Willekeurige foutformule en vergelijkingen, berekening, voorbeelden, oefeningen

De willekeurige fout van een fysieke grootheid bestaat uit de onvoorspelbare variaties van de maat van die grootheid. Deze variaties kunnen worden veroorzaakt door het fenomeen dat wordt gemeten, door het meetinstrument of door de waarnemer zelf..

Zo'n fout is niet omdat er iets verkeerd is gedaan tijdens het experiment, maar is een fout die inherent is aan het meetproces of het fenomeen dat wordt bestudeerd. Hierdoor is de gemeten grootheid soms iets hoger en soms iets minder, maar oscilleert meestal rond een centrale waarde..

In tegenstelling tot willekeurige fouten, kan een systematische fout worden veroorzaakt door een slechte kalibratie of een ontoereikende schaalfactor in het meetinstrument, zelfs een storing in de experimentele apparatuur, of een inadequate waarneming, die een afwijking in dezelfde richting veroorzaakt..

Figuur 1 illustreert het verschil tussen systematische en willekeurige fouten bij het gooien van darts naar een doel met cirkels..

In het geval van links zijn de pijlen geconcentreerd rond een punt ver van het midden. De lanceerinrichting van deze darts, hoewel goed gericht, heeft een systematische storing, misschien van visuele oorsprong, of in de manier van werpen.

Aan de andere kant heeft de launcher aan de rechterkant (in figuur 1) een grote spreiding rond het centrale doelwit, daarom is het een zeer onnauwkeurige launcher, met een slecht doel, die onwillekeurig een willekeurige fout begaat..

Artikel index

• 1 Formules en vergelijkingen in willekeurige fout
  • 1.1 Gemiddelde waarde en standaarddeviatie
• 2 Hoe de willekeurige fout te berekenen?
• 3 Voorbeelden van willekeurige fouten
  • 3.1 Een lengte meten met een meetlint of liniaal
  • 3.2 De snelheid van de wind
  • 3.3 Bij het aflezen van het volume op een maatcilinder
  • 3.4 Bij het meten van de lengte van een kind
  • 3.5 Bij gebruik van de weegschaal
• 4 Oefening opgelost
  • 4.1 Oplossing
• 5 referenties

Formules en vergelijkingen in willekeurige fout

Wanneer een willekeurige fout wordt waargenomen in het meetproces, is het noodzakelijk om de meting meerdere keren te herhalen, aangezien vanuit statistisch oogpunt, hoe groter het aantal metingen, hoe kleiner de fout in de uiteindelijke meetschatting..

Uiteraard moet bij elke meting ervoor worden gezorgd dat de omstandigheden waarin ze worden uitgevoerd altijd dezelfde zijn.

Stel dat de meting wordt herhaald n keer. Omdat er bij elke meting een willekeurige fout is, heeft deze een iets andere waarde. Stel dat de set van n afmetingen is:

X₁, X_twee, X₃,..., x_n ​

Dus welke waarde moet worden gerapporteerd voor de maatregel? 

Gemiddelde waarde en standaarddeviatie

De middelste waarde of gemiddelde van de reeks maten, die we aanduiden door en wordt als volgt berekend:

= (x₁ + X_twee + X₃ +… + X_n) / n

Standaardafwijking

Dit resultaat heeft echter een foutmarge die wordt gegeven door de standaarddeviatie. Om het te definiëren, moet u eerst de afwijking kennen en vervolgens de variantie:

-Afwijking d_ik  wat elke gemeten waarde heeft xi met betrekking tot de gemiddelde waarde het is:

d_ik = x_ik -

Als het gemiddelde van de afwijkingen zou worden berekend, zou dit systematisch worden verkregen = 0, net zo: 

= (d₁ + d_twee + d₃ +… + D_n) / n =

= [(x₁ - ) + (x_twee - ) +… + (X_n - )] / n

= (x₁+ X_twee +… + X_n) / n - n / n = - = 0

-Het gemiddelde van de afwijkingen is niet bruikbaar om de spreiding van de maatregelen te kennen. Aan de andere kant, de gemiddelde waarde van het kwadraat van de afwijkingen of variantie, aangeduid met σ^twee, als het is.

Het wordt berekend volgens de volgende formule:

σ^twee = (d₁^twee + d_twee^twee +…. + D_n^twee ) / (n -1)

In statistieken wordt deze hoeveelheid genoemd variantie.  

En de vierkantswortel van de variantie staat bekend als standaard deviatie σ​

σ = √ [(d₁^twee + d_twee^twee +…. + D_n^twee ) / (n -1)] 

De standaarddeviatie σ vertelt ons dat:

1.- 68% van de uitgevoerde metingen vallen binnen het interval ​ - σ , + σ]. 

2. - 95% van de metingen zijn in het interval ​ - 2σ , + 2σ].

3. - 99,7% van de uitgevoerde metingen vallen binnen het bereik ​ - 3σ , + 3σ].

Hoe de willekeurige fout te berekenen?

Het meetresultaat is de middelste waarde van de n metingen aangegeven door en wordt berekend volgens de volgende formule:

= (∑x_ik) / n

Echter Het is sindsdien niet de "exacte" waarde van de meting wordt beïnvloed door willekeurige fout ε, die als volgt wordt berekend:

ε = σ / √n

Waar:

σ = √ [(∑ (xi - ​^twee ) / (n -1)]

Het uiteindelijke resultaat van de meting moet op een van de volgende manieren worden gerapporteerd:

1. ± σ / √n = ± ε met een betrouwbaarheidsniveau van 68%.
2. ± 2σ / √n = ± 2ε met een betrouwbaarheidsniveau van 95%.
3. ± 3σ / √n = ± 3ε met een betrouwbaarheidsniveau van 99,7%.

De willekeurige fout heeft invloed op het laatste significante cijfer van de meting, dat over het algemeen samenvalt met de waardering van het meetinstrument. Als de willekeurige fout echter erg groot is, kunnen de laatste twee significante cijfers worden beïnvloed door variatie..

Voorbeelden van willekeurige fouten

Willekeurige fouten kunnen optreden in verschillende gevallen waarin een meting wordt uitgevoerd:

Een lengte meten met een meetlint of liniaal

Wanneer een lengte wordt gemeten met een liniaal of meetlint en de aflezingen vallen tussen de markeringen op de schaal, dan wordt die tussenwaarde geschat.

Soms heeft de schatting een overschrijding en soms een defect, waardoor er een willekeurige fout in het meetproces wordt geïntroduceerd.

De snelheid van de wind

Bij het meten van de windsnelheid kunnen er vanwege de veranderende aard van het fenomeen veranderingen optreden in de uitlezing van het ene moment naar het andere..

Bij het aflezen van het volume op een maatcilinder

Wanneer het volume wordt afgelezen met een maatcilinder, zelfs als je probeert de parallaxfout te minimaliseren, verandert elke keer dat het wordt gemeten de waarnemingshoek van de meniscus een beetje, daarom worden de metingen beïnvloed door willekeurige fouten.

Bij het meten van de lengte van een kind

Bij het meten van de lengte van een kind, vooral als hij een beetje onrustig is, maakt kleine veranderingen in houding de aflezing lichtjes.

Bij gebruik van de weegschaal

Als we ons gewicht willen meten met een weegschaal, kan een kleine verandering in het draaipunt, zelfs een verandering in houding de meting willekeurig beïnvloeden..

Oefening opgelost

Een speelgoedbuggy mag over een rechte en hellende baan rollen en de tijd die nodig is om de hele baan af te leggen, wordt gemeten met een stopwatch. 

De meting wordt 11 keer uitgevoerd, waarbij ervoor wordt gezorgd dat de trolley altijd van dezelfde plaats wordt losgelaten, zonder hem een ​​impuls te geven en de helling gefixeerd blijft..

De reeks verkregen resultaten is:

3.12s 3.09s 3.04s 3.04s 3.10s 3.08s 3.05s 3.10s 3.11s 3.06s, 3.03s

Wat is de willekeurige fout van de metingen?

Oplossing

Zoals u kunt zien, zijn de verkregen resultaten niet uniek en variëren ze enigszins..

Het eerste is om de gemiddelde waarde van de afdalingstijd te berekenen en 3.074545455 seconden te krijgen.

Het heeft geen zin om zoveel decimalen te behouden, aangezien elke meting drie significante cijfers heeft en de tweede decimaal van elke meting onzeker is, aangezien het zich aan de limiet van waardering van de stopwatch bevindt, daarom wordt het resultaat afgerond op twee decimalen:

= 3,08 s.

Met de rekenmachine in statistische modus is de standaarddeviatie σ = 0,03 s en de standaardfout is σ / √11 = 0,01 s. Het uiteindelijke resultaat wordt als volgt uitgedrukt:

Afdalingstijd 

3,08 s ± 0,01 s (met een betrouwbaarheidsniveau van 68%)

3,08 s ± 0,02 s (met een betrouwbaarheidsniveau van 95%)

3,08 s ± 0,03 s (met een betrouwbaarheidsniveau van 99,7%)

Referenties

1. Canavos, G. 1988. Waarschijnlijkheid en statistiek: toepassingen en methoden. Mcgraw heuvel.
2. Devore, J. 2012. Waarschijnlijkheid en statistiek voor techniek en wetenschap. 8e. Editie. Cengage.
3. Helmenstine A. Willekeurige fout vs. systematische fout. Hersteld van: thoughtco.com
4. Laredo, E. Fouten in de media. Hersteld van: usb.ve.
5. Levin, R. 1988. Statistieken voor beheerders. 2e. Editie. Prentice hal.