EEN vector in de ruimte is iedereen vertegenwoordigd door een coördinatensysteem gegeven door X, Y Y z. Bijna altijd het vliegtuig xy is het vlak van het horizontale oppervlak en de as z staat voor hoogte (of diepte).
De Cartesiaanse coördinaatassen die in figuur 1 worden getoond, verdelen de ruimte in 8 genoemde gebieden octanten, analoog aan hoe assen X - Y verdeel het vlak in 4 kwadranten. We hebben dan 1e octant, 2e octant enzovoort.
Figuur 1 bevat een weergave van een vector v in de ruimte. Er is enig perspectief nodig om de illusie van drie dimensies op het vlak van het scherm te creëren, wat wordt bereikt door een schuin aanzicht te tekenen.
Om een 3D-vector te tekenen, gebruikt u de stippellijnen die op het raster de coördinaten van de projectie of 'schaduw' van v Over het oppervlak x-y. Deze projectie begint bij O en eindigt bij het groene punt.
Eenmaal daar, moet je verder gaan langs de verticaal tot de benodigde hoogte (of diepte) volgens de waarde van z, tot P. De vector wordt getekend beginnend bij O en eindigend bij P, die in het voorbeeld in het 1ste octant staat.
Artikel index
Vectoren in de ruimte worden veel gebruikt in de mechanica en andere takken van fysica en engineering, aangezien de structuren die ons omringen geometrie in drie dimensies vereisen..
Positievectoren in de ruimte worden gebruikt om objecten te positioneren ten opzichte van een aangeroepen referentiepunt bron O. Daarom zijn het ook noodzakelijke hulpmiddelen bij de navigatie, maar dat is niet alles.
Krachten die werken op constructies zoals bouten, beugels, kabels, stutten en meer, zijn vector van aard en georiënteerd in de ruimte. Om het effect te kennen, is het noodzakelijk om het adres (en ook het toepassingspunt) te kennen.
En vaak is de richting van een kracht bekend door twee punten in de ruimte te kennen die tot zijn actielijn behoren. Op deze manier is de kracht:
F. = F of
Waar F de grootte of modulus van de kracht is en of is de eenheidsvector (van modulus 1) gericht langs de werkingslijn van F..
Voordat we verder gaan met het oplossen van enkele voorbeelden, zullen we de 3D-vectornotatie kort bespreken.
In het voorbeeld in figuur 1 heeft de vector v, waarvan het beginpunt samenvalt met de oorsprong O en waarvan het einde punt P is, coördinaten X Y z positief, terwijl de coördinaat Y is negatief. Deze coördinaten zijn: X1, Y1, z1, dat zijn precies de coördinaten van P.
Dus als we een vector hebben die is gekoppeld aan de oorsprong, dat wil zeggen waarvan het startpunt samenvalt met O, is het heel gemakkelijk om de coördinaten ervan aan te geven, namelijk die van het uiterste punt of P.Om onderscheid te maken tussen een punt en een vector, we zullen de laatste vetgedrukte letters en haakjes gebruiken, als volgt:
v < x1, Y1, z1
Terwijl punt P wordt aangegeven met haakjes:
P = (x1, Y1, z1
Een andere voorstelling maakt gebruik van eenheidsvectoren ik, j Y k die de drie richtingen van de ruimte op de assen definiëren X, Y Y z respectievelijk.
Deze vectoren staan loodrecht op elkaar en vormen een orthonormale basis (zie figuur 2). Dit betekent dat een 3D-vector in termen van hen kan worden geschreven als:
v = vX ik + vY j + vz k
Figuur 2 toont ook de richthoeken γ1, γtwee en γ3 dan vector v maakt respectievelijk met de assen X, Y Y z. Als je deze hoeken en de grootte van de vector kent, is het volledig bepaald. Bovendien voldoen de cosinussen van de richthoeken aan de volgende relatie:
(cos γ1twee + (cos γtweetwee + (cos γ3twee = 1
In figuur 2 zijn de hoeken γ1, γtwee en γ3 dan vector v van modulus 50 vorm met de coördinaatassen zijn respectievelijk: 75,0º, 60,0º en 34,3º. Zoek de cartesische componenten van deze vector en geef deze weer in termen van eenheidsvectoren ik, j Y k.
Vector projectie v op de as X is VX = 50. cos 75º = 12.941. Evenzo is de projectie van v op de as Y is VY = 50 cos 60 º = 25 en tenslotte op de as z is Vz = 50. cos 34,3º = 41,3. Nu v kan worden uitgedrukt als:
v = 12,9 ik + 25,0 j + 41.3 k
Zoek de spanningen in elk van de kabels die de emmer vasthouden in de figuur die in evenwicht is, als het gewicht 30 N is.
Op de emmer geeft het free-body-diagram dat aan TD (groen) compenseert het gewicht W. (geel), dus TD = W = 30 N.
In de knoop, de vector TD verticaal naar beneden gericht is, dan:
TD = 30 (-k) N.
Volg deze stappen om de resterende spanningen vast te stellen:
A = (4.5,0,3) (A bevindt zich in het vlak van de muur x-z
B = (1.5,0,0) (B staat op de x-as)
C = (0, 2.5, 3) (C staat op het vlak van de muur en Z
D = (1.5, 1.5, 0) (D bevindt zich op het horizontale vlak x-y
GEEFT <3; -1.5; 3>
DC <-1.5; 1; 3>
DB <0; -1.5 ; 0>
Een eenheidsvector wordt verkregen door de uitdrukking: of r / r, met r (vetgedrukt) is de vector en r (niet vetgedrukt) is de module van genoemde vector.
DA = (3twee + (-1,5)twee + 3twee½ = 4,5; DC = ((-1,5) twee + 1twee + 3twee½ = 3,5
ofGEEFT <3; -1.5; 3>4,5 = <0.67 ; -0.33 ; 0.67>
ofDC <-1.5; 1; 3>3,5 = <-0.43; 0.29; 0.86>
ofDB <0; -1; 0>
ofD <0; 0; -1>
TGEEFT = TGEEFT ofGEEFT = TGEEFT<0.67 ; -0.33 ; 0.67>
TDC = TDC ofDC = TDC <-0.43; 0.29; 0.86>
TDB = TDB ofDB = TDB <0; -1; 0>
TD = 30 <0; 0; -1>
Ten slotte wordt de toestand van statisch evenwicht op de emmer toegepast, zodat de vectorsom van alle krachten op het knooppunt nul is:
TGEEFT + TDC + TDB + TD = 0
Omdat de spanningen zich in de ruimte bevinden, resulteert dit in een stelsel van drie vergelijkingen voor elk onderdeel (X, en en z) van de spanningen.
0,67 T.GEEFT -0,43 TDC + 0 T.DB = 0
-0,33 T.GEEFT + 0,29 T.DC - TDB = 0
0,67 T.GEEFT + 0,86 TDC +0 T.DB - 30 = 0
De oplossing is: TGEEFT = 14,9 N; TGEEFT = 23,3 N; TDB = 1,82 N
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.