Hoe vind je de hoek van een driehoek?

Er zijn verschillende manieren om bereken de zijden en hoeken van een driehoek. Deze zijn afhankelijk van het type driehoek waarmee u werkt.

In deze gelegenheid wordt getoond hoe de zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek kunnen worden berekend, ervan uitgaande dat bepaalde gegevens van de driehoek met bekende.

De elementen die zullen worden gebruikt zijn:

- De stelling van Pythagoras

Gegeven een rechthoekige driehoek met benen "a", "b" en hypotenusa "c", is het waar dat "c² = a² + b²".

- Oppervlakte van een driehoek

De formule om de oppervlakte van een driehoek te berekenen is A = (b × h) / 2, waarbij 'b' de lengte van de basis is en 'h' de lengte van de hoogte.

- Hoeken van een driehoek

De som van de drie binnenhoeken van een driehoek is 180º.

- Trigonometrische functies:

Overweeg een rechthoekige driehoek. Vervolgens worden de trigonometrische functies sinus, cosinus en tangens van de hoek beta (β) als volgt gedefinieerd:

sin (β) = CO / heup, cos (β) = CA / heup en tan (β) = CO / CA.

Hoe de zijkanten en hoeken van een rechthoekige driehoek te vinden?

Gegeven een rechthoekige driehoek ABC kunnen de volgende situaties voorkomen:

1- De twee benen zijn bekend

Als been "a" 3 cm meet en been "b" 4 cm, dan wordt de stelling van Pythagoras gebruikt om de waarde van "c" te berekenen. Door de waarden van "a" en "b" te vervangen, verkrijgen we dat c² = 25 cm², wat inhoudt dat c = 5 cm.

Als de hoek β nu tegenover het been “b” ligt, dan is sin (β) = 4/5. Door de inverse functie van de sinus toe te passen, krijgen we in deze laatste gelijkheid die β = 53,13º. Twee interne hoeken van de driehoek zijn al bekend.

Laat θ de hoek zijn die nog niet bekend is, dan 90º + 53,13º + θ = 180º, waaruit we dat θ = 36,87º verkrijgen.

In dit geval is het niet nodig dat de bekende zijden de twee benen zijn, het belangrijkste is om de waarde van twee zijden te kennen.

2- Een been is bekend en het gebied

Stel dat a = 3 cm de bekende poot is en A = 9 cm² de oppervlakte van de driehoek.

In een rechthoekige driehoek kan één been worden beschouwd als de basis en de andere als de hoogte (aangezien ze loodrecht staan).

Stel dat “a” de basis is, dus 9 = (3 × h) / 2, waaruit we afleiden dat het andere been 6 cm is. Om de hypotenusa te berekenen, gaat u te werk zoals in het vorige geval, en we verkrijgen dat c = √45 cm.

Als de hoek β nu tegenover het been “a” ligt, dan is sin (β) = 3 / √45. Oplossend voor β wordt verkregen dat de waarde 26,57º is. We hoeven alleen de waarde van de derde hoek θ te weten.

Het is tevreden dat 90º + 26.57º + θ = 180º, waaruit wordt geconcludeerd dat θ = 63.43º.

3- Een hoek en een been zijn bekend

Stel dat β = 45º de bekende hoek is en a = 3 cm de bekende poot, waarbij poot “a” de tegenovergestelde hoek β is. Met behulp van de tangensformule krijgen we dat tg (45º) = 3 / CA, waaruit volgt dat CA = 3 cm.

Met behulp van de stelling van Pythagoras wordt verkregen dat c² = 18 cm², dat wil zeggen c = 3√2 cm.

Het is bekend dat een hoek 90º meet en dat β 45º meet, vanaf hier wordt geconcludeerd dat de derde hoek 45º meet.

In dit geval hoeft de bekende zijde geen poot te zijn, het kan elk van de drie zijden van de driehoek zijn.

Referenties

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie (Herdruk red.). Vooruitgang.
2. Leake, D. (2006). Driehoeken (geïllustreerd red.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). Voorberekening. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrieën. CR-technologie.
5. Sullivan, M. (1997). Voorberekening. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Goniometrie en analytische meetkunde. Pearson Education.