De constante van integratie Het is een toegevoegde waarde bij de berekening van primitieve of integralen, het dient om de oplossingen weer te geven waaruit de primitieve functie van een functie bestaat. Druk een inherente dubbelzinnigheid uit wanneer elke functie een oneindig aantal primitieven heeft.
Als we bijvoorbeeld de functie nemen: f (x) = 2x + 1 en we krijgen zijn primitieve:
∫ (2x + 1) dx = xtwee + X + C Waar C is de constante van integratie en geeft grafisch de verticale vertaling weer tussen de oneindige mogelijkheden van de primitieve. Het is correct om te zeggen dat (xtwee + x) is een van de primitieven van f (x).
Op dezelfde manier kunnen we een (xtwee + X + C ) als de primitief van f (x).
Artikel index
Opgemerkt kan worden dat door de uitdrukking (xtwee + x) de functie f (x) = 2x + 1. Dit komt door de inverse eigenschap die bestaat tussen de afleiding en integratie van functies. Met deze eigenschap kunnen integratieformules worden verkregen uitgaande van de differentiatie. Wat de verificatie van integralen via dezelfde afgeleiden mogelijk maakt.
Echter (xtwee + x) is niet de enige functie waarvan de afgeleide gelijk is aan (2x + 1).
Waar 1, 2, 3 en 4 staan voor bepaalde primitieven van f (x) = 2x + 1. Terwijl 5 staat voor de onbepaalde of primitieve integraal van f (x) = 2x + 1.
De primitieven van een functie worden bereikt door het antiderivatie- of integrale proces. Waar F een primitief van f zal zijn als het volgende waar is
Het kan worden gezien dat een functie een enkele afgeleide heeft, in tegenstelling tot zijn oneindige primitieven die het resultaat zijn van integratie.
∫ f (X) dx = F (X) + C
Het komt overeen met een familie van krommen met hetzelfde patroon, die incongruentie ervaren in de waarde van de afbeeldingen van elk punt (x, y). Elke functie die aan dit patroon voldoet, zal een individuele primitief zijn en de verzameling van alle functies staat bekend als onbepaalde integraal.
De waarde van de constante van integratie zal degene zijn die elke functie in de praktijk onderscheidt.
De constante van integratie suggereert een verticale verschuiving in alle grafieken die de primitieven van een functie vertegenwoordigen. Waar het parallellisme tussen hen wordt waargenomen, en het feit dat C is de waarde van de verplaatsing.
Volgens gangbare praktijken de constante van integratie het wordt aangeduid met de letter "C" na een toevoeging, hoewel het in de praktijk niet uitmaakt of de constante wordt opgeteld of afgetrokken. De werkelijke waarde ervan kan op verschillende manieren worden gevonden, afhankelijk van begincondities.
Er werd al gesproken over hoe de constante van integratie wordt toegepast in de branche van integraalrekeningVertegenwoordigt een familie van krommen die de onbepaalde integraal definiëren. Maar veel andere wetenschappen en takken hebben zeer interessante en praktische waarden van de constante van integratie, die de ontwikkeling van meerdere onderzoeken hebben vergemakkelijkt.
In de fysiek de integratieconstante kan meerdere waarden aannemen, afhankelijk van de aard van de gegevens. Een veel voorkomend voorbeeld is het kennen van de functie V (t) die de snelheid van een deeltje versus tijd t. Het is bekend dat bij het berekenen van een primitief van V (t) de functie wordt verkregen R (t) die de positie deeltje versus tijd.
De constante van integratie vertegenwoordigt de waarde van de beginpositie, dat wil zeggen op tijdstip t = 0.
Evenzo, als de functie bekend is Bij) die de versnelling van het deeltje versus de tijd. De primitief van A (t) zal resulteren in de functie V (t), waarbij de constante van integratie zal de waarde zijn van de beginsnelheid V0.
In de economie, door door middel van integratie de primitief van een kostenfunctie te verkrijgen. De constante van integratie vertegenwoordigt vaste kosten. En zoveel andere toepassingen die differentiaal- en integraalrekening verdienen.
Om de constante van integratie, het zal altijd nodig zijn om de begincondities. Die verantwoordelijk zijn voor het bepalen welke van de mogelijke primitieven de overeenkomstige is.
In veel toepassingen wordt het behandeld als een onafhankelijke variabele op tijdstip (t), waarbij de constante C neemt de waarden die de begincondities van het specifieke geval.
Als we het eerste voorbeeld nemen: ∫ (2x + 1) dx = xtwee + X + C
Een geldige beginvoorwaarde kan zijn om te stellen dat de grafiek een specifieke coördinaat passeert. Het is bijvoorbeeld bekend dat de primitieve (xtwee + X + C) passeert het punt (1, 2)
F (x) = xtwee + X + C; dit is de algemene oplossing
F (1) = 2
We vervangen de algemene oplossing in deze gelijkheid
F (1) = (1)twee + (1) + C = 2
Van daaruit volgt dat gemakkelijk C = 0
Op deze manier is de overeenkomstige primitief voor dit geval F (x) = xtwee + X
Er zijn verschillende soorten numerieke oefeningen waarmee u kunt werken constanten van integratie. In feite wordt de differentiaal- en integraalrekening niet meer toegepast in huidige onderzoeken. Op verschillende academische niveaus zijn ze te vinden; van de eerste berekening tot onder andere natuurkunde, scheikunde, biologie, economie.
Het wordt ook gezien in de studie van differentiaalvergelijkingen, waar de constante van integratie Het kan verschillende waarden en oplossingen aannemen, dit vanwege de vele afleidingen en integraties die in deze materie worden uitgevoerd.
Het is bekend dat bij een gelijkmatig gevarieerde rechtlijnige beweging de versnelling een constante waarde is. Dit is het geval bij de projectiellancering, waarbij de versnelling de zwaartekracht is
g = - 10 m / stwee
Het is ook bekend dat de versnelling de tweede afgeleide is van de positie, wat duidt op een dubbele integratie in de resolutie van de oefening, waardoor er twee worden verkregen constanten van integratie.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C1
De beginvoorwaarden van de oefening geven aan dat de beginsnelheid V is0 = 25 m / s. Dit is de snelheid op het tijdstip t = 0. Op deze manier wordt er voor gezorgd dat:
V (0) = 25 = -10 (0) + C1 Y C1 = 25
De snelheidsfunctie die wordt gedefinieerd
V (t) = -10t + 25; De gelijkenis met de MRUV-formule (V.F. = V0 + een x t)
Op een homologe manier gaan we verder met het integreren van de snelheidsfunctie om de uitdrukking te verkrijgen die de positie definieert:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5ttwee + 25t + Ctwee
R (t) = -5ttwee + 25t + Ctwee (primitief van positie)
De uitgangspositie R (0) = 30 m is bekend. Vervolgens wordt de specifieke primitief van het projectiel berekend.
R (0) = 30 m = -5 (0)twee + 25 (0) + Ctwee . Waar Ctwee = 30
Het eerste deel is sindsdien opgelost R (t) = -5ttwee + 25t + 30 Deze uitdrukking is homoloog aan de verplaatsingsformule in MRUV R (t) = R0 + V.0t - gttwee/twee
Voor het tweede deel moet de kwadratische vergelijking worden opgelost: -5ttwee + 25t + 30 = 0
Omdat dit het deeltje conditioneert om de grond te bereiken (positie = 0)
In feite geeft de 2de graadsvergelijking ons 2 oplossingen T: 6, -1. De waarde t = -1 wordt genegeerd omdat het tijdseenheden zijn waarvan het domein geen negatieve getallen bevat.
Op deze manier wordt het tweede deel opgelost waarbij de vliegtijd gelijk is aan 6 seconden.
Met de informatie van de tweede afgeleide f "(x) = 4, begint het antiderivatieproces
f '(x) = ∫f "(x) dx
∫4 dx = 4x + C1
Als we dan de voorwaarde f '(2) = 2 kennen, gaan we verder:
4 (2) + C1 = 2
C1 = -6 en f '(x) = 4x - 8
Ga op dezelfde manier te werk voor de tweede constante van integratie
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2xtwee - 8x + Ctwee
De beginvoorwaarde f (0) = 7 is bekend en we gaan verder:
2 (0)twee - 8 (0) + Ctwee = 7
Ctwee = 7 en f (x) = 2xtwee - 8x + 7
Op dezelfde manier als het vorige probleem definiëren we de eerste afgeleiden en de oorspronkelijke functie uit de beginvoorwaarden.
f '(x) = ∫f "(x) dx
∫ (xtwee) dx = (x3/ 3) + C1
Met de voorwaarde f '(0) = 6 gaan we verder:
(03/ 3) + C1 = 6; Waar1 = 6 en f '(x) = (x3/ 3) + 6
Dan de tweede constante van integratie
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ [(x3/ 3) + 6] dx = (x4/ 12) + 6x + Ctwee
De beginvoorwaarde f (0) = 3 is bekend en we gaan verder:
[(0)4/ 12] + 6 (0) + Ctwee = 3; Waartwee = 3
Zo verkrijgen we het primitieve bijzondere
f (x) = (X4/ 12) + 6x + 3
Het is belangrijk om te onthouden dat afgeleiden verwijzen naar de helling van de lijn die de curve op een bepaald punt raakt. Waar het niet correct is om aan te nemen dat de grafiek van de afgeleide het aangegeven punt raakt, aangezien dit tot de grafiek van de primitieve functie behoort.
Op deze manier drukken we de differentiaalvergelijking als volgt uit:
dy = (2x - 2) dx dan hebben we bij het toepassen van de anti-afleidingscriteria:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
y = xtwee - 2x + C
De beginvoorwaarde toepassen:
2 = (3)twee - 2 (3) + C
C = -1
Is verkregen: f (x) = xtwee - 2x - 1
We drukken de differentiaalvergelijking als volgt uit:
dy = (3xtwee - 1) dx dan hebben we bij het toepassen van de anti-afleidingscriteria:
∫dy = ∫ (3xtwee - 1) dx
y = x3 - x + C
De beginvoorwaarde toepassen:
2 = (0)twee - 2 (0) + C
C = 2
Is verkregen: f (x) = x3 - x + 2
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.