde formule, waarbij de vierde afgeleide wordt vervangen door de maximale absolute waarde van de vierde afgeleide in het interval [a, b].
Beschouw de functie als de functie f (X) = 1 / (1 + Xtwee.
Vind de definitieve integraal van de functie f (X) op het interval [-1, 1] met behulp van de Simpson-methode met twee onderverdelingen (n = 2).
We nemen n = 2. De limieten van integratie zijn a = -1 en b = -2, dus de partitie ziet er als volgt uit:
X0 = -1; X1 = 0 en X2 = +1.
Daarom heeft de formule van Simpson de volgende vorm:
Met n = 2 → xo = -1, x1 = 0; x2 = 1, dus:
Beschouw de functie f (X) = 1 / (1 + Xtwee.
Vind de definitieve integraal van de functie f (X) op het interval [-1, 1] met behulp van Simpson's formule met vier onderverdelingen (n = 4).
We nemen n = 4. De limieten van integratie zijn a = -1 en b = -2, dus de partitie ziet er als volgt uit:
X0 = -1; X1 = -1/2; X2 = 0; X3 = 1/2 en X4 = +1.
De formule van Simpson wordt als volgt vermeld:
Integraal ≃ [(b -a) / (3 n)] [f (X0) + 4 I + 2 P + f (Xn)]
Voor het geval waarin het wordt toegepast, is het als volgt:
Integraal ≃ (1 - (1)) / (3⋅4)] [f (-1) + 4 [f (-½) + f (½)] + 2 [f (0)] + f (1)
Integraal ≃ (2/12) [½ + 4 (⅘ + ⅘) + 2⋅1 + ½] = (⅙) [47/5] = 47/30 = 1,5666
Bepaal de definitieve integraal van de voorgaande voorbeelden exact en vergelijk het exacte resultaat met het resultaat verkregen met de formule van Simpson in voorbeelden 1a en 1b.
De onbepaalde integraal van de functie f (X) = 1 / (1 + Xtwee) is de functie arctan (X).
Bij het evalueren binnen de grenzen van integratie blijft het:
Integraal = arctan (1) - arctan (-1) = π / 4 - (-π / 4) = π / 2 = 1.5708
Als we het resultaat van de exacte oplossing vergelijken met die verkregen door de methode van Simpson met n = 2 en n = 4, hebben we:
Voor n = 2 is het verschil tussen de exacte en de geschatte oplossing π / 2 - 5/3 = -0,0959, dat wil zeggen een procentueel verschil van -0,06%.
En voor de Simpson-benadering met n = 4, is het verschil tussen de exacte en de geschatte oplossing π / 2 - 47/30 = 0,0041, dat wil zeggen een procentueel verschil van 0,003%.
De methode van Simpson is geschikt om te worden toegepast in programmeertalen en in computertoepassingen voor wiskundige berekeningen. De lezer wordt aangeraden, op basis van de formules in dit artikel, zijn eigen code in zijn favoriete programma te schrijven.
De volgende afbeelding toont een oefening waarin de formule van Simpson is geïmplementeerd in Smath studio, gratis software beschikbaar voor besturingssystemen ramen Y Android.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.