De De stelling van Bolzano stelt vast dat als een functie continu is op alle punten van een gesloten interval [a, b] en het is waar dat de afbeelding van "a" en "b" (onder de functie) tegengestelde tekens hebben, er ten minste één zal zijn punt "C" in het open interval (a, b), zodanig dat de functie geëvalueerd in "c" gelijk is aan 0.
Deze stelling werd in 1850 uitgesproken door de filosoof, theoloog en wiskundige Bernard Bolzano. Deze wetenschapper, geboren in het huidige Tsjechië, was een van de eerste wiskundigen in de geschiedenis die een formeel bewijs leverde van de eigenschappen van continue functies..
Artikel index
De stelling van Bolzano is ook bekend als de stelling van tussenliggende waarden, die helpt bij het bepalen van specifieke waarden, in het bijzonder nullen, van bepaalde reële functies van een reële variabele..
In een gegeven functie gaat f (x) verder -dat wil zeggen dat f (a) en f (b) zijn verbonden door een curve-, waarbij f (a) onder de x-as ligt (het is negatief), en f ( b) door boven de x-as (deze is positief), of vice versa, grafisch zal er een afkappunt op de x-as zijn dat een tussenwaarde 'c' zal vertegenwoordigen, die tussen 'a' en "B", en de waarde van f (c) is gelijk aan 0.
Door de stelling van Bolzano grafisch te analyseren, kan worden gezien dat voor elke continue functie f gedefinieerd op een interval [a, b], waarbij f (a)f (b) is kleiner dan 0, er zal ten minste één wortel "c" van die functie zijn binnen het interval (a, b).
Deze stelling stelt niet het aantal punten in dat open interval vast, het stelt alleen dat er minimaal 1 punt is.
Om de stelling van Bolzano te bewijzen, wordt aangenomen zonder verlies van algemeenheid dat f (a) < 0 y f(b) > 0; er kunnen dus veel waarden zijn tussen "a" en "b" waarvoor f (x) = 0, maar het is alleen nodig om aan te tonen dat er één is.
We beginnen met het evalueren van f in het midden (a + b) / 2. Als f ((a + b) / 2) = 0 dan eindigt hier het bewijs; anders is f ((a + b) / 2) positief of negatief.
Een van de helften van het interval [a, b] wordt gekozen, zodat de tekens van de functie geëvalueerd aan de uiteinden verschillend zijn. Dit nieuwe interval wordt [a1, b1].
Als f nu geëvalueerd in het midden van [a1, b1] niet nul is, wordt dezelfde bewerking als hiervoor uitgevoerd; dat wil zeggen, de helft van dit interval wordt gekozen die voldoet aan de voorwaarde van de tekens. Laat dit nieuwe interval [a2, b2] zijn.
Als u doorgaat met dit proces, heeft u twee reeksen an en bn, zodat:
an neemt toe en bn neemt af:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. …. ≤ miljard ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Als de lengte van elk interval [ai, bi] wordt berekend, hebben we:
b1-a1 = (b-a) / 2.
b2-a2 = (b-a) / 2².
.
bn-an = (b-a) / 2 ^ n.
Daarom is de limiet als n naar oneindig neigt van (bn-an) gelijk aan 0.
Door gebruik te maken van dat an toeneemt en begrensd en bn afneemt en begrensd, hebben we dat er een waarde "c" bestaat zodat:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ miljard ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
De limiet van an is "c" en de limiet van bn is ook "c". Daarom, gegeven elke δ> 0, is er altijd een "n" zodat het interval [an, bn] binnen het interval valt (c-δ, c + δ).
Nu moet worden aangetoond dat f (c) = 0.
Als f (c)> 0, dan, aangezien f continu is, bestaat er een ε> 0 zodat f positief is over het hele interval (c-ε, c + ε). Zoals hierboven vermeld, is er echter een waarde "n" zodat f van teken verandert in [an, bn] en bovendien is [an, bn] opgenomen in (c-ε, c + ε), wat een tegenstrijdigheid.
Als f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 zodat f negatief is gedurende het interval (c-ε, c + ε); maar er is een waarde "n" zodat f van teken verandert in [an, bn]. Het blijkt dat [an, bn] is opgenomen in (c-ε, c + ε), wat ook een tegenspraak is.
Daarom f (c) = 0 en dit is wat we wilden laten zien.
Vanuit zijn grafische interpretatie wordt de stelling van Bolzano gebruikt om wortels of nullen te vinden in een continue functie, door middel van tweedeling (benadering), wat een incrementele zoekmethode is die de intervallen altijd door 2 deelt..
Vervolgens wordt een interval [a, c] of [c, b] genomen waar de tekenverandering optreedt, en het proces wordt herhaald totdat het interval kleiner en kleiner is, om dichter bij de gewenste waarde te komen; dat wil zeggen, naar de waarde die de functie 0 maakt.
Samenvattend, om de stelling van Bolzano toe te passen en zo de wortels te vinden, de nullen van een functie te beperken of een oplossing te geven voor een vergelijking, worden de volgende stappen uitgevoerd:
- Er wordt geverifieerd of f een continue functie is op het interval [a, b].
- Als het interval niet is opgegeven, moet er een worden gevonden waar de functie continu is.
- Er wordt geverifieerd of de extremen van het interval tegengestelde tekens geven bij evaluatie bij f.
- Als er geen tegengestelde tekens worden verkregen, moet het interval worden verdeeld in twee subintervallen met behulp van het middelpunt.
- Evalueer de functie in het midden en verifieer dat aan de Bolzano-hypothese is voldaan, waarbij f (a) f (b) < 0.
- Afhankelijk van het teken (positief of negatief) van de gevonden waarde, wordt het proces herhaald met een nieuw subinterval totdat aan de bovengenoemde hypothese is voldaan..
Bepaal of de functie f (x) = xtwee - 2, heeft ten minste één echte oplossing in het interval [1,2].
We hebben de functie f (x) = xtwee - 2. Omdat het polynoom is, betekent dit dat het continu is op elk interval.
Er wordt gevraagd om te bepalen of het een echte oplossing heeft in het interval [1, 2], dus nu is het alleen nodig om de extremen van het interval in de functie te vervangen om het teken hiervan te kennen en om te weten of ze voldoen aan de voorwaarde anders zijn:
f (x) = xtwee - twee
f (1) = 1twee - 2 = -1 (negatief)
f (2) = 2twee - 2 = 2 (positief)
Daarom teken van f (1) ≠ teken f (2).
Dit zorgt ervoor dat er ten minste één punt "c" is dat hoort bij het interval [1,2], waarin f (c) = 0.
In dit geval kan de waarde van "c" eenvoudig als volgt worden berekend:
Xtwee - 2 = 0
x = ± √2.
Dus √2 ≈ 1,4 behoort tot het interval [1,2] en vervult dat f (√2) = 0.
Laat zien dat de vergelijking x5 + x + 1 = 0 heeft minstens één echte oplossing.
Laten we eerst opmerken dat f (x) = x5 + x + 1 is een polynoomfunctie, wat betekent dat het continu is op alle reële getallen.
In dit geval wordt geen interval gegeven, dus waarden moeten intuïtief worden gekozen, bij voorkeur dicht bij 0, om de functie te evalueren en de tekenwijzigingen te vinden:
Als u het interval [0, 1] gebruikt, moet u:
f (x) = x5 + x + 1.
f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.
Omdat er geen tekenwijziging is, wordt het proces herhaald met een ander interval.
Als je het interval [-1, 0] gebruikt, moet je:
f (x) = x5 + x + 1.
f (-1) = (-1)5 + (-1) + 1 = -1 < 0.
f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.
In dit interval is er een tekenwisseling: teken van f (-1) ≠ teken van f (0), wat betekent dat de functie f (x) = x5 + x + 1 heeft ten minste één echte wortel “c” in het interval [-1, 0], zodat f (c) = 0. Met andere woorden, het is waar dat x5 + x + 1 = 0 heeft een echte oplossing in het interval [-1,0].
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.