De axioma's van waarschijnlijkheid het zijn wiskundige proposities die verwijzen naar de waarschijnlijkheidstheorie, die geen bewijs verdienen. De axioma's werden in 1933 vastgesteld door de Russische wiskundige Andrei Kolmogorov (1903-1987) in zijn werk Fundamentals of kansrekening en legde de basis voor de wiskundige studie van waarschijnlijkheid.
Bij het uitvoeren van een bepaald willekeurig experiment ξ is de steekproefruimte E de verzameling van alle mogelijke resultaten van het experiment, ook wel evenementen. Elke gebeurtenis wordt aangeduid als A en P (A) is de waarschijnlijkheid dat deze zich voordoet. Toen stelde Kolmogorov vast dat:
-Axioma 1 (geen negativiteit): de kans dat een gebeurtenis A plaatsvindt, is altijd positief of nul, P (A) ≥0. Als de kans op een gebeurtenis 0 is, wordt deze aangeroepen onmogelijke gebeurtenis.
-Axioma 2 (zekerheid): telkens een gebeurtenis die tot E behoort, is de waarschijnlijkheid van voorkomen 1, wat we kunnen uitdrukken als P (E) = 1. Het is wat bekend staat als een zeker evenement, want bij het uitvoeren van een experiment is er met alle zekerheid een resultaat.
-Axioma 3 (toevoeging): in het geval van twee of meer onverenigbare gebeurtenissen twee aan twee, genaamd A1, NAARtwee, NAAR3…, De kans dat gebeurtenis A plaatsvindt1 plus de Atwee plus de A3 enzovoort, het is de som van de waarschijnlijkheden dat elk afzonderlijk gebeurt.
Dit wordt uitgedrukt als: VADER1 U Atwee U A3 U…) = P (A1) + P (Atwee) + P (A3
Artikel index
De waarschijnlijkheidsaxioma's worden op grote schaal gebruikt in een groot aantal toepassingen. Bijvoorbeeld:
Een punaise of tack wordt in de lucht gegooid en wanneer deze op de grond valt, is er de mogelijkheid om te landen met de punt omhoog (U) of met de punt omlaag (D) (we zullen geen andere mogelijkheden bekijken). De voorbeeldruimte van dit experiment bestaat uit deze gebeurtenissen, dan is E = U, D.
Door de axioma's toe te passen hebben we:
P (E) = 1 (Axioma 2)
Maar P (E) = P (U) + P (D) (Axioma 3), omdat deze gebeurtenissen onderling onverenigbaar of onsamenhangend zijn. De punaise valt niet tegelijkertijd met de punt omhoog of omlaag, het is het een of het ander, maar niet beide, omdat andere mogelijkheden niet worden overwogen. Dan:
P (U) + P (D) = 1
P (U) = 1 - P (D)
Of het even waarschijnlijk is dat het naar boven of naar beneden wijst, P (U) = P (D) = ½ (Axioma 1). Het kan echter zijn dat de constructie en het ontwerp van de punaise meer kans hebben om op de een of andere manier te vallen. Het kan bijvoorbeeld zijn dat P (U) = ¾ terwijl P (D) = ¼ (Axioma 1).
Merk op dat in beide gevallen de som van de waarschijnlijkheden 1 oplevert. De axioma's geven echter niet aan hoe de waarschijnlijkheden moeten worden toegewezen, althans niet volledig. Maar ze bevestigen wel dat het getallen zijn tussen 0 en 1 en dat, zoals in dit geval, de som van alles 1 is.
De waarschijnlijkheidsaxioma's zijn geen methode om de waarde van waarschijnlijkheid toe te kennen. Hiervoor zijn er drie opties die compatibel zijn met de axioma's:
Aan elke gebeurtenis wordt dezelfde kans van optreden toegewezen, waarna de kans van optreden als volgt wordt gedefinieerd:
P (A) = aantal gevallen dat gunstig is voor gebeurtenis A / aantal mogelijke gevallen
Wat is bijvoorbeeld de kans om een aas te trekken uit een pak Franse kaarten? Het kaartspel heeft 52 kaarten, 13 van elke reeks en er zijn 4 kleuren. Elke reeks heeft 1 azen, dus in totaal zijn er 4 azen:
P (zoals) = 4/52 = 1/13
De regel van Laplace is beperkt tot eindige monsterruimten, waar elke gebeurtenis even waarschijnlijk is.
Hier moet het experiment herhaalbaar zijn, aangezien de methode gebaseerd is op het uitvoeren van een groot aantal herhalingen..
Laten we herhalingen maken van het experiment ξ, waarvan we vinden dat n het aantal keren is dat bepaalde gebeurtenis A voorkomt, dan is de kans dat deze gebeurtenis plaatsvindt:
P (A) = limik → ∞ (geen van beide)
Waar n / i de relatieve frequentie van een gebeurtenis is.
Het op deze manier definiëren van P (A) voldoet aan de axioma's van Kolmogorov, maar heeft het nadeel dat er veel tests moeten worden uitgevoerd om de waarschijnlijkheid geschikt te maken.
Een persoon of een groep mensen kan afspreken om de waarschijnlijkheid aan een gebeurtenis toe te wijzen, naar hun eigen oordeel. Deze methode heeft het nadeel dat verschillende mensen verschillende kansen aan dezelfde gebeurtenis kunnen toekennen..
In het experiment waarbij u tegelijkertijd 3 eerlijke munten opgooit, moet u de waarschijnlijkheid van de beschreven gebeurtenissen verkrijgen:
a) 2 koppen en een staart.
b) 1 kop en twee staarten
c) 3 kruisen.
d) Minstens 1 gezicht.
Koppen worden aangeduid met C en staarten met X. Maar er zijn verschillende manieren om twee koppen en een staart te krijgen. De eerste twee munten kunnen bijvoorbeeld koppen landen en de derde kan muntstukken landen. Of de eerste kan hoofden vallen, de tweede staarten en de derde kop. En tot slot kunnen de eerste staarten zijn en de resterende koppen.
Om de vragen te beantwoorden is het noodzakelijk om alle mogelijkheden te kennen, die worden beschreven in een tool genaamd boomdiagram of boom van kansen
De kans dat een munt uit de kop komt is ½, hetzelfde geldt voor munt, aangezien de munt eerlijk is. In de rechterkolom staan alle mogelijkheden die de toss heeft, dat wil zeggen de sample-ruimte.
Uit de monsterruimte worden de combinaties gekozen die reageren op de gevraagde gebeurtenis, aangezien de volgorde waarin de gezichten verschijnen niet belangrijk is. Er zijn drie gunstige gebeurtenissen: CCX, CXC en XCC. De kans dat elke gebeurtenis plaatsvindt, is:
P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8
Hetzelfde gebeurt voor de CXC- en XCC-evenementen, elk heeft een kans van 1/8 dat ze plaatsvinden. Daarom is de kans om precies 2 koppen te krijgen de som van de kansen van alle gunstige gebeurtenissen:
P (2-zijdig) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375
Het vinden van de kans dat er precies twee kruisen optreden is een probleem dat analoog is aan het vorige, er zijn ook drie gunstige gebeurtenissen uit de steekproefruimte gehaald: CXX, XCX en XXC. Daarom:
P (2 kruisen) = 3/8 = 0,375
Intuïtief weten we dat de kans om 3 staarten (of 3 koppen) te krijgen lager is. In dit geval is de gezochte gebeurtenis XXX, aan het einde van de rechterkolom, met een waarschijnlijkheid van:
P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.
Er wordt gevraagd om minimaal 1 gezicht te verkrijgen, dit betekent dat er 3 gezichten, 2 gezichten of 1 gezicht naar buiten kunnen komen. De enige gebeurtenis die hiermee onverenigbaar is, is die waarin 3 staarten naar buiten komen, waarvan de kans 0,125 is. Daarom is de gezochte kans:
P (minimaal 1 kop) = 1 - 0,125 = 0,875.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.