De Stelling van Bayes is een procedure waarmee we de voorwaardelijke kans op een willekeurige gebeurtenis A gegeven B kunnen uitdrukken in termen van de kansverdeling van gebeurtenis B gegeven A en de kansverdeling van alleen A.
Deze stelling is erg handig, omdat we hierdoor de kans kunnen relateren dat een gebeurtenis A plaatsvindt wetende dat B heeft plaatsgevonden, met de kans dat het tegenovergestelde gebeurt, dat wil zeggen dat B optreedt gegeven A.
De stelling van Bayes was een zilveren voorstel van dominee Thomas Bayes, een 18e-eeuwse Engelse theoloog die ook een wiskundige was. Hij was de auteur van verschillende werken in de theologie, maar op dit moment staat hij bekend om een aantal wiskundige verhandelingen, waarvan de al genoemde stelling van Bayes opvalt als het belangrijkste resultaat.
Bayes behandelde deze stelling in een werk getiteld "An Essay to solving a Problem in the Doctrine of Chances", gepubliceerd in 1763, en waarover een groot aantal is ontwikkeld. Studies met toepassingen in verschillende kennisgebieden.
Artikel index
Ten eerste zijn voor een beter begrip van deze stelling enkele basisnoties van de kansrekening nodig, met name de vermenigvuldigingsstelling voor voorwaardelijke kansrekening, die stelt dat
Voor E en A willekeurige gebeurtenissen van een monsterruimte S.
En de definitie van partities, die ons vertelt dat als we A hebben1 ,NAARtwee,… , NAARn gebeurtenissen van een monsterruimte S, deze vormen een partitie van S, als de Aik sluiten elkaar wederzijds uit en hun vereniging is S.
Gegeven dit, laat B een andere gebeurtenis zijn. Dus we kunnen B zien als
Waar de Aik doorsneden met B zijn gebeurtenissen die elkaar wederzijds uitsluiten.
En als gevolg daarvan,
Vervolgens de vermenigvuldigingsstelling toepassen
Aan de andere kant wordt de voorwaardelijke kans op Ai gegeven B bepaald door
Op de juiste manier vervangen we hebben dat voor elke i
Dankzij dit resultaat zijn onderzoeksgroepen en verschillende corporaties erin geslaagd om op kennis gebaseerde systemen te verbeteren..
Bij de studie van ziekten kan de stelling van Bayes bijvoorbeeld helpen om de waarschijnlijkheid te onderscheiden dat een ziekte wordt aangetroffen in een groep mensen met een bepaald kenmerk, uitgaande van de globale percentages van de ziekte en het overwicht van de genoemde kenmerken in beide. gezonde en zieke mensen.
Aan de andere kant heeft het in de wereld van geavanceerde technologieën grote bedrijven beïnvloed die dankzij dit resultaat "op kennis gebaseerde" software hebben ontwikkeld.
Als dagelijks voorbeeld hebben we de Microsoft Office-assistent. De stelling van Bayes helpt de software om de problemen die de gebruiker presenteert te evalueren en te bepalen welk advies hij moet geven en zo een betere service te kunnen bieden in overeenstemming met de gewoonten van de gebruiker..
Opgemerkt moet worden dat deze formule tot voor kort werd genegeerd, dit komt vooral omdat toen dit resultaat 200 jaar geleden werd ontwikkeld, er weinig praktisch gebruik voor was. In onze tijd hebben wetenschappers dankzij grote technologische vooruitgang echter manieren gevonden om dit resultaat in de praktijk te brengen.
Een gsm-bedrijf heeft twee machines A en B. 54% van de geproduceerde gsm's wordt gemaakt door machine A en de rest door machine B. Niet alle geproduceerde gsm's zijn in goede staat.
Het aandeel defecte gsm's gemaakt door A is 0,2 en door B is 0,5. Hoe groot is de kans dat een gsm uit die fabriek defect is? Wat is de kans dat, wetende dat een mobiele telefoon defect is, deze afkomstig is van machine A?
Oplossing
Hier heb je een experiment dat in twee delen wordt uitgevoerd; in het eerste deel vinden de gebeurtenissen plaats:
A: cel gemaakt door machine A.
B: cel gemaakt door machine B.
Aangezien machine A 54% van de mobiele telefoons produceert en de rest wordt geproduceerd door machine B, volgt hieruit dat machine B 46% van de mobiele telefoons produceert. De kansen van deze gebeurtenissen worden gegeven, namelijk:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
De gebeurtenissen van het tweede deel van het experiment zijn:
D: defecte mobiele telefoon.
E: niet-defecte mobiele telefoon.
Zoals vermeld in de verklaring, zijn de waarschijnlijkheden van deze gebeurtenissen afhankelijk van het resultaat behaald in het eerste deel:
P (D | A) = 0,2.
P (D | B) = 0,5.
Met behulp van deze waarden kunnen ook de kansen op de complementen van deze gebeurtenissen worden bepaald, dat wil zeggen:
P (E | A) = 1 - P (D | A)
= 1 - 0,2
= 0,8
Y
p (E | B) = 1 - P (D | B)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Nu kan gebeurtenis D als volgt worden geschreven:
Gebruik van de vermenigvuldigingsstelling voor voorwaardelijke kansresultaten:
Waarmee de eerste vraag wordt beantwoord.
Nu hoeven we alleen P (A | D) te berekenen, waarvoor de Bayes-stelling wordt toegepast:
Dankzij de stelling van Bayes kan worden gesteld dat de kans dat een mobiele telefoon is gemaakt door machine A, wetende dat de mobiele telefoon defect is, 0,319 is..
Drie dozen bevatten zwarte en witte ballen. De samenstelling van elk ervan is als volgt: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.
Een van de dozen wordt willekeurig gekozen en er wordt willekeurig een bal getrokken die wit blijkt te zijn. Wat is de meest waarschijnlijke box die is gekozen??
Oplossing
Met U1, U2 en U3 zullen we ook de gekozen box vertegenwoordigen.
Deze gebeurtenissen vormen een partitie van S en er wordt geverifieerd dat P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 aangezien de keuze van het vak willekeurig is.
Als B = de getrokken bal is wit, hebben we P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .
Wat we willen verkrijgen is de kans dat de bal uit de doos is gehaald Ui wetende dat de bal wit was, dat wil zeggen P (Ui | B), en kijk welke van de drie waarden de hoogste was om te weten waarvan de doos hoogstwaarschijnlijk de extractie van de witte bal is geweest.
De stelling van Bayes toepassen op de eerste van de boxen:
En voor de andere twee:
P (U2 | B) = 2/6 en P (U3 | B) = 1/6.
Dan is de eerste van de dozen degene met de grootste kans om gekozen te zijn voor de extractie van de witte bal..
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.