Onbepaalde integrale eigenschappen, toepassingen, calculus (voorbeelden)

De onbepaalde integraal is de omgekeerde werking van de afleiding en om dit aan te duiden wordt het symbool van de langwerpige "s" gebruikt: ∫. Wiskundig wordt de onbepaalde integraal van de functie F (x) geschreven:

∫F (X) dx = f (X) + C

Waarbij de integrand F (x) = f '(x) een functie is van de variabele X, die op zijn beurt de afgeleide is van een andere functie f (x), de integraal of de primitieve.

C is op zijn beurt een constante die bekend staat als constante van integratie, die altijd het resultaat van elke onbepaalde integraal vergezelt. We zullen de oorsprong onmiddellijk zien aan de hand van een voorbeeld.

Stel dat ons wordt gevraagd om de volgende onbepaalde integraal I te vinden:

Ik = ∫x.dx

Meteen wordt f '(x) geïdentificeerd met x. Het betekent dat we een functie f (x) moeten geven zodat de afgeleide ervan x is, wat niet moeilijk is:

f (x) = ½ x^twee

We weten dat we door f (x) te differentiëren f '(x) krijgen, we controleren het:

[½ x^twee] '= 2. (½ x) = x

Nu de functie: f (x) = ½ x^twee + 2 voldoet ook aan de eis, aangezien de afleiding lineair is en de afgeleide van een constante 0 is. Andere functies die, wanneer ze worden afgeleid, f (x) = geven zijn:

½ x^twee -1, ½ x^twee + vijftien; ½ x^twee - √2 ...

En in het algemeen alle functies van het formulier:

f (x) = ½ x^twee + C

Het zijn de juiste antwoorden op het probleem.

Elk van deze functies wordt aangeroepen primitief of primitief van f '(x) = x en het is precies voor deze verzameling van alle primitieve van een functie wat bekend staat als onbepaalde integraal.

Het is voldoende om slechts één van de primitieven te kennen, want zoals te zien is, is het enige verschil tussen hen de constante C van integratie.

Als het probleem beginvoorwaarden bevat, is het mogelijk om de waarde van C te berekenen om ze aan te passen (zie het opgeloste voorbeeld hieronder).

Artikel index

• 1 Hoe een onbepaalde integraal te berekenen
  • 1.1 - Uitgewerkt voorbeeld
• 2 Toepassingen
  • 2.1 Beweging
  • 2.2 Economie
• 3 Toepassingsoefening
  • 3.1 Oplossing
• 4 referenties

Hoe een onbepaalde integraal te berekenen

In het vorige voorbeeld werd ∫x.dx berekend omdat een functie f (x) bekend was die, wanneer afgeleid, resulteerde in de integrand.

Om deze reden kunnen basisintegralen snel worden opgelost van de meest bekende functies en hun afgeleiden.

Daarnaast zijn er enkele belangrijke eigenschappen die het scala aan mogelijkheden vergroten bij het oplossen van een integraal. Worden k een reëel getal, dan is het waar dat:

1. - ∫kdx = k ∫dx = kx + C

2. - ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3. - ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4. - ∫xⁿ dx = [x^{n + 1}/ n + 1] + C (n ≠ -1)

5. - ∫x ^-1 dx = ln x + C

Afhankelijk van de integrand zijn er verschillende algebraïsche en numerieke methoden om integralen op te lossen. Hier noemen we:

-Variabele verandering

-Algebraïsche en trigonometrische substituties.

-Integratie door onderdelen

-Ontleding in enkelvoudige breuken voor integrand van rationeel type

-Tabellen gebruiken

-Numerieke methodes.

Er zijn integralen die met meer dan één methode kunnen worden opgelost. Helaas is er niet één criterium om a priori de meest effectieve methode te bepalen om een ​​gegeven integraal op te lossen.

Met sommige methoden kun je zelfs sneller tot de oplossing van bepaalde integralen komen dan met andere. Maar de waarheid is dat je met elke methode moet oefenen om vaardigheidsoplossende integralen te verwerven.

- Uitgewerkt voorbeeld

Uitzoeken:

Laten we een eenvoudige variabele wijzigen voor de subradicale hoeveelheid:

u = x-3

Met:

x = u + 3

Het afleiden van beide kanten in een van de twee uitdrukkingen geeft:

dx = du

Nu vervangen we de integraal, die we zullen aanduiden als I:

Ik = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u^1/2 du

We passen distributieve eigenschap en vermenigvuldiging van machten van gelijke basis toe, en we verkrijgen:

Ik = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Op eigenschap 3 uit de vorige sectie:

Ik = ∫ u^3/2 du + ∫ 3u^1/2 du

Nu wordt eigenschap 4 toegepast, die bekend staat als heerschappij van bevoegdheden​

Eerste integraal

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + C₁ ​

= [u^5/2  / (5/2)] + C₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Tweede integraal

∫ 3u^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + C_twee ​

= 3 (2/3) u^3/2  + C_twee = 2u^3/2  + C_twee

Vervolgens worden de resultaten samengevoegd in I:

Ik = (2/5) u^5/2  + 2u^3/2  + C

De twee constanten kunnen zonder problemen tot één worden gecombineerd. Vergeet ten slotte niet om de wijziging van de variabele die eerder is gemaakt terug te geven en het resultaat uit te drukken in termen van de oorspronkelijke variabele x:

Ik = (2/5) (x-3)^5/2  + 2 (x-3)^3/2  + C

Het resultaat kan worden meegerekend:

Ik = 2 (x-3) ^3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) ^3/2 (x + 2) + C

Toepassingen

De onbepaalde integraal is van toepassing op tal van modellen in de natuur- en sociale wetenschappen, bijvoorbeeld:

Beweging

Bij het oplossen van bewegingsproblemen, om de snelheid van een mobiel te berekenen, de versnelling ervan te kennen en bij de berekening van de positie van een mobiel, de snelheid te kennen.

Economie

Bijvoorbeeld bij het berekenen van de productiekosten van artikelen en het modelleren van een vraagfunctie.

Toepassingsoefening

De minimumsnelheid die een object nodig heeft om aan de zwaartekracht van de aarde te ontsnappen, wordt gegeven door:

In deze uitdrukking:

-v is de snelheid van het object dat van de aarde wil ontsnappen

-y is de afstand gemeten vanaf het centrum van de planeet

-M is de landmassa

-G is de zwaartekrachtconstante

Er wordt gevraagd om de relatie tussen v Y Y, het oplossen van de onbepaalde integralen, als het object een beginsnelheid v krijgt_of en de straal van de aarde is bekend en wordt R genoemd.

Oplossing

We krijgen twee onbepaalde integralen voorgelegd om op te lossen met behulp van de integratieregels:

ik₁ = ∫v dv = v^twee/ 2 + C₁

ik_twee = -GM ∫ (1 / j^twee) dy = -GM ∫ y^-twee dy = -GM [y^{-2 + 1}/ (- 2 + 1)] + C_twee = GM. Y^-1 + C_twee

We stellen I gelijk₁ en ik_twee​

v^twee/ 2 + C₁ = GM. Y^-1 + C_twee

De twee constanten kunnen worden gecombineerd tot één:

Zodra de integralen zijn opgelost, passen we de beginvoorwaarden toe, die de volgende zijn: wanneer het object zich op het aardoppervlak bevindt, bevindt het zich op een afstand R van het midden. In de verklaring vertellen ze ons dat y de afstand is gemeten vanaf het centrum van de aarde.

En gewoon aan de oppervlakte zijn, is dat het de beginsnelheid vo krijgt waarmee het zal ontsnappen aan de zwaartekracht van de planeet. Daarom kunnen we vaststellen dat v (R) = v_of. In dat geval belet niets ons om deze voorwaarde te vervangen in het resultaat dat we zojuist hebben verkregen:

En aangezien v_of bekend is, en dat geldt ook voor G, M en R, we kunnen de waarde van de integratieconstante C oplossen:

Die we kunnen vervangen in het resultaat van de integralen:

En tot slot wissen we v^twee, factoring en groepering op de juiste manier:

Dit is de uitdrukking die de snelheid relateert v van een satelliet die is afgevuurd vanaf het oppervlak van de planeet (met straal R) met beginsnelheid vo, wanneer het op een afstand is Y vanuit het midden van de planeet.

Referenties

1. Haeussler, E. 1992. Wiskunde voor management en economie. Grupo Hoofdartikel Iberoamérica.
2. Hyperfysica. Ontsnappingssnelheid. Hersteld van: hthyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
3. Larson, R. 2010. Berekening van een variabele. 9e. Editie. Mcgraw heuvel.
4. Purcell, E. 2007. Calculus met analytische meetkunde. 9e. Editie. Pearson Education.
5. Wolfram MathWorld. Voorbeelden van integralen. Hersteld van: mathworld.wolfram.com.