De transcendente functies Elementair zijn exponentiële, logaritmische, trigonometrische, inverse trigonometrische functies, hyperbolische en inverse hyperbolische. Dat wil zeggen, het zijn die welke niet kunnen worden uitgedrukt door middel van een polynoom, een quotiënt van veeltermen of wortels van veeltermen..
De niet-elementaire transcendente functies worden ook wel speciale functies genoemd en onder hen kan de foutfunctie worden genoemd. De algebraïsche functies (veeltermen, quotiënten van veeltermen en wortels van veeltermen) samen met de transcendente functies elementalen vormen wat in de wiskunde bekend staat elementaire functies.
Transcendente functies worden ook beschouwd als functies die het resultaat zijn van bewerkingen tussen transcendente functies of tussen transcendente en algebraïsche functies. Deze bewerkingen zijn: de som en het verschil van functies, product en quotiënt van functies, evenals de samenstelling van twee of meer functies.
Artikel index
Het is een echte functie van een echte onafhankelijke variabele van de vorm:
f (x) = a ^ x = aX
waar naar is een positief reëel getal (een> 0) vast genaamd de basis. De circumflex of superscript wordt gebruikt om de potentiërende operatie aan te duiden.
Laten we zeggen a = 2 dan ziet de functie er als volgt uit:
f (x) = 2 ^ x = 2X
Die wordt geëvalueerd voor verschillende waarden van de onafhankelijke variabele x:
Hieronder ziet u een grafiek waarin de exponentiële functie wordt weergegeven voor verschillende waarden van de basis, inclusief de basis en (Neper-nummer en ≃ 2,72). Baseren en is zo belangrijk dat we in het algemeen aan een exponentiële functie denken e ^ x, die ook wordt aangeduid exp (x).
Uit figuur 1 is te zien dat het domein van exponentiële functies de reële getallen zijn (Dom f = R) en het bereik of pad is de positieve reals (Ran f = R+.
Aan de andere kant, ongeacht de waarde van de basis a, gaan alle exponentiële functies door het punt (0, 1) en door het punt (1, a).
Wanneer de base een> 1, dan neemt de functie toe en wanneer 0 < a < 1 de functie neemt af.
Curven van y = een ^ x en van y = (1 / a) ^ x zijn symmetrisch rond de as Y.
Behalve in het geval a = 1, de exponentiële functie is injectief, dat wil zeggen dat elke waarde van het beeld overeenkomt met één en slechts één startwaarde.
Het is een echte functie van een echte onafhankelijke variabele op basis van de definitie van de logaritme van een getal. De logaritme om te baseren naar van een nummer X, Het is het nummer Y waartoe de basis moet worden verhoogd om het argument te verkrijgen X
logboeknaar(x) = y ⇔ een ^ y = x
Dat is de logaritme functie in de basis naar is de inverse functie van de exponentiële functie in basis naar.
Bijvoorbeeld:
logboektwee1 = 0, aangezien 2 ^ 0 = 1
Een ander geval, logtwee4 = 2, omdat 2 ^ 2 = 4
De logaritme van de root van 2 is logtwee√2 = ½, omdat 2 ^ ½ = √2
logboektwee ¼ = -2, aangezien 2 ^ (- 2) = ¼
Hieronder ziet u een grafiek van de logaritmefunctie in verschillende bases.
Het domein van de logaritmefunctie y (x) = logboeknaar(X) zijn de positieve reële getallen R+. Het bereik of bereik is de reële getallen R.
Ongeacht de basis, de logaritmefunctie gaat altijd door het punt (1,0) en het punt (a, 1) behoort tot de grafiek van deze functie.
In het geval dat het grondtal a groter is dan eenheid (a> 1), neemt de logaritmefunctie toe. Maar als (0 < a < 1) entonces es una función decreciente.
De sinusfunctie kent een reëel getal y toe aan elke x-waarde, waarbij x de maat van een hoek in radialen voorstelt. Om de waarde van de Sen (x) van een hoek te verkrijgen, wordt de hoek weergegeven in de eenheidscirkel en is de projectie van die hoek op de verticale as de sinus die overeenkomt met die hoek.
Het volgende toont (in figuur 3) de trigonometrische cirkel en de sinus voor verschillende hoekwaarden X1, X2, X3 en X4.
Op deze manier gedefinieerd, is de maximale waarde die de functie Sen (x) kan hebben 1, wat optreedt als x = π / 2 + 2π n, waarbij n een geheel getal is (0, ± 1, ± 2,). De minimumwaarde die de functie Sen (x) kan aannemen, treedt op als x = 3π / 2 + 2π n.
De cosinusfunctie y = Cos (x) wordt op een vergelijkbare manier gedefinieerd, maar de projectie van de hoekposities P1, P2, etc. wordt uitgevoerd op de horizontale as van de trigonometrische cirkel..
Aan de andere kant is de functie y = Tan (x) het quotiënt tussen de sinusfunctie en de cosinusfunctie.
Hieronder ziet u een grafiek van de transcendente functies Sen (x), Cos (x) en Tan (x)
Derivaat Y ' van de exponentiële functie y = een ^ x is de functie een ^ x vermenigvuldigd met de natuurlijke logaritme van grondtal a
y '= (a ^ x)' = a ^ x ln een
In het specifieke geval van de basis en, de afgeleide van de exponentiële functie is de exponentiële functie zelf.
De onbepaalde integraal van een ^ x is de functie zelf gedeeld door de natuurlijke logaritme van de basis.
In het specifieke geval van de grondtal e is de integraal van de exponentiële functie de exponentiële functie zelf.
Hieronder vindt u een samenvattende tabel van de belangrijkste transcendente functies, hun afgeleiden en onbepaalde integralen (primitieve functies):
Zoek de functie die resulteert uit de samenstelling van de functie f (x) = x ^ 3 met de functie g (x) = cos (x):
(f of g) (x) = f (g (x)) = cos3(X)
Zijn afgeleide en zijn onbepaalde integraal is:
Zoek de samenstelling van de functie g met de functie f, waarbij g en f de functies zijn die in het vorige voorbeeld zijn gedefinieerd:
(g of f) (x) = g (f (x)) = cos (x3
Opgemerkt moet worden dat de samenstelling van functies geen commutatieve bewerking is.
De afgeleide en de onbepaalde integraal voor deze functie zijn respectievelijk:
De integraal bleef aangegeven omdat het niet mogelijk is om het resultaat exact als een combinatie van elementaire functies te schrijven.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.