De De stelling van Torricelli Het Torricelli-principe stelt dat de snelheid van de vloeistof die door het gat in de wand van een tank of container naar buiten komt, identiek is aan die van een object dat vrij mag vallen van een hoogte die gelijk is aan die van het vrije oppervlak van de vloeistof. tot aan het gat.
De stelling wordt geïllustreerd in de volgende afbeelding:
Vanwege de stelling van Torricelli kunnen we dan bevestigen dat de uitgangssnelheid van de vloeistof door een opening die zich op hoogte h onder het vrije oppervlak van de vloeistof bevindt, wordt gegeven door de volgende formule:
Waar g de versnelling van de zwaartekracht is en h de hoogte van het gat tot het vrije oppervlak van de vloeistof.
Evangelista Torricelli was een natuurkundige en wiskundige geboren in de stad Faenza, Italië in 1608. Torricelli wordt gecrediteerd voor de uitvinding van de kwikbarometer en als erkenning is er een drukeenheid genaamd "torr", gelijk aan één millimeter kwik (mm van Hg).
Artikel index
In de stelling van Torricelli en in de formule die de snelheid geeft, wordt ervan uitgegaan dat de viscositeitsverliezen verwaarloosbaar zijn, net zoals bij vrije val wordt aangenomen dat de wrijving door de lucht rondom het vallende object verwaarloosbaar is..
De bovenstaande aanname is in de meeste gevallen redelijk en houdt ook het behoud van mechanische energie in.
Om de stelling te bewijzen, zullen we eerst de formule vinden voor de snelheid voor een object dat wordt vrijgegeven met een beginsnelheid nul, vanaf dezelfde hoogte als het vloeistofoppervlak in de tank..
Het principe van behoud van energie zal worden toegepast om de snelheid van het vallende object te verkrijgen net wanneer het een hoogte is gedaald h gelijk aan dat van gat tot vrij oppervlak.
Aangezien er geen wrijvingsverliezen zijn, is het geldig om het principe van behoud van mechanische energie toe te passen. Stel dat het vallende object massa m heeft en de hoogte h wordt gemeten vanaf het uitgangsniveau van de vloeistof.
Wanneer het object wordt losgelaten van een hoogte die gelijk is aan die van het vrije oppervlak van de vloeistof, is zijn energie alleen gravitatiepotentieel, aangezien zijn snelheid nul is en daarom zijn kinetische energie nul is. De potentiële energie Ep wordt gegeven door:
Ep = m g h
Wanneer het voor het gat passeert, is de hoogte nul, dan is de potentiële energie nul, dus het heeft alleen kinetische energie Ec gegeven door:
Ec = ½ m vtwee
Omdat de energie wordt behouden Ep = Ec van wat wordt verkregen:
½ m vtwee = m g u
Oplossen voor snelheid v de Torricelli-formule wordt dan verkregen:
Vervolgens zullen we de uittreedsnelheid van de vloeistof door het gat vinden, om aan te tonen dat deze samenvalt met wat zojuist berekend is voor een vrij vallend object..
Hiervoor baseren we ons op het principe van Bernoulli, dat niets meer is dan het behoud van energie toegepast op vloeistoffen.
Het principe van Bernoulli is als volgt geformuleerd:
De interpretatie van deze formule is als volgt:
Aangezien we uitgaan van het uitgangspunt dat het een ideale vloeistof is, in niet-turbulente omstandigheden met relatief lage snelheden, is het relevant om te bevestigen dat de mechanische energie per volume-eenheid in de vloeistof constant is in alle gebieden of dwarsdoorsneden van de vloeistof. dezelfde..
In deze formule V. is de snelheid van de vloeistof, ρ de dichtheid van de vloeistof, P. druk en z verticale positie.
De onderstaande figuur toont de Torricelli-formule uitgaande van het principe van Bernoulli.
We passen de formule van Bernoulli toe op het vrije oppervlak van de vloeistof aangeduid met (1) en op het uitgangsgat aangeduid met (2). Het nulvoerniveau is gelijk met het uitlaatgat gekozen.
Onder de aanname dat de doorsnede in (1) veel groter is dan in (2), kunnen we aannemen dat de daalsnelheid van de vloeistof in (1) praktisch verwaarloosbaar is.
Dit is de reden waarom V1= 0, de druk waaraan de vloeistof wordt blootgesteld in (1) is atmosferische druk en de hoogte gemeten vanaf de opening is h.
Voor het uitlaatgedeelte (2) nemen we aan dat de uitlaatsnelheid v is, de druk waaraan de vloeistof aan de uitlaat wordt blootgesteld ook atmosferische druk is en de uitlaathoogte nul is.
De waarden die overeenkomen met secties (1) en (2) worden vervangen in de formule van Bernoulli en gelijk gesteld. De gelijkheid geldt omdat we aannemen dat de vloeistof ideaal is en er geen stroperige wrijvingsverliezen zijn. Nadat alle termen zijn vereenvoudigd, wordt de snelheid bij het uitgangsgat verkregen.
Bovenstaand kader laat zien dat het verkregen resultaat hetzelfde is als dat van een vrij vallend object,
De volgende afbeelding laat zien hoe de formule van Torricelli op dit geval wordt toegepast.
II) Stel dat de afvoerpijp van de tank uit de vorige oefening een diameter heeft van 1 cm, bereken dan de waterafvoerstroom.
De stroomsnelheid is het volume vloeistof dat per tijdseenheid naar buiten komt, en wordt eenvoudig berekend door het oppervlak van de uitgangsopening te vermenigvuldigen met de uitgangssnelheid.
De volgende afbeelding toont de details van de berekening.
III) Bepaal hoe hoog het vrije oppervlak van het water in een bak is, als je dat weet
dat in een gat in de bodem van de container het water met 10 m / s naar buiten komt.
Zelfs als het gaatje zich in de bodem van de container bevindt, kan de Torricelli-formule nog steeds worden toegepast.
De volgende afbeelding toont de details van de berekeningen.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.