De zwaartepunt van een lichaam van meetbare grootte is het punt waarop het gewicht wordt geacht te zijn toegepast. Het is daarom een van de fundamentele concepten van statica.
De eerste benadering bij de problemen van de elementaire fysica bestaat erin aan te nemen dat elk object zich gedraagt als een puntmassa, dat wil zeggen dat het geen afmetingen heeft en alle massa geconcentreerd is in een enkel punt. Dit geldt voor een doos, een auto, een planeet of een subatomair deeltje. Dit model staat bekend als deeltjesmodel.
Dit is natuurlijk een benadering, die voor veel toepassingen erg goed werkt. Het is geen gemakkelijke taak om na te denken over het individuele gedrag van de duizenden en miljoenen deeltjes die elk object kan bevatten.
Om resultaten te behalen die dichter bij de werkelijkheid liggen, moet echter rekening worden gehouden met de werkelijke dimensies van de dingen. Omdat we ons over het algemeen in de buurt van de aarde bevinden, is de altijd aanwezige kracht op elk lichaam precies het gewicht.
Artikel index
Als er rekening moet worden gehouden met de lichaamsgrootte, waar moet dan specifiek het gewicht worden toegepast? Als u een willekeurig continu object heeft, is het gewicht a verdeelde kracht tussen elk van de samenstellende deeltjes.
Laat deze deeltjes m zijn1, mtwee, m3… Elk van hen ervaart zijn overeenkomstige zwaartekracht m1g, mtweeg, m3g…, allemaal parallel. Dit is zo, aangezien het zwaartekrachtveld van de aarde in de overgrote meerderheid van de gevallen als constant wordt beschouwd, aangezien de objecten klein zijn in vergelijking met de grootte van de planeet en zich dicht bij het oppervlak bevinden..
De vectorsom van deze krachten resulteert in het gewicht van het object, toegepast op het punt dat het zwaartepunt wordt genoemd, in de figuur aangeduid als CG, dat dan samenvalt met de Massacentrum. Het massamiddelpunt is op zijn beurt het punt waar alle massa als geconcentreerd kan worden beschouwd.
Het resulterende gewicht heeft een omvang Mg waar M. is de totale massa van het object, en natuurlijk is het verticaal naar het midden van de aarde gericht. De sommatie-notatie is handig om de totale massa van het lichaam uit te drukken:
Het zwaartepunt valt niet altijd samen met een materieel punt. Het zwaartepunt van een ring bevindt zich bijvoorbeeld in het geometrische middelpunt, waar zelf geen massa is. Toch, als u de krachten die op een hoepel werken, wilt analyseren, moet u het gewicht op dit precieze punt toepassen.
In die gevallen waarin het object een willekeurige vorm heeft, als het homogeen is, kan het massamiddelpunt nog steeds worden berekend door de zwaartepunt of zwaartepunt van de figuur.
In principe, als het zwaartepunt (CG) en het zwaartepunt (cm) samenvallen als het zwaartekrachtveld uniform is, dan kan de cm worden berekend en het gewicht erop worden toegepast.
Laten we twee gevallen beschouwen: de eerste is er een waarin de massaverdeling discreet is; dat wil zeggen, elke massa waaruit het systeem bestaat, kan worden geteld en een nummer i toegewezen krijgen, zoals werd gedaan in het vorige voorbeeld.
De coördinaten van het massamiddelpunt voor een discrete massaverdeling zijn:
De som van alle massa's is natuurlijk gelijk aan de totale massa van het systeem M, zoals hierboven aangegeven..
De drie vergelijkingen worden teruggebracht tot een compacte vorm door de vector r te beschouwencm of positievector van het massamiddelpunt:
En in het geval van een continue massaverdeling, waar de deeltjes een verschillende grootte hebben en niet kunnen worden onderscheiden om ze te tellen, wordt de som vervangen door een integraal die wordt gemaakt over het volume dat door het object in kwestie wordt ingenomen:
Waar r is de positievector van een differentiële massa dm en de definitie van massadichtheid is gebruikt om het massaverschil uit te drukken dm vervat in een volumeverschil dV
Enkele belangrijke overwegingen over het zwaartepunt zijn als volgt:
- Hoewel een referentiesysteem nodig is om de posities vast te stellen, is het massamiddelpunt niet afhankelijk van de keuze van het systeem, aangezien het een eigenschap is van het object..
- Wanneer het object een as of een symmetrievlak heeft, bevindt het massamiddelpunt zich op die as of dat vlak. Door van deze omstandigheid te profiteren, bespaart u rekentijd.
- Alle externe krachten die op het object inwerken, kunnen op het massamiddelpunt worden uitgeoefend. Het bijhouden van de beweging van dit punt geeft een globaal beeld van de beweging van het object en vergemakkelijkt het bestuderen van zijn gedrag..
Stel dat u het lichaam in de vorige afbeelding in statisch evenwicht wilt maken, dat wil zeggen dat het niet transleert of roteert rond een willekeurige rotatieas die O kan zijn.
Een dunne staaf van uniform materiaal is 6 m lang en weegt 30 N. Aan het linker uiteinde wordt een gewicht van 50 N gehangen en aan het rechter uiteinde een gewicht van 20 N. Vind: a) De grootte van de opwaartse kracht die nodig is om het evenwicht van de staaf te behouden, b) Het zwaartepunt van de set.
Het krachtdiagram wordt weergegeven in de volgende afbeelding. Het gewicht van de staaf wordt aangebracht op het zwaartepunt, dat samenvalt met het geometrische middelpunt. De enige afmeting van de staaf die in aanmerking wordt genomen, is de lengte, aangezien de verklaring aangeeft dat deze dun is.
Om het systeem van staaf + gewichten in translationeel evenwicht te houden, moet de som van de krachten nul zijn. De krachten zijn verticaal, als we omhoog kijken met teken + en omlaag met teken - dan:
F- 50 - 20 - 30 N = 0
F = 100 N
Deze kracht garandeert de translationele balans. De torsiemomenten nemen van alle krachten ten opzichte van een as die door het linkeruiteinde van het systeem gaat en de definitie toepassen:
t = r x F
De momenten van al deze krachten rond het geselecteerde punt staan loodrecht op het vlak van de staaf:
tF. = xF = 100x
tW. = - (l / 2) mg = -3m. 30 N = -90 N.m
t1 = 0 (aangezien de kracht van 50 N door de geselecteerde rotatieas gaat en geen moment uitoefent)
ttwee = -lFtwee = 6 m. 20 N = -120 N.m
Daarom:
100 x -90-120 N.m = 0
x = 2,10 m
Het zwaartepunt van de set stang + gewichten bevindt zich 2,10 meter vanaf de linkerkant van de stang.
Het zwaartepunt valt samen met het massamiddelpunt, zoals aangegeven, zolang het zwaartekrachtveld van de aarde constant is voor alle punten van het te beschouwen object. Het zwaartekrachtveld van de aarde is niets anders dan de bekende en vertrouwde waarde van g = 9,8 m / stwee verticaal naar beneden gericht.
Hoewel de waarde van g varieert met de breedtegraad en hoogte, hebben deze meestal geen invloed op de objecten die meestal voorkomen. Het zou heel anders zijn als je een groot lichaam in de buurt van de aarde beschouwt, bijvoorbeeld een asteroïde die heel dicht bij de planeet staat..
De asteroïde heeft zijn eigen zwaartepunt, maar zijn zwaartepunt zou hier niet meer mee hoeven samen te vallen, aangezien g zou waarschijnlijk aanzienlijke variaties in grootte ervaren, gezien de grootte van de asteroïde en het feit dat de gewichten van elk deeltje mogelijk niet parallel zijn.
Een ander fundamenteel verschil is dat het zwaartepunt wordt gevonden, ongeacht of er een kracht, gewicht genaamd, op het object wordt uitgeoefend. Het is een intrinsieke eigenschap van het object die ons laat zien hoe zijn massa is verdeeld in relatie tot zijn geometrie.
Het zwaartepunt bestaat, ongeacht of er wel of geen gewicht wordt toegepast. En het bevindt zich op dezelfde positie, zelfs als het object naar een andere planeet beweegt waar het zwaartekrachtveld anders is..
Aan de andere kant is het zwaartepunt duidelijk gekoppeld aan de toepassing van gewicht, zoals we in de voorgaande paragrafen hebben gezien..
Het is heel gemakkelijk om erachter te komen waar het zwaartepunt van een onregelmatig voorwerp zoals een beker is. Ten eerste wordt het aan een willekeurig punt opgehangen en van daaruit wordt een verticale lijn getrokken (in figuur 5 is dit de fuchsia lijn in de linker afbeelding).
Het wordt dan opgehangen aan een ander punt en een nieuwe verticaal wordt getekend (turkooizen lijn in de rechter afbeelding). Het snijpunt van beide lijnen is het zwaartepunt van de beker.
Laten we de stabiliteit van een vrachtwagen op de weg analyseren. Wanneer het zwaartepunt zich boven de basis van de vrachtwagen bevindt, zal de vrachtwagen niet kantelen. De afbeelding aan de linkerkant is de meest stabiele positie.
Zelfs wanneer de vrachtwagen naar rechts gekanteld is, kan hij terugkeren naar een stabiele evenwichtspositie, zoals in de middelste tekening, aangezien de verticaal nog steeds door de basis gaat. Als deze lijn echter buiten komt, zal de vrachtwagen kantelen.
Het diagram toont de krachten bij het draaipunt: normaal in geel, gewicht in groen en statisch naar links wrijven in fuchsia. De normaal en wrijving worden toegepast op de rotatieas, zodat ze geen koppel uitoefenen. Daarom dragen ze niet bij aan het kantelen van de truck.
Het gewicht blijft, dat wel een koppel uitoefent, gelukkig tegen de klok in en dat de neiging heeft om de truck terug te brengen naar zijn evenwichtspositie. Merk op dat de verticale lijn door het steunvlak gaat, dat is de band.
Als de truck helemaal rechts staat, verandert het koppel van het gewicht naar rechtsom. De truck kan een volgende keer niet worden gecounterd.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.