Karakteristieke eenheidsvectoren, hoe deze te verkrijgen, voorbeelden

De eenheidsvectoren zijn die waarvan de modulus, grootte of grootte gelijk is aan de numerieke waarde één. Eenheidsvectoren zijn nuttig om de richting van andere niet-eenheidsvectoren aan te geven.

Bedenk dat vectoren wiskundige entiteiten zijn die wiskundig fysieke grootheden vertegenwoordigen die afhankelijk zijn van richting, zoals kracht, snelheid, versnelling en andere..

Ongeacht de fysieke omvang waarmee ze zijn geassocieerd, eenheidsvectoren hebben geen meeteenheden en hun grootte is altijd 1, een puur getal.

De snelheid van een deeltje dat beweegt met 3 m / s en in de positieve richting van de cartesiaanse as X gaat, wordt bijvoorbeeld aangegeven: v = (3 m / s) ik, waar vetgedrukt wordt gebruikt om vectorgrootheden aan te duiden. In dit voorbeeld is de module v is 3 m / s en de module van de eenheidsvector ik is 1 (geen eenheden).

Artikel index

• 1 Module, richting en gevoel
• 2 Kenmerken van een eenheidsvector
• 3 Eenheidsvectoren in de ruimte
• 4 Hoe de eenheidsvector te tekenen / berekenen?
  • 4.1 Een willekeurige vector in termen van de eenheidsvector
  • 4.2 Grafische weergave
• 5 Voorbeelden van eenheidsvectoren
  • 5.1 De loodrechte eenheidsvectoren i, j en k
  • 5.2 De wet van Coulomb
• 6 Oefening opgelost
  • 6.1 Oplossing
• 7 referenties

Module, richting en gevoel

Gezien hoe belangrijk het is om de oriëntatie van deze grootheden vast te stellen om hun effecten te kennen, hebben vectoren drie relevante kenmerken: de grootte of module, geassocieerd met de grootte van de vector, de richting en de zin. Bij het weergeven van een vectorgrootheid is het noodzakelijk om deze aspecten duidelijk aan te geven.

Nu kan een eenheidsvector elke richting en het gevoel hebben dat de voorkeur heeft, maar de grootte moet altijd gelijk zijn aan 1.

Eenheidsvectoren worden gebruikt om naar een bepaalde richting in de ruimte of in het vlak te wijzen. Als we bijvoorbeeld moeten werken met alle krachten die langs de horizontale as werken, aangezien een eenheidsvector in die richting ons helpt om deze krachten te onderscheiden van andere die in een andere richting zijn gericht..

En om ze te onderscheiden van niet-eenheidsvectoren, wordt meestal vetgedrukt lettertype gebruikt in gedrukte brieven en wordt er een dakje bovenop geplaatst, bijvoorbeeld:

Kenmerken van een eenheidsvector

Wiskundig de eenheidsvector:

We kunnen dus vaststellen dat:

-De module van de eenheidsvector is altijd 1, het maakt niet uit of het een kracht, snelheid of een andere vector is.

-Eenheidsvectoren hebben een bepaalde richting, evenals een gevoel, zoals de eenheidsvector in verticale richting, die een richting omhoog of omlaag kan hebben.

-Eenheidsvectoren hebben een oorsprongspunt. Wanneer dit wordt gerepresenteerd door een Cartesiaans coördinatensysteem, valt dit punt samen met de oorsprong van het systeem: (0,0) als het het vlak is of (0,0,0) als de vector zich in een driedimensionale ruimte bevindt.

-Evenzo kunnen met de eenheidsvectoren alle bewerkingen van vector optellen, aftrekken en vermenigvuldigen die worden uitgevoerd door middel van reguliere vectoren worden uitgevoerd. Daarom is het geldig om de eenheidsvector te vermenigvuldigen met een scalair, evenals om het puntproduct en het kruisproduct uit te voeren.

-Met een eenheidsvector in een bepaalde richting kunnen andere vectoren worden uitgedrukt die ook in die richting zijn georiënteerd..

Eenheidsvectoren in de ruimte

Om een ​​vector in de ruimte of in het vlak uit te drukken, kan een reeks eenheidsvectoren loodrecht op elkaar worden gebruikt, die een orthonormale basis vormen. Elk van de drie voorkeursrichtingen van de ruimte heeft zijn eigen eenheidsvector.

Laten we teruggaan naar het voorbeeld van krachten die langs de horizontale as zijn gericht. Dit is de x-as, die twee mogelijkheden heeft: naar rechts en naar links. Stel dat we een eenheidsvector op de x-as hebben en naar rechts gericht, die we op een van de volgende manieren kunnen aanduiden:

Elk van hen is geldig. Veronderstel nu een kracht F.₁ van magnitude 5 N langs deze as en naar rechts gericht, zou een dergelijke kracht kunnen worden uitgedrukt als:

Als de kracht langs de x-as zou zijn gericht, maar in de tegenovergestelde richting, dat wil zeggen naar links, dan zou een negatief teken kunnen worden gebruikt om dit verschil vast te stellen..

Een kracht van magnitude 8 N, gelegen op de x-as en naar links gericht, zou er bijvoorbeeld als volgt uitzien:

Of zo:

En voor de vectoren die niet langs de Cartesiaanse assen zijn gericht, is er ook een manier om ze weer te geven in termen van de orthogonale eenheidsvectoren, door hun Cartesiaanse componenten.

Hoe de eenheidsvector te krijgen / berekenen?

Om de eenheidsvector te berekenen in de richting van een willekeurige vector v, de volgende formule is van toepassing:

Waar:

Het is de module of grootte van de vector v, wiens kwadraat als volgt wordt berekend:

​v​^twee = (v_X​^twee +  (v_Y​^twee+  ​v_z​^twee

Een willekeurige vector in termen van de eenheidsvector

Als alternatief de vector v kan als volgt worden uitgedrukt:

Dat wil zeggen, het product van zijn module door de overeenkomstige eenheidsvector. Dit is precies wat eerder werd gedaan, als we het hadden over de kracht van magnitude 5 N gericht langs de positieve x-as.

Grafische voorstelling

Grafisch is het bovenstaande te zien in deze afbeelding, waar de vector v is in blauw en de corresponderende eenheidsvector in zijn richting is in rood.

In dit voorbeeld is de vector v het heeft een grootte groter dan die van de eenheidsvector, maar de verklaring is geldig, zelfs als dat niet het geval is. Met andere woorden, we kunnen vectoren hebben die bijvoorbeeld 0,25 keer de eenheidsvector zijn.

Voorbeelden van eenheidsvectoren

De loodrechte eenheidsvectoren i, j en k

Zoals we eerder hebben gezien, de loodrechte eenheidsvectoren ik, j Y k ze zijn erg handig om elke andere vector in het vlak of de ruimte weer te geven en om vectorbewerkingen uit te voeren. In termen van deze vectoren wordt een willekeurige vector v weergegeven als:

v = v_X ik + v_Y j + v_z k

Waar V_X, v_Y en V_z zijn de rechthoekige componenten van de vector v, die scalair zijn - er wordt geen vetgedrukt lettertype gebruikt om ze in gedrukte tekst weer te geven-.

De wet van Coulomb

Eenheidsvectoren komen vaak voor in de natuurkunde. Daar hebben we bijvoorbeeld de wet van Coulomb, die de interactie tussen tweepunts elektrische ladingen kwantitatief beschrijft.

Het stelt dat de kracht F. aantrekking of afstoting tussen genoemde ladingen is evenredig met hun product, omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand die hen scheidt en is gericht in de richting van de eenheidsvector die de ladingen verbindt.

Deze vector wordt meestal weergegeven door:

En de wet van Coulomb ziet er als volgt uit, in vectorvorm:

Oefening opgelost

De eenheidsvector vinden in de richting van de vector v = 5ik + 4j -8k, gegeven in willekeurige eenheden.

Oplossing

De hierboven gegeven definitie van eenheidsvector is van toepassing:

Maar eerst moeten we de modulus van de vector berekenen, die, aangezien deze uit drie componenten bestaat, wordt bepaald door:

​v​^twee = (v_X​^twee +  (v_Y​^twee +  (v_z​^twee

Resterend:

​v​^twee = (5)^twee +  (4)^twee +  (-8)^twee= 25 + 16 + 64 = 105

Daarom de module v het is:

​v| = √105

De gezochte eenheidsvector is eenvoudig:

Wat ons uiteindelijk leidt naar:

v = 0,488 ik + 0,390 j - 0,781 k

Referenties

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Deel 1. Mc Graw Hill.
2. Bedford, 2000. A. Technische mechanica: statica. Addison Wesley.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Physics for Science and Engineering. Deel 1. Kinematica. Bewerkt door Douglas Figueroa (USB).
4. Giambattista, A. 2010. Physics. 2e. Ed McGraw Hill.
5. Resnick, R. (1999). Fysiek. Vol. 1. 3e uitgave in het Spaans. Compañía Redactioneel Continental S.A. door C.V.