Er is sprake van willekeurig experiment wanneer de uitkomst van elk bepaald onderzoek onvoorspelbaar is, ook al kan de kans op het optreden van een bepaald resultaat worden vastgesteld.
Er moet echter worden verduidelijkt dat het niet mogelijk is om hetzelfde resultaat van een willekeurig systeem met dezelfde parameters en beginvoorwaarden in elke proef van het experiment te reproduceren..
Een goed voorbeeld van een willekeurig experiment is het rollen van een dobbelsteen. Zelfs als ervoor wordt gezorgd dat de dobbelsteen op dezelfde manier wordt gegooid, zal elke poging een onvoorspelbaar resultaat opleveren. Het enige dat eigenlijk kan worden gezegd, is dat het resultaat een van de volgende kan zijn: 1, 2, 3, 4, 5 of 6.
Het opgooien van een munt is een ander voorbeeld van een willekeurig experiment met slechts twee mogelijke uitkomsten: kop of munt. Hoewel de munt vanaf dezelfde hoogte en op dezelfde manier wordt gegooid, zal de kansfactor altijd aanwezig zijn, waardoor er bij elke nieuwe poging onzekerheid ontstaat..
Het tegenovergestelde van een willekeurig experiment is een deterministisch experiment. Het is bijvoorbeeld bekend dat elke keer dat water op zeeniveau wordt gekookt, de kooktemperatuur 100 ºC is. Maar het gebeurt nooit dat, onder dezelfde omstandigheden, het resultaat soms 90 ºC, andere 12 0 ºC en soms 100 ºC is..
Artikel index
De verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een willekeurig experiment wordt genoemd voorbeeldruimte. In het willekeurige experiment van het rollen van een dobbelsteen is de monsterruimte:
D = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Aan de andere kant, bij het opgooien van een munt is de monsterruimte:
M = koppen, stempel.
In een willekeurig experiment, a evenement het is het al dan niet voorkomen van een bepaald resultaat. Bijvoorbeeld, in het geval van een toss, is een gebeurtenis of gebeurtenis dat het naar voren komt.
Een andere gebeurtenis in een willekeurig experiment zou de volgende kunnen zijn: dat een getal kleiner dan of gelijk aan drie wordt gegooid op de worp van een dobbelsteen.
In het geval dat de gebeurtenis zich voordoet, is de set van mogelijke resultaten de set:
E = 1, 2, 3
Dit is op zijn beurt een subset van de sample-ruimte of set:
M = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Hier zijn enkele voorbeelden die het bovenstaande illustreren:
Stel dat er twee munten achter elkaar worden gegooid. Het vraagt:
a) Geef aan of het een willekeurig experiment is of juist een deterministisch experiment.
b) Wat is de monsterruimte S van dit experiment?
c) Geef de reeks van gebeurtenis A aan, die overeenkomt met het feit dat het experiment kop en munt oplevert.
d) Bereken de kans dat gebeurtenis A plaatsvindt.
e) Zoek ten slotte de kans dat gebeurtenis B plaatsvindt: er verschijnen geen koppen in het resultaat.
a) Het is een willekeurig experiment omdat er geen manier is om te voorspellen wat het resultaat zal zijn van het opgooien van de twee munten.
b) De steekproefruimte is de verzameling van alle mogelijke uitkomsten:
S = (c, c), (c, s), (s, c), (s, s)
c) Event A, als het zich voordoet, kan de volgende resultaten hebben:
A = (c, s), (s, c)
d) De kans dat gebeurtenis A plaatsvindt, wordt verkregen door het aantal elementen van set A te delen door het aantal elementen van set S dat overeenkomt met de monsterruimte:
P (A) = 2/4 = ½ = 0,5 = 50%
e) De set van mogelijke uitkomsten die overeenkomen met gebeurtenis B (geen hoofden in de uitkomst) is:
B = (s, s)
Daarom is de kans dat gebeurtenis B optreedt in een proef het quotiënt tussen het aantal mogelijke uitkomsten van B en het totale aantal gevallen:
P (B) = ¼ = 0,25 = 25%.
Een zakje bevat 10 witte knikkers en 10 zwarte knikkers. Drie knikkers worden achtereenvolgens willekeurig en zonder naar binnen te kijken uit de zak gehaald.
a) Bepaal de steekproefruimte van dit willekeurige experiment.
b) Bepaal de reeks resultaten die overeenkomt met gebeurtenis A, die bestaat uit twee zwarte knikkers na het experiment.
c) Gebeurtenis B is het verkrijgen van ten minste twee zwarte knikkers, bepaal de reeks B van resultaten voor dit evenement.
d) Wat is de kans dat gebeurtenis A plaatsvindt?
e) Bepaal de kans dat gebeurtenis B plaatsvindt.
f) Bepaal de kans dat het resultaat van het willekeurige experiment is dat je ten minste één zwarte knikker hebt. Dit evenement zal C heten.
Om de voorbeeldruimte te construeren, is het handig om een boomdiagram te maken, zoals weergegeven in figuur 3:
De set Ω van mogelijke resultaten van het extraheren van drie knikkers uit een zak met hetzelfde aantal zwarte en witte knikkers, is precies de monsterruimte van dit willekeurige experiment.
Ω = (b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n) , (n, n, b), (n, n, n)
De reeks mogelijke uitkomsten die overeenkomen met gebeurtenis A, die bestaat uit twee zwarte knikkers, is:
A = (b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)
Gebeurtenis B wordt gedefinieerd als: "met ten minste twee zwarte knikkers nadat je er willekeurig drie hebt getrokken". De reeks mogelijke uitkomsten voor evenement B is:
B = (b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)
De kans op gebeurtenis A is het quotiënt tussen het aantal mogelijke uitkomsten voor deze gebeurtenis en het totale aantal mogelijke uitkomsten, dat wil zeggen het aantal elementen in de steekproefruimte.
P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%
Er is dus een kans van 37,5% dat je twee zwarte knikkers hebt nadat je willekeurig drie knikkers uit de zak hebt getrokken. Maar merk op dat we op geen enkele manier de exacte uitkomst van het experiment kunnen voorspellen.
De kans dat gebeurtenis B plaatsvindt, bestaande uit het verkrijgen van ten minste één zwarte knikker, is:
P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%
Dit betekent dat de kans dat gebeurtenis B plaatsvindt, gelijk is aan de kans dat deze niet plaatsvindt.
De kans om ten minste één zwarte knikker te verkrijgen, nadat er drie zijn geëxtraheerd, is gelijk aan 1 min de kans dat het resultaat 'de drie witte knikkers' is..
P (C) = 1 - P (b b b) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%
Nu kunnen we dit resultaat controleren, waarbij we opmerken dat het aantal mogelijkheden dat de gebeurtenis C optreedt gelijk is aan het aantal elementen van de mogelijke resultaten voor de gebeurtenis C:
C = (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b) , (n, n, n)
n (C) = 7
P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.