De Inverse matrix van een gegeven matrix is het de matrix die vermenigvuldigd wordt met de oorspronkelijke resultaten in de identiteitsmatrix. De inverse matrix is handig voor het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen, vandaar het belang om te weten hoe deze moet worden berekend.
Matrices zijn erg handig in de natuurkunde, techniek en wiskunde, omdat ze een compact hulpmiddel zijn voor het oplossen van complexe problemen. De bruikbaarheid van matrices wordt vergroot wanneer ze inverteerbaar zijn en ook hun inverse is bekend.
Op het gebied van grafische verwerking, Big Data, Data Mining, Machine Learning en andere worden efficiënte en snelle algoritmen gebruikt om de inverse matrix van nxn-matrices met zeer grote n, in de orde van duizenden of miljoenen, te evalueren..
Om het gebruik van de inverse matrix te illustreren bij het hanteren van een stelsel lineaire vergelijkingen, beginnen we met het eenvoudigste geval van allemaal: 1 × 1 matrices.
Het eenvoudigste geval: een lineaire vergelijking van een enkele variabele wordt beschouwd: 2 x = 10.
Het idee is om de waarde van x te vinden, maar het zal "matrixgewijs" worden gedaan.
De matrix M = (2) die de vector (x) vermenigvuldigt, is een matrix van 1 × 1 die resulteert in de vector (10):
M (x) = (10)
De inverse van de matrix M wordt aangegeven met M-1.
De algemene manier om dit "lineaire systeem" te schrijven is:
M X = B, waarbij X de vector (x) is en B de vector (10).
Per definitie is de inverse matrix er een die vermenigvuldigd met de originele matrix resulteert in de identiteitsmatrix I:
M.-1 M = ik
In het beschouwde geval is de matrix M-1 is de matrix (½), dat wil zeggen M-1 = (½) sinds M-1 M = (½) (2) = (1) = I
Om de onbekende vector X = (x) te vinden, worden in de voorgestelde vergelijking beide leden vermenigvuldigd met de inverse matrix:
M.-1 M (x) = M-1 (10)
(½) (2) (x) = (½) (10)
(½ 2) (x) = (½ 10)
(1) (x) = (5)
(x) = (5)
Er is een gelijkheid van twee vectoren bereikt, die alleen gelijk zijn als hun overeenkomstige elementen gelijk zijn, dat wil zeggen x = 5.
Wat de berekening van de inverse matrix motiveert, is het vinden van een universele methode voor het oplossen van lineaire systemen zoals het volgende 2 × 2-systeem:
x - 2 y = 3
-x + y = -2
Volgend op de stappen van de 1 × 1 casus, bestudeerd in de vorige sectie, schrijven we het stelsel vergelijkingen in matrixvorm:
Merk op dat dit systeem als volgt in compacte vectornotatie is geschreven:
M X = B
waar
De volgende stap is om de inverse van M te vinden.
De Gauss-eliminatiemethode zal worden toegepast. Die bestaat uit het uitvoeren van elementaire bewerkingen op de rijen van de matrix, deze bewerkingen zijn:
- Vermenigvuldig een rij met een getal dat niet gelijk is aan nul.
- Optellen of aftrekken van de ene rij naar een andere rij, of het veelvoud van een andere rij.
- Verwissel de rijen.
Het doel is om door middel van deze bewerkingen de originele matrix om te zetten in de identiteitsmatrix.
Terwijl dit wordt gedaan, worden in matrix M exact dezelfde bewerkingen toegepast op de identiteitsmatrix. Wanneer na verschillende bewerkingen op de rijen M wordt getransformeerd naar de unitaire matrix, wordt degene die oorspronkelijk de eenheid was, getransformeerd in de inverse matrix van M, dat wil zeggen M-1.
1- We beginnen het proces door de matrix M te schrijven en daarnaast de eenheidsmatrix:
2- We voegen de twee rijen toe en we plaatsen het resultaat in de tweede rij, op deze manier krijgen we een nul in het eerste element van de tweede rij:
3- We vermenigvuldigen de tweede rij met -1 om 0 en 1 in de tweede rij te krijgen:
4- De eerste rij wordt vermenigvuldigd met ½:
5- De tweede en de eerste worden toegevoegd en het resultaat wordt op de eerste rij geplaatst:
6- Om het proces te voltooien, vermenigvuldigt u de eerste rij met 2 om de identiteitsmatrix in de eerste rij te verkrijgen en de inverse matrix van de oorspronkelijke matrix M in de tweede:
Namelijk:
Zodra de inverse matrix is verkregen, gaan we verder met het oplossen van het stelsel vergelijkingen door de inverse matrix toe te passen op beide leden van de compacte vectorvergelijking:
M.-1M X = M-1B
X = M-1B
Wat er expliciet zo uitziet:
Vervolgens wordt matrixvermenigvuldiging uitgevoerd om vector X te verkrijgen:
Bij deze tweede methode wordt de inverse matrix berekend uitgaande van de aangrenzende matrix van de oorspronkelijke matrix NAAR.
Stel een matrix A gegeven door:
waarheenik, j is het element van de rij ik en de kolom j van de matrix NAAR.
Het bijvoegsel van de matrix NAAR het zal worden gebeld Adj (A) en zijn elementen zijn:
advertentieik, j = (-1)(ik + j) ¦Ai, j¦
waar Ai, j is de complementaire secundaire matrix die wordt verkregen door rij i en kolom j uit de oorspronkelijke matrix te verwijderen NAAR. De balken ¦ ¦ geven aan dat de determinant wordt berekend, dat wil zeggen ¦Ai, j¦ is de determinant van de complementaire secundaire matrix.
De formule om de inverse matrix te vinden uitgaande van de aangrenzende matrix van de oorspronkelijke matrix is de volgende:
Dat wil zeggen, de inverse matrix van NAAR, NAAR-1, is de transponering van het adjunct van NAAR gedeeld door de determinant van NAAR.
De transponering NAARTvan een matrix NAAR is degene die wordt verkregen door rijen te verwisselen voor kolommen, dat wil zeggen, de eerste rij wordt de eerste kolom en de tweede rij wordt de tweede kolom enzovoort totdat de n rijen van de oorspronkelijke matrix zijn voltooid.
Laat de matrix A de volgende zijn:
Elk element van de adjunct-matrix van A wordt berekend: Adj (A)
Het resultaat is dat de adjunct-matrix van A, Adj (A) het volgende is:
Vervolgens wordt de determinant van matrix A, det (A) berekend:
Ten slotte wordt de inverse matrix van A verkregen:
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.