De factorstelling stelt dat een polynoom P (x) deelbaar is door een binominaal van de vorm (x - a) als x = a een wortel is van P (x), dat wil zeggen, P (a) = 0. Er wordt gezegd dat een polynoom is deelbaar tussen een ander wanneer het residu of de rest nul is.
Een polynoom is een uitdrukking van de vorm:
P (x) = eenn Xn + naarn-1 Xn-1 +… + A1 x + een0
Waar:
-n is de graad van het polynoom, waarbij n het grootste gehele getal is waartoe de onafhankelijke variabele x wordt verhoogd,
-De waarden voorn, naarn-1 ,… + A1 , naar0 zijn de coëfficiënten van de polynoom, die over het algemeen reële getallen zijn, maar ook complexe getallen kunnen zijn.
Een polynoom van graad n kan worden ontleed als het product van n binomen van de vorm:
(x - rik
Waar rik is de i-de wortel van P (x):
P (x) = eenn (x - r1) (x - rtwee) ... (X - rn
Omdat het aantal wortels van een polynoom gelijk is aan zijn graad.
Artikel index
Laten we de polynoom per geval bekijken:
P (x) = 3⋅xtwee - 7⋅x + 2
Je wilt weten of dit polynoom deelbaar is door de binominaal (x - 2). Als de factorstelling wordt gebruikt, moeten we P (x = 2) evalueren om te weten of de waarde 2 een wortel is of niet. We gaan dan verder met het evalueren van de uitdrukking:
P (2) = 3⋅22 - 7⋅2 + 2 = 3⋅4 - 7⋅2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 12 - 12 = 0.
Het blijkt dat x = 2 de wortel is van P (x), dus volgens de factortheorema is de binominale (x - 2) in feite een factor P (x).
Laten we verder gaan met directe verificatie door te delen. Het detail van hoe de deling wordt uitgevoerd, wordt weergegeven in de volgende afbeelding:
Er wordt geverifieerd dat het quotiënt tussen P (x) en (x-2) een polynoom van een lagere graad geeft, het quotiënt C (x) = 3⋅x - 1 met de rest 0.
We kunnen het resultaat als volgt samenvatten:
(3⋅xtwee - 7⋅x + 2) ÷ (x -2) = (3⋅x - 1) + 0
De vorige uitdrukking kan op een andere manier worden geschreven, door simpelweg te onthouden dat het deeltal P (x) gelijk is aan het product van de deler (x -2) door het quotiënt (3⋅x - 1) plus de rest (nul in dit geval ):
(3⋅xtwee - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1) + 0
Op deze manier was het mogelijk om het polynoom P (x) te ontbinden, dat wil zeggen, te schrijven als een product van polynomen, het oorspronkelijke polynoom:
(3⋅xtwee - 7⋅x + 2) = (x -2) (3⋅x - 1)
Laat het polynoom Q (x) = x3 - x + 2. We willen weten of het deelbaar is door de binominale waarde (x + 1).
De meest directe manier is om simpelweg de factorstelling toe te passen. In dit geval moeten we gewoon controleren of x = -1 annuleert of niet de polynoom Q (x).
We gaan verder met het vervangen van:
Q (-1) = (-1)3 - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2
Het resultaat is anders dan nul, daarom verzekert de factorstelling ons dat de polynoom Q (x) niet deelbaar is door (x + 1), aangezien Q (-1) ≠ 0.
Nu gaan we verder met het delen van Q (x) door de binominale waarde (x + 1) als een methode om onze conclusie te verifiëren.
Bij deze gelegenheid zal de deling worden uitgevoerd met behulp van de synthetische delingsmethode, die erin bestaat in de eerste rij alle coëfficiënten van het polynoom, inclusief de ontbrekende, in de eerste rij te plaatsen, geordend van hoogste graad tot nul graden, aangezien ze een nulcoëfficiënt hebben.
Vervolgens wordt in de eerste kolom de onafhankelijke term van de deler geplaatst maar met het teken veranderd, in ons geval is de deler (x + 1). De onafhankelijke term is 1, maar net als in de eerste kolom wordt het met een veranderd teken geplaatst, dat wil zeggen -1.
De volgende afbeelding illustreert hoe de synthetische verdeling wordt gedaan:
Met dit resultaat wordt geverifieerd dat (x + 1) geen factor is van het polynoom Q (x) = x3 - x + 2 aangezien de rest niet nul is.
Deze conclusie is niet verrassend, omdat deze al was voorspeld met de factorstelling. Merk ook op dat wanneer x = -1 in Q (x) wordt vervangen, wat precies de rest of de rest is van de deling van polynomen, aangezien Q (-1) = rest = 2.
Natuurlijk levert de deling de aanvullende informatie van het quotiënt C (x) = xtwee - X.
Bedenk dat het deeltal Q (x) gelijk is aan de deler (x + 1) door het quotiënt C (x) plus de rest r = 2, we hebben de uitbreiding van het polynoom Q (x) als volgt:
Q (x) = (x + 1) (xtwee - x) + 2 = x (x + 1) (x - 1) + 2
Opgemerkt moet worden dat deze uitdrukking niet de factorisatie van het polynoom is, aangezien er een niet-nul-term optelling is, wat precies de rest is van waarde 2.
Zoek de factoren van het polynoom
P (x) = x3 - 5 xtwee + 2 x + 8
En schrijf ook je factorisatie.
De factorstelling zegt ons dat we naar de wortels moeten zoeken naar om vervolgens de factoren (x - naar), in dit geval omdat het een polynoom is van graad drie, moeten er drie wortels zijn.
Omdat het een polynoom is met coëfficiënten van gehele getallen, moeten de wortels tussen de delers van de onafhankelijke term liggen, in dit geval 8. Deze delers zijn:
± 1, ± 2, ± 4, ± 8.
We beginnen met het verkennen van +1: P (+1) = 13 - 5⋅ 1twee + 2⋅1 + 8 = 1 - 5 + 2 + 8 = 6 wat anders is dan 0, dus +1 is geen wortel.
We verkennen -1:
P (-1) = (-1)3 - 5⋅ (-1)twee + 2⋅ (-1) + 8 = -1 - 5 - 2 + 8 = 0
Uit het resultaat wordt geconcludeerd dat -1 de wortel is van P (x) en (x - (-1)) = (x + 1) een factor is van het polynoom.
Er moeten nog twee factoren worden gevonden:
We bewijzen het volgende, namelijk +2:
P (+2) = (+2)3 - 5⋅ (+2)twee + 2⋅ (+2) + 8 = 8 + (-20) + 4 + 8 = 0
Opnieuw krijgen we nul. Dus de andere factor is (x - 2).
Omdat het een polynoom is van graad drie, hoeven we alleen een factor te vinden. Nu testen we de waarde +4 om erachter te komen of het de polynoom annuleert:
P (+4) = (+4)3 - 5⋅ (+4)twee + 2⋅ (+4) + 8 = 64 - 80 + 8 + 8 = 0.
Dat wil zeggen, +4 is de wortel van P (x) en daarom is de binominale (x - 4) een andere factor.
Nooit meer zoeken, want het is een polynoom van graad 3 die maximaal drie wortels heeft. In deze oefening bleken alle wortels echt en integer te zijn.
Daarom wordt het polynoom P (x) als volgt in rekening gebracht:
P (x) = x3 - 5 xtwee + 2 x + 8 = (x + 1) (x - 2) (x - 4).
Laat het polynoom p⋅x zijn3 - x + 2p. Bepaal de waarde van p zodat het polynoom deelbaar is door (x + 2).
We gebruiken de factorstelling, die stelt dat als x = -2 het polynoom annuleert, (x - (-2)) een factor is van het polynoom.
Vervolgens vervangen we x voor (-2) in de oorspronkelijke polynoom, vereenvoudigen het en stellen het gelijk aan nul:
p⋅ (-2)3 - (-2) + 2 p = 8 p + 2 + 2 p = 10 p + 2 = 0
Nu wordt de waarde van p gewist, zodat aan de gelijkheid aan nul is voldaan:
p = -2 / 10 = -⅕
Dit betekent dat de polynoom:
-⅕⋅x3 - x - ⅖
Het is deelbaar door (x + 2), of wat equivalent is: (x + 2) is een van de factoren.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.