De homothecy Het is een geometrische verandering in het vlak waarbij, uitgaande van een vast punt genaamd het middelpunt (O), de afstanden worden vermenigvuldigd met een gemeenschappelijke factor. Op deze manier komt elk punt P overeen met een ander punt P 'product van de transformatie, en deze zijn uitgelijnd met punt O.
Homotie gaat dan over een overeenkomst tussen twee geometrische figuren, waarbij de getransformeerde punten homothetisch worden genoemd, en deze zijn uitgelijnd met een vast punt en met segmenten evenwijdig aan elkaar..
Artikel index
Homothecy is een transformatie die geen congruent beeld heeft, omdat uit een figuur een of meer figuren van grotere of kleinere omvang dan de oorspronkelijke figuur zullen worden verkregen; dat wil zeggen, homothecy transformeert een polygoon in een andere soortgelijke.
Om aan de homotie te voldoen, moeten punt naar punt en lijn naar lijn overeenkomen, zodat de paren homologe punten zijn uitgelijnd met een derde vast punt, dat het middelpunt is van de homotiteit..
Evenzo moeten de paren lijnen die hen verbinden parallel zijn. De relatie tussen dergelijke segmenten is een constante genaamd de homothecy ratio (k); op zo'n manier dat homothecy kan worden gedefinieerd als:
Om dit type transformatie uit te voeren, beginnen we met het kiezen van een willekeurig punt, dat het centrum van de homotie zal zijn.
Vanaf dit punt worden lijnsegmenten getekend voor elk hoekpunt van de te transformeren figuur. De schaal waarop de reproductie van de nieuwe figuur is gemaakt, wordt gegeven door de verhouding van homothecy (k).
Een van de belangrijkste eigenschappen van homothecy is dat, vanwege de homothetische reden (k), alle homothetische figuren vergelijkbaar zijn. Andere opmerkelijke eigenschappen zijn onder meer:
- Het centrum van homothecia (O) is het enige dubbele punt en wordt zichzelf; dat wil zeggen, het varieert niet.
- De lijnen die door het midden gaan, worden in zichzelf getransformeerd (ze zijn dubbel), maar de punten waaruit het bestaat zijn niet dubbel.
- De lijnen die niet door het midden gaan, worden parallelle lijnen; op deze manier blijven de homothecy-hoeken hetzelfde.
- Het beeld van een segment met een homotie van centrum O en verhouding k, is een segment parallel hieraan en heeft k maal de lengte. Zoals bijvoorbeeld te zien is in de volgende afbeelding, zal een segment AB door homothecy resulteren in een ander segment A'B ', zodanig dat AB parallel zal zijn aan A'B' en de k zal zijn:
- Homothetische hoeken zijn congruent; dat wil zeggen, ze hebben dezelfde maat. Daarom is het beeld van een hoek een hoek met dezelfde amplitude.
Aan de andere kant varieert de homothecy afhankelijk van de waarde van de verhouding (k), en de volgende gevallen kunnen zich voordoen:
- Als de constante k = 1, zijn alle punten vast omdat ze zichzelf transformeren. De homothetische figuur valt dus samen met de originele en de transformatie zal de identiteitsfunctie worden genoemd.
- Als k ≠ 1, is het enige vaste punt het midden van de homothetische (O).
- Als k = -1, wordt de homotie een centrale symmetrie (C); dat wil zeggen, er zal een rotatie plaatsvinden rond C, onder een hoek van 180of.
- Als k> 1, is de grootte van de getransformeerde figuur groter dan de grootte van het origineel.
- Ja 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.
- Ja -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.
- Als k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.
Homothecy kan ook in twee typen worden ingedeeld, afhankelijk van de waarde van de verhouding (k):
Het treedt op als de constante k> 0; dat wil zeggen, de homothetische punten bevinden zich aan dezelfde kant met betrekking tot het midden:
De evenredigheidsfactor of gelijkenisverhouding tussen de directe homothetische figuren zal altijd positief zijn.
Het treedt op als de constante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:
De evenredigheidsfactor of gelijkenisverhouding tussen de inverse homothetische cijfers zal altijd negatief zijn.
Wanneer meerdere bewegingen achtereenvolgens worden uitgevoerd totdat een figuur wordt verkregen die gelijk is aan het origineel, treedt een compositie van bewegingen op. De compositie van meerdere delen is ook een beweging.
De compositie tussen twee homothecies resulteert in een nieuwe homotheek; dat wil zeggen, er is een product van homothetieën waarin het midden wordt uitgelijnd met het midden van de twee oorspronkelijke transformaties, en de verhouding (k) is het product van de twee verhoudingen.
Dus, in de samenstelling van twee homothecies H1(OF1, k1) en Htwee(OFtwee, ktwee), de vermenigvuldiging van hun verhoudingen: k1 x ktwee = 1 resulteert in een homotie van verhouding k3 = K1 x ktwee. Het centrum van deze nieuwe homotheek (O3) bevindt zich op de lijn O1 OFtwee.
Homothecia komt overeen met een vlakke en onomkeerbare verandering; als twee homothetieën worden toegepast die hetzelfde centrum en dezelfde verhouding hebben, maar met een ander teken, wordt het oorspronkelijke cijfer verkregen.
Pas een homothese toe op de gegeven polygoon met middelpunt (O), gelegen op 5 cm van punt A en waarvan de verhouding k = 0,7 is.
Elk punt wordt gekozen als het centrum van de homotie, en vanaf dit punt worden stralen door de hoekpunten van de figuur getrokken:
We hebben dat de afstand van centrum (O) tot punt A OA = 5 is; Hiermee kan de afstand van één van de homothetische punten (OA ') worden bepaald, ook wetende dat k = 0,7:
OA '= k x OA.
OA '= 0,7 x 5 = 3,5.
Het proces kan voor elk hoekpunt worden uitgevoerd, of de homothetische polygoon kan ook worden getekend, waarbij u eraan herinnert dat de twee polygonen parallelle zijden hebben:
Ten slotte ziet de transformatie er als volgt uit:
Pas een homotie toe op de gegeven polygoon met middelpunt (O), gelegen op 8,5 cm van punt C en waarvan de y-verhouding k = -2.
De afstand van het centrum (O) tot punt C is OC = 8,5; Met deze gegevens is het mogelijk om de afstand van een van de homothetische punten (OC ') te bepalen, wetende dat k = -2:
OC '= k x OC.
OC '= -2 x 8,5 = -17
Na het tekenen van de segmenten van de hoekpunten van de getransformeerde veelhoek, bevinden de beginpunten en hun homothetiek zich aan de tegenoverliggende uiteinden ten opzichte van het midden:
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.