Formule van tweedegraads vergelijkingen, hoe ze op te lossen, voorbeelden, oefeningen

3341
Alexander Pearson

De kwadratische of kwadratische vergelijkingen en een onbekende hebben de vorm bijltwee + bx + c = 0. Waar a ≠ 0, want als het 0 was, zou de vergelijking worden omgezet in een lineaire vergelijking, en de coëfficiënten a, b en c zijn reële getallen.

Het onbekende dat moet worden bepaald, is de waarde van x. De vergelijking 3xtwee - 5x + 2 = 0 is een complete kwadratische vergelijking.

Figuur 1. De formule voor het oplossen van kwadratische of kwadratische vergelijkingen van een onbekende

Er zijn ook varianten die bekend staan ​​als onvolledige tweedegraads vergelijkingen, die geen van de termen bevatten, behalve die van bijltwee. Hier zijn enkele voorbeelden:

Xtwee - 25 = 0

3xtwee - 5x = 0

Al Juarismi, de beroemde Arabische wiskundige uit de oudheid, beschreef in zijn werken verschillende soorten vergelijkingen van de eerste en tweede graad, maar alleen met positieve coëfficiënten. Het was echter de Franse wiskundige Francois Viete die voor het eerst letters introduceerde om hoeveelheden te symboliseren en de oplossing voor te stellen via de formule vastberaden

Dit is een algemene formule waarmee een kwadratische vergelijking kan worden opgelost en de wortels of nullen kunnen worden gevonden, zelfs als de oplossingen niet echt zijn. Er zijn ook andere manieren om ze op te lossen.

Artikel index

  • 1 Hoe kwadratische vergelijkingen op te lossen?
    • 1.1 Oplossing door middel van factoring
    • 1.2 Grafische methode
    • 1.3 Resolutie met wetenschappelijke rekenmachine
    • 1.4 Discriminant van een kwadratische vergelijking
  • 2 Voorbeelden van eenvoudige kwadratische vergelijkingen
    • 2.1 Vergelijking van de vorm x2 + mx + n = 0
    • 2.2 Onvolledige vergelijking van de vorm ax2 + c = 0
    • 2.3 Onvolledige vergelijking van de vorm ax2 + bx = 0
    • 2.4 Vergelijkingen met noemer
    • 2.5 Vergelijkingen van hogere orde die kwadratisch worden
  • 3 eenvoudig opgeloste oefeningen
    • 3.1 - Oefening 1
    • 3.2 - Oefening 2
    • 3.3 - Oefening 3
  • 4 referenties

Kwadratische vergelijkingen oplossen?

Vergelijkingen van de tweede graad kunnen worden opgelost met de bovenstaande formule, en er zijn ook andere algebraïsche procedures die resulteren in sommige vergelijkingen.

We gaan de in het begin voorgestelde vergelijking oplossen met de formule, een geldige methode voor elke kwadratische vergelijking met een onbekende:

3xtwee - 5x + 2 = 0

Om de formule correct te gebruiken, merken we op dat:

  • naar is de coëfficiënt van de term met xtwee
  • b is de coëfficiënt van de lineaire term
  • c is de onafhankelijke term.

We gaan ze identificeren met dezelfde vergelijking:

a = 3

b = -5

c = 2

Houd er rekening mee dat er rekening moet worden gehouden met het teken dat bij de coëfficiënt hoort. Nu vervangen we deze waarden in de formule:

In de teller staat het symbool van "plus - min" ±, wat aangeeft dat de grootheid met een wortel zowel als positief als negatief kan worden beschouwd. Een kwadratische vergelijking heeft maximaal twee reële oplossingen, en dit symbool houdt hier rekening mee.

Laten we x bellen1 en xtwee op deze twee oplossingen, dan:

X1 = (5 + 1) / 6 = 1

Xtwee = (5-1) / 6 = 4/6 = 2/3

Oplossing door middel van factoring

Sommige vergelijkingen van de tweede graad bestaan ​​uit trinominalen die gemakkelijk kunnen worden meegerekend. Als dit het geval is, is deze methode veel sneller. Laten we eens kijken naar de vergelijking:

Xtwee + 7x - 18 = 0

De factorisatie heeft deze vorm:

(x +) ⋅ (x -)

De lege ruimtes worden gevuld met twee getallen die bij vermenigvuldiging 18 opleveren en bij aftrekken 7. De tekens tussen haakjes worden gekozen met dit criterium:

-Tussen de eerste haakjes staat het teken tussen de eerste en de tweede term.

-En tussen het tweede haakje staat het product van de tekens die worden gezien.

Wat betreft de cijfers, ze worden in dit geval gemakkelijk gescoord: ze zijn 9 en 2. De grootste wordt altijd tussen de eerste haakjes geplaatst, zoals hier:

Xtwee + 7x - 18 = (x + 9). (x - 2)

De lezer kan aan de hand van de distributieve eigenschap verifiëren dat bij het ontwikkelen van het product van de rechterkant van de gelijkheid de trinominale van links wordt verkregen. Nu wordt de vergelijking herschreven:

(x + 9) ⋅ (x - 2) = 0

Om aan de gelijkheid te voldoen, is het voldoende dat een van de twee factoren nul is. Dus in de eerste moet je x doen1 = -9 of het kan zijn dat de tweede factor verdwijnt, in welk geval xtwee = 2. Dit zijn de oplossingen van de vergelijking.

Grafische methode

De wortels of oplossingen van de kwadratische vergelijking komen overeen met de snijpunten van de parabool y = bijltwee + bx + c met de horizontale as of x-as. Dus als we de corresponderende parabool plotten, zullen we de oplossing van de kwadratische vergelijking vinden door y = 0 te maken.

De sneden van de parabolen met de horizontale as vertegenwoordigen de oplossingen van de vergelijking bijltwee + bx + c = 0. Een parabool die alleen de horizontale as op één punt snijdt, heeft één wortel en dit zal altijd de top van de parabool zijn.

En tot slot, als een parabool de horizontale as niet doorsnijdt, de overeenkomstige vergelijking bijltwee + bx + c = 0 mist echte oplossingen.

Het met de hand maken van een grafiek kan omslachtig zijn, maar met het gebruik van programma's die online grafieken maken is het heel eenvoudig.

Figuur 2. Grafische weergave van drie soorten parabolen, met twee, één en geen snijpunt met de horizontale as. Bron: Wikimedia Commons.

Resolutie met wetenschappelijke rekenmachine

Veel modellen van wetenschappelijke rekenmachines hebben de mogelijkheid om kwadratische vergelijkingen op te lossen (en ook andere soorten vergelijkingen). Om erachter te komen, moet je het menu bekijken.

Zodra de kwadratische vergelijking van een onbekende optie is gekozen, vraagt ​​het menu om de waarden van de coëfficiënten a, b en c in te voeren en geeft het de echte oplossingen als ze bestaan. En er zijn ook modellen van wetenschappelijke rekenmachines die met complexe getallen werken en deze oplossingen bieden.

Discriminant van een kwadratische vergelijking

Om erachter te komen of de vergelijking echte oplossingen heeft of niet, en hoeveel er zijn, zonder eerst op te lossen, wordt de discriminant Δ gedefinieerd als de grootheid onder de vierkantswortel:

Δ = btwee - 4ac

Volgens het teken van de discriminant is het bekend hoeveel oplossingen de vergelijking heeft volgens dit criterium:

-Twee echte oplossingen: Δ> 0

-Een echte oplossing (of twee identieke oplossingen): Δ = 0

-Geen echte oplossing: Δ  < 0

Bijvoorbeeld, hoeveel oplossingen heeft de kwadratische vergelijking -7xtwee +12x + 64 = 0? We identificeren de coëfficiënten:

a = -7

b = 12

c = 64

Δ = btwee - 4ac = 12twee - 4x (-7) x 64 = 144 + 1792 = 1936> 0

De vergelijking heeft twee oplossingen. Laten we nu eens kijken naar deze andere:

Xtwee - 6x + 9 = 0

a = 1

b = -6

c = 9

Δ = (-6)twee - 4 x 1 x 9 = 36 - 36 = 0

Dit is een vergelijking met een enkele oplossing of met twee gelijke oplossingen.

Voorbeelden van eenvoudige kwadratische vergelijkingen

In het begin zeiden we dat vergelijkingen van de tweede graad compleet zouden kunnen zijn als de trinominale term is, en onvolledig als de lineaire term of de onafhankelijke term ontbrak. Laten we nu eens kijken naar enkele specifieke typen:

Vergelijking van de vorm xtwee + mx + n = 0

In dit geval a = 1 en de formule reduceert tot:

Voor dit type vergelijking, en altijd afhankelijk van de resterende coëfficiënten, kan de factormethode goed werken, zoals we in de vorige sectie hebben gezien.

Onvolledige vergelijking van de vormbijltwee + c = 0

De oplossing, als die bestaat, heeft de volgende vorm:

Er is een echte oplossing wanneer a of c een negatief teken hebben, maar als de twee termen hetzelfde teken hebben, is de oplossing denkbeeldig.

Onvolledige vergelijking van de vormbijltwee + bx = 0

Deze vergelijking is snel opgelost met behulp van factoring, aangezien x in beide termen een gemeenschappelijke factor is. Een van de oplossingen is altijd x = 0, de andere wordt als volgt gevonden:

bijltwee + bx = 0

x (bijl + b) = 0

ax + b = 0 → x = -b / a

Laten we hieronder een voorbeeld bekijken. Uitzoeken:

Xtwee - 5x = 0

x (x - 5) = 0

Daarom x1 = 0 en xtwee = 5

Vergelijkingen met noemer

Er zijn verschillende vergelijkingen van een rationeel type, waarbij het onbekende zowel in de teller als in de noemer aanwezig kan zijn, of zelfs alleen in de laatste, en die door middel van algebraïsche manipulaties worden gereduceerd tot kwadratische vergelijkingen.

De manier om ze op te lossen is door beide zijden van de gelijkheid te vermenigvuldigen met het kleinste gemene veelvoud of m.c.m van de noemers en vervolgens de termen opnieuw te rangschikken. Bijvoorbeeld:

Vergelijkingen van hogere orde die kwadratisch worden

Er zijn vergelijkingen van hogere orde die kunnen worden opgelost alsof ze kwadratisch zijn door middel van een variabele, bijvoorbeeld deze vergelijking bi-kwadraat

X4 - 10xtwee + 9 = 0

Laat xtwee = u, dan wordt de vergelijking:

oftwee - 10u + 9 = 0

Deze vergelijking wordt snel opgelost door te factureren, twee getallen te vinden die vermenigvuldigd zijn met 9 en opgeteld 10. Deze getallen zijn 9 en 1:

(u - 9). (u - 1) = 0

Daarom zijn de oplossingen van deze vergelijking u1 = 9 en utwee = 1. Nu retourneren we de wijziging:

Xtwee = 9 → x1 = 3 en xtwee = -3

Xtwee = 1 → x1 = 1 en xtwee = -1

De oorspronkelijke vergelijking is van orde 4 en heeft daarom minstens 4 wortels. Die in het voorbeeld is -3, -1, 1 en 3.

Eenvoudig opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Los de volgende kwadratische vergelijking op met het onbekende in de noemer:

Het kleinste gemene veelvoud is x (x + 2) en je moet alle termen vermenigvuldigen:

De equivalente uitdrukking blijft:

5x (x + 2) - x = x (x + 2)

We ontwikkelen:

5xtwee + 10x - x = xtwee + 2x

Alle termen worden links van de gelijkheid omgezet en naar rechts laten we 0:

5xtwee + 10x - x - xtwee - 2x = 0

4xtwee - 7x = 0

We houden rekening, omdat het een onvolledige vergelijking is:

x (4x - 7) = 0

Een van de oplossingen is x = 0, de andere is:

4x = 7

x = 7/4

- Oefening 2

Zoek de oplossing van de kwadratische vergelijkingen:

a) -7xtwee +12x + 64 = 0

b) xtwee - 6x + 9 = 0

Oplossing voor

Uit deze vergelijking kennen we de determinant Δ, omdat deze eerder als voorbeeld werd berekend, dus we gaan er gebruik van maken door de oplossende formule als volgt uit te drukken:

X1 = (-12 + 44) / -14 = - (32/14) = - (16/7)

Xtwee = (-12 - 44) / -14 = 4

Oplossing b

De vierkante trinominale xtwee - 6x + 9 is factorbaar, aangezien het een perfect vierkant trinominaal is:

Xtwee - 6x + 9 = (x-3)twee = 0

De oplossing voor deze vergelijking is x = 3.

- Oefening 3

Wat is de vergelijking waarvan de oplossingen 3 en 4 zijn?

Oplossing

De gefactureerde uitdrukking is:

(x - 3) ⋅ (x - 4) = 0

Verdelende eigenschap toepassen:

Xtwee - 4x -3x + 12 = 0

De twee centrale termen zijn vergelijkbaar en kunnen worden verminderd, waardoor:

Xtwee - 7x + 12 = 0

Referenties

  1. Baldor. 1977. Elementaire algebra. Venezolaanse culturele edities.
  2. Hoffman, J. Selectie van wiskundeonderwerpen. Deel 2.
  3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice hal.
  4. Stewart, J. 2006. Precalculus: wiskunde voor calculus. 5e. Editie. Cengage leren.
  5. Zapata, F. 4 manieren om een ​​kwadratische vergelijking op te lossen. Hersteld van: francesphysics.blogspot.com.
  6. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. Mcgraw heuvel.

Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.