Elastische schokken in één dimensie, speciale gevallen, oefeningen

De elastische schokken of elastische botsingen bestaan ​​uit korte maar intense interacties tussen objecten, waarbij zowel het momentum als de kinetische energie behouden blijven. Ongevallen zijn zeer frequente gebeurtenissen in de natuur: van subatomaire deeltjes tot sterrenstelsels, tot biljartballen en botsauto's in pretparken, het zijn allemaal objecten die kunnen botsen.

Tijdens een botsing of botsing zijn de interactiekrachten tussen objecten erg sterk, veel meer dan die van buitenaf kunnen werken. Op deze manier kan worden gesteld dat tijdens de botsing de deeltjes een geïsoleerd systeem vormen.

In dit geval is het waar dat:

P._of = P._F.

De hoeveelheid beweging P._of voor de aanrijding is hetzelfde als na de aanrijding. Dit geldt voor elk type botsing, zowel elastisch als niet-elastisch..

Bedenk nu het volgende: bij een aanrijding ondergaan objecten een bepaalde vervorming. Als de schok elastisch is, krijgen objecten snel hun oorspronkelijke vorm terug.

Artikel index

• 1 Behoud van kinetische energie
• 2 elastische schokbrekers in één dimensie
  • 2.1 -Formules voor elastische botsingen
• 3 Speciale gevallen bij elastische botsingen
  • 3.1 Twee identieke massa's
  • 3.2 Twee identieke massa's, waarvan er één aanvankelijk in rust was
  • 3.3 Twee verschillende massa's, waarvan één aanvankelijk in rust
• 4 Restitutiecoëfficiënt of Huygens-Newton-regel
• 5 oefeningen opgelost
  • 5.1 -Opgeloste oefening 1
  • 5.2 - Opgeloste oefening 2
  • 5.3 - Opgeloste oefening 3
  • 5.4 - Opgeloste oefening 4
• 6 referenties

Behoud van kinetische energie

Normaal gesproken wordt tijdens een crash een deel van de energie van objecten besteed aan warmte, vervorming, geluid en soms zelfs aan het produceren van licht. Dus de kinetische energie van het systeem na de botsing is minder dan de oorspronkelijke kinetische energie.

Als de kinetische energie K behouden blijft, dan:

K_of = K_F.

Dat betekent dat de krachten die optreden tijdens de botsing conservatief zijn. Tijdens de botsing wordt de kinetische energie kortstondig omgezet in potentiële energie en vervolgens weer terug in kinetische energie. De respectievelijke kinetische energieën variëren, maar de som blijft constant.

Perfect elastische botsingen zijn zeldzaam, hoewel biljartballen een redelijk goede benadering zijn, evenals botsingen die optreden tussen ideale gasmoleculen..

Elastische schokbrekers in één dimensie

Laten we eens kijken naar een botsing van twee deeltjes hiervan in een enkele dimensie; dat wil zeggen, de op elkaar inwerkende deeltjes bewegen zich bijvoorbeeld langs de x-as. Stel dat ze massa hebben m₁ Y m_twee. De beginsnelheden van elk zijn of₁ Y of_twee respectievelijk. Eindsnelheden zijn v₁ Y v_twee.

We kunnen afzien van de vectornotatie, aangezien de beweging langs de x-as wordt uitgevoerd, maar de tekens (-) en (+) de richting van de beweging aangeven. Links is negatief en rechts positief, volgens afspraak.

-Formules voor elastische botsingen

Voor de hoeveelheid beweging

m₁of₁ + m_tweeof_twee = m₁v₁ + m_tweev_twee

Voor kinetische energie

½ m₁of^twee₁ + ½ m_tweeof^twee_twee = ½ m₁v^twee₁ +  ½ m_tweev^twee_twee

Op voorwaarde dat de massa's en beginsnelheden bekend zijn, kunnen de vergelijkingen worden gehergroepeerd om de eindsnelheden te vinden.

Het probleem is dat het in principe nodig is om een ​​beetje saaie algebra uit te voeren, aangezien de vergelijkingen voor kinetische energie de kwadraten van de snelheden bevatten, wat de berekening een beetje omslachtig maakt. Het ideaal zou zijn om uitdrukkingen te vinden die ze niet bevatten.

Het eerste is om zonder de factor ½ te doen en beide vergelijkingen zo te herschikken dat een negatief teken verschijnt en de massa kan worden meegerekend:

m₁of₁ - m₁v₁ = M_tweev_twee - m_tweeof_twee

m₁of^twee₁ - m₁v^twee₁  = + M_tweev^twee_twee - m_tweeof^twee_twee

Op deze manier worden uitgedrukt:

m₁(of₁ - v₁ ) = m_twee(v_twee - of_twee​

m₁(of^twee₁ - v^twee₁ ) = m_twee (v^twee_twee - of^twee_twee​

Vereenvoudiging om de kwadraten van de snelheden te elimineren

Nu moeten we gebruik maken van de opmerkelijke som van het product door zijn verschil in de tweede vergelijking, waarmee we een uitdrukking krijgen die de vierkanten niet bevat, zoals oorspronkelijk wilde:

m₁(of₁ - v₁ ) = m_twee(v_twee - of_twee​

m₁(of₁ - v₁ ) (of₁ + v₁ ) = m_twee (v_twee - of_twee) (v_twee + of_twee​

De volgende stap is om de eerste vergelijking in de tweede te vervangen:

m_twee(v_twee - of_twee) (of₁ + v₁ ) = m_twee (v_twee - of_twee) (v_twee + of_twee​

En wanneer de term wordt herhaald m_twee(v_twee - of_twee​ aan beide kanten van de gelijkheid is genoemde term geannuleerd en ziet er als volgt uit:

(of₁ + v₁) = (v_twee + of_twee​

Of nog beter:

of₁ - of_twee= v_twee -  v₁

Eindsnelheden v₁ en V_twee van de deeltjes

Nu heb je twee lineaire vergelijkingen waarmee je gemakkelijker kunt werken. We plaatsen ze onder elkaar terug:

m₁of₁ + m_tweeof_twee = m₁v₁ + m_tweev_twee

of₁ - of_twee= v_twee -  v₁

De tweede vergelijking vermenigvuldigen met m₁ en het toevoegen van term aan term is:

m₁of₁ + m_tweeof_twee = m₁v₁ + m_tweev_twee

m₁of₁ - m₁of_twee= m₁v_twee - m₁ v₁

-

2 mtr₁of₁ + (m_twee - m₁) of_twee = (m_twee + m₁) v_twee

En het is al mogelijk om te wissen v_twee. Bijvoorbeeld:

Speciale gevallen bij elastische botsingen

Nu er vergelijkingen beschikbaar zijn voor de eindsnelheden van beide deeltjes, is het tijd om enkele speciale situaties te analyseren.

Twee identieke massa's

Dan m₁ = m_twee = m Y:

v₁ = u_twee

v_twee = u₁

De deeltjes wisselen na de botsing gewoon hun snelheid uit.

Twee identieke missen, waarvan er één aanvankelijk in rust was

Opnieuw  m₁ = m_twee = m en ervan uitgaande dat of₁ = 0:

v₁ = u_twee

v_twee = 0

Na de botsing krijgt het deeltje dat in rust was dezelfde snelheid als het deeltje dat in beweging was, en dit stopt op zijn beurt.

Twee verschillende missen, waarvan er één aanvankelijk in rust was

Stel dat in dit geval of₁ = 0, maar de massa is anders:

Wat nou als m₁ is veel groter dan m_twee?

Het gebeurt dat m₁ is nog in rust en m_twee keert zo snel terug als het raakt.

Restitutiecoëfficiënt of Huygens-Newton-regel

Eerder werd de volgende relatie tussen de snelheden afgeleid voor twee objecten in elastische botsing: of₁ - of_twee = v_twee -  v₁. Deze verschillen zijn de relatieve snelheden voor en na de botsing. In het algemeen geldt voor een aanrijding dat:

of₁ - of_twee = - (v₁ -  v_twee​

Het concept van relatieve snelheid wordt het best gewaardeerd als de lezer zich voorstelt dat hij zich op een van de deeltjes bevindt en vanuit deze positie de snelheid waarneemt waarmee het andere deeltje beweegt. De bovenstaande vergelijking wordt als volgt herschreven:

Opgeloste oefeningen

-Opgeloste oefening 1

Een biljartbal beweegt naar links met 30 cm / s en botst frontaal met een andere identieke bal die naar rechts beweegt met 20 cm / s. De twee ballen hebben dezelfde massa en de botsing is perfect elastisch. De snelheid van elke bal na een botsing bepalen.

Oplossing

of₁ = -30 cm / s

of_twee = +20 cm / s

Het is het speciale geval waarin twee identieke massa's elastisch in één dimensie botsen, waardoor de snelheden worden uitgewisseld.

v₁ = +20 cm / s

v_twee = -30 cm / s

-Oefening opgelost 2

De restitutiecoëfficiënt van een bal die van de grond stuitert, is gelijk aan 0,82. Als de bal uit rust valt, welk deel van zijn oorspronkelijke hoogte bereikt de bal dan na één keer stuiteren? En na 3 bounces?

Oplossing

Bodem kan object 1 zijn in de vergelijking van de restitutiecoëfficiënt. En het blijft altijd in rust, zodat:

Met deze snelheid stuitert het:

Het + -teken geeft aan dat het een oplopende snelheid is. En volgens het bereikt de bal een maximale hoogte van:

Nu keert het weer terug naar de grond met een snelheid van dezelfde grootte, maar het tegenovergestelde teken:

Hiermee wordt een maximale hoogte bereikt van:

Ga terug naar de grond met:

Opeenvolgende bounces

Elke keer dat de bal stuitert en stijgt, vermenigvuldigt u de snelheid opnieuw met 0,82:

Inmiddels is h₃ is ongeveer 30% van h_of. Wat zou de hoogte zijn tot de 6e sprong zonder de noodzaak om zulke gedetailleerde berekeningen te maken als de vorige?

Zou h₆ = 0,82¹² h_of = 0,092 uur_of of slechts 9% van h_of.

-Oefening opgelost 3

Een blok van 300 g beweegt naar het noorden met 50 cm / s en botst met een blok van 200 g naar het zuiden met 100 cm / s. Stel dat de schokbreker perfect elastisch is. Vind de snelheden na een botsing.

Gegevens

m₁ = 300 g; of₁ = + 50 cm / s

m_twee = 200 g; of_twee = -100 cm / s

-Oefening opgelost 4

Er komt een massa m vrij₁ = 4 kg vanaf het aangegeven punt op de wrijvingsloze baan, tot hij in botsing komt met m_twee = 10 kg in rust. Hoe hoog stijgt m?₁ na de botsing?

Oplossing

Omdat er geen wrijving is, wordt mechanische energie behouden om de snelheid te vinden of₁ met wat m₁ effecten  m_twee. Aanvankelijk is de kinetische energie 0, sindsdien m₁ een deel van de rust. Wanneer het op het horizontale oppervlak beweegt, heeft het geen hoogte, dus de potentiële energie is 0.

mgh = ½ mu₁ ^twee

of_twee = 0

Nu de snelheid van m₁ na de botsing:

Het minteken betekent dat het is geretourneerd. Met deze snelheid stijgt het en wordt de mechanische energie weer behouden om terug te vinden h ', de hoogte waarnaar je kunt opstijgen na de crash:

½ mv₁^twee = mgh '

Merk op dat het niet terugkeert naar het startpunt op een hoogte van 8 m. Het heeft niet genoeg energie omdat de massa een deel van zijn kinetische energie gaf m_1.

Referenties

1. Giancoli, D. 2006. Natuurkunde: principes met toepassingen. 6^th. Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9^na Cengage leren. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Fysica voor wetenschap en technologie. 5e Ed. Deel 1. Redactioneel Reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Fysica: concepten en toepassingen. 7e editie. MacGraw Hill. 185-195