Traagheidsmoment formules, vergelijkingen en rekenvoorbeelden

De traagheidsmoment van een stijf lichaam ten opzichte van een bepaalde rotatie-as, vertegenwoordigt zijn weerstand tegen het veranderen van zijn hoeksnelheid rond die as. Het is evenredig met de massa en ook met de locatie van de rotatieas, aangezien het lichaam, volgens zijn geometrie, gemakkelijker rond bepaalde assen kan draaien dan in andere..

Stel dat een groot object (bestaande uit veel deeltjes) om een ​​as kan draaien. Stel dat er een kracht optreedt F., tangentiaal toegepast op het massa-element Δm_ik, dat een koppel of moment produceert, gegeven door τ_netto- = ​r_ik X F._ik. De vector r_ik is de positie van Δm_ik (zie figuur 2).

Dit moment staat loodrecht op het rotatievlak (direction +k = uit het papier komen). Omdat de kracht en de radiale positievector altijd loodrecht staan, blijft het dwarsproduct:

τ_netto- = ∑ F_ik r_ik k = ∑ (Δm_ik naar_ik) r_ik  k = ∑ Δm_ik (naar_ik r_ik ​ k

Versnelling naar_ik vertegenwoordigt de tangentiële component van versnelling, aangezien radiale versnelling niet bijdraagt ​​aan koppel. Als functie van de hoekversnelling α kunnen we aangeven dat:

naar_ik = α r_ik

Daarom ziet het nettokoppel er als volgt uit:

τ_netto- = ∑ Δm_ik (α r_ik^twee​ k = ​​ r_ik^twee Δm_ik) α k

De hoekversnelling α is hetzelfde voor het hele object, daarom wordt het niet beïnvloed door het subscript "i" en kan het de sommatie verlaten, wat precies het traagheidsmoment is van het object gesymboliseerd door de letter I:

Ik = ∑ r_ik^twee Δm_ik

Dit is het traagheidsmoment van een discrete massaverdeling. Wanneer de distributie continu is, wordt de sommatie vervangen door een integraal en Δm wordt een massadifferentiaal dm. De integraal wordt over het hele object uitgevoerd:

Ik = ∫_M.(r^twee) dm

De eenheden van het traagheidsmoment in het SI International System zijn kg x m^twee. Het is een scalaire en positieve grootheid, aangezien het het product is van een massa en het kwadraat van een afstand.

Artikel index

• 1 Rekenvoorbeelden
  • 1.1 Traagheidsmoment van een dunne staaf ten opzichte van een as die door het midden gaat
  • 1.2 Traagheidsmoment van een schijf ten opzichte van een as die door het midden gaat
  • 1.3 Traagheidsmoment van een massieve bol ten opzichte van een diameter
  • 1.4 Traagheidsmoment van een massieve cilinder ten opzichte van de axiale as
  • 1.5 Traagheidsmoment van een rechthoekige plaat ten opzichte van een as die door het midden gaat
  • 1.6 Traagheidsmoment van een vierkante plaat ten opzichte van een as die door het midden gaat
• 2 Traagheidsmomentstellingen
  • 2.1 Stelling van Steiner
  • 2.2 Stelling van loodrechte assen
• 3 Oefening opgelost
• 4 referenties

Rekenvoorbeelden

Een uitgebreid object, zoals een staaf, schijf, bol of iets anders, waarvan de dichtheid ρ is constant en wetende dat de dichtheid de massa-volumeverhouding is, het massaverschil dm is geschreven als:

ρ = dm / dV → dm = ρdV

Als we het traagheidsmoment in de integraal vervangen, hebben we:

Ik = ∫r^twee ρdV = ρ ∫r^tweedV

Dit is een algemene uitdrukking, geldig voor een driedimensionaal object, waarvan het volume V. en positie r zijn functies van de ruimtelijke coördinaten X, Y Y z. Merk op dat de dichtheid constant is en buiten de integraal valt.

De dichtheid ρ Het staat ook bekend als volumetrische dichtheid, maar als het object erg plat is, zoals een plaat of erg dun en smal als een staaf, kunnen andere vormen van dichtheid worden gebruikt, laten we eens kijken:

- Voor een zeer dunne plaat is de te gebruiken dichtheid σ, de oppervlaktedichtheid (massa per oppervlakte-eenheid) en geeft is het gebiedsverschil.

- En als het een dunne staaf is, waarbij alleen de lengte relevant is, wordt de lineaire massadichtheid gebruikt λ en een lengteverschil, volgens de as die als referentie wordt gebruikt.

In de volgende voorbeelden worden alle objecten als stijf (niet vervormbaar) beschouwd en hebben ze een uniforme dichtheid.

Traagheidsmoment van een dunne staaf ten opzichte van een as die door het midden gaat

Hier gaan we het traagheidsmoment berekenen van een dunne, stijve, homogene staaf met lengte L en massa M, ten opzichte van een as die door het midden loopt.

Ten eerste is het nodig om een ​​coördinatensysteem op te zetten en een figuur te bouwen met de juiste geometrie, zoals dit:

De X-as langs de balk en de As y als de rotatie-as. De procedure om de integraal vast te stellen vereist ook het kiezen van een massadifferentiaal boven de balk, genaamd dm, die een verschillende lengte heeft dx en bevindt zich op de positie X willekeurig, ten opzichte van het midden x = 0.

Volgens de definitie van lineaire massadichtheid λ:

λ = M / L

Omdat de dichtheid uniform is, wat geldt voor M en L, geldt deze ook voor dm en dx:

λ = dm / dx → dm = λdx.

Aan de andere kant bevindt het massa-element zich in de positie X, door deze geometrie in de definitie te vervangen, hebben we een bepaalde integraal, waarvan de limieten de uiteinden van de staaf zijn volgens het coördinatensysteem:

Vervanging van de lineaire dichtheid λ = M / L:

Om het traagheidsmoment van de staaf te vinden ten opzichte van een andere rotatieas, bijvoorbeeld een as die door een van zijn extremen gaat, kun je de stelling van Steiner gebruiken (zie de oefening die aan het einde is opgelost) of een directe berekening uitvoeren vergelijkbaar met die hier getoond, maar door de geometrie op de juiste manier aan te passen.

Traagheidsmoment van een schijf ten opzichte van een as die door het midden gaat

Een zeer dunne schijf van verwaarloosbare dikte is een platte figuur. Als de massa gelijkmatig is verdeeld over het gehele oppervlak van gebied A, is de massadichtheid σ:

σ = M / Y

Zo veel dm Wat geeft komen overeen met de massa en het oppervlak van de differentieelring zoals weergegeven in de afbeelding. We gaan ervan uit dat het hele samenstel rond de y-as draait.

Je kunt je voorstellen dat de schijf is samengesteld uit vele concentrische ringen met een straal r, elk met hun respectievelijke traagheidsmoment. De bijdragen van alle ringen optellen tot het bereiken van de straal R, het totale traagheidsmoment van de schijf zal zijn.

σ = dm / dA → dm = σgeeft

Waar M staat voor de volledige massa van de schijf. De oppervlakte van een schijf hangt af van de straal r als:

A = π.r^twee

Afleiden met betrekking tot r:

dA / dr = 2 = 2π.r → dA = 2π.rdr

Het bovenstaande vervangen in de definitie van I:

Vervanging van σ = M / (π.R^twee ) stoffelijk overschot:

Traagheidsmoment van een massieve bol ten opzichte van een diameter

Een bol met straal R kan worden gezien als een reeks schijven die op elkaar zijn gestapeld, waarbij elke schijf een oneindig kleine massa heeft dm, radio- r en dikte dz, heeft een traagheidsmoment gegeven door:

gaf_schijf = (½) r^tweedm

Om dit verschil te vinden, hebben we simpelweg de formule uit de vorige sectie genomen en deze vervangen M. Y R voor dm Y r, respectievelijk. Zo'n schijf is te zien in de geometrie van figuur 5.

Door alle oneindig kleine traagheidsmomenten van gestapelde schijven bij elkaar op te tellen, wordt het totale traagheidsmoment van de bol verkregen:

ik_gebied = ∫dI_schijf

Wat gelijk staat aan:

Ik = ∫_gebied (½) r^tweedm

Om de integraal op te lossen, moet u uitdrukken dm naar behoren. Zoals altijd wordt het bereikt door de dichtheid:

ρ = M / V = ​​dm / dV → dm = ρ.dV

Het volume van een differentiële schijf is:

dV = Oppervlakte van basis x hoogte

De hoogte van de schijf is de dikte dz, terwijl het gebied van de basis is πr^twee, Dus:

dV = πr^tweedz

En als je de voorgestelde integraal vervangt, zou het er als volgt uitzien:

Ik = ∫_gebied(½) r^tweedm = ∫ (½) r^twee(ρπr^tweedz)

Maar alvorens te integreren, moet worden opgemerkt dat r -de straal van de schijf- afhangt van z en R -de straal van de bol-, zoals te zien is in figuur 5. Gebruikmakend van de stelling van Pythagoras:

R^twee = r^twee + z^twee → r^twee = R^twee - z^twee

 Wat ons leidt tot:

Ik = ∫_gebied(½) ρ r^twee(πr^tweedz) = ∫_gebied(½) ρ π r⁴dz​ ​_gebied(½) ρ π (R^twee - z^twee​^twee dz

Om over de hele bol te integreren, merken we op dat z varieert tussen -R en R, daarom:

Wetende dat ρ = M / V = ​​M / [(4/3) πR³​ uiteindelijk wordt het verkregen, na vereenvoudiging:

Traagheidsmoment van een massieve cilinder ten opzichte van de axiale as

Voor dit object wordt een methode gebruikt die vergelijkbaar is met de methode die voor de bol wordt gebruikt, maar deze keer is het gemakkelijker als wordt gedacht dat de cilinder wordt gevormd door cilindrische schalen met een straal r, dikte dr en hoogte H., alsof het de lagen van een ui waren.

Het volume dV van een cilindrische laag is:

dV = 2π.rL.dr

Daarom is de schaalmassa:

dm = ρ.dV = ρ. 2π.r.L.dr

Deze uitdrukking wordt vervangen in de definitie van traagheidsmoment:

De bovenstaande vergelijking geeft aan dat het traagheidsmoment van de cilinder niet afhangt van zijn lengte, maar alleen van zijn massa en straal. Ja L. veranderd, zou het traagheidsmoment om de axiale as hetzelfde blijven. Om deze reden, ik van de cilinder valt samen met die van de eerder berekende dunne schijf.

Traagheidsmoment van een rechthoekige plaat ten opzichte van een as die door het midden gaat

De As y horizontale rotatie-as. De onderstaande afbeelding toont de geometrie die nodig is om de integratie uit te voeren:

Het rood gemarkeerde gebiedselement is rechthoekig. Het gebied is basis x hoogte, daarom:

dA = a.dz

Daarom is het massaverschil:

dm = σ.dA = σ. (a.dz)

Met betrekking tot de afstand van het gebiedselement tot de rotatieas is dit altijd z. We vervangen dit alles in de integraal van het traagheidsmoment:

Nu wordt de massadichtheid van het oppervlak σ vervangen door:

σ = M / ab

En het ziet er zeker zo uit:

Merk op dat het lijkt op die met de dunne staaf.

Traagheidsmoment van een vierkante plaat ten opzichte van een as die door het midden gaat

Voor een zijvierkant L., in de vorige uitdrukking die geldig is voor een rechthoek, vervangt u eenvoudig de waarde van b voor dat van L.​

Stellingen over traagheidsmoment

Er zijn twee stellingen die vooral handig zijn voor het vereenvoudigen van de berekening van traagheidsmomenten rond andere assen, die anders moeilijk te vinden zouden zijn vanwege een gebrek aan symmetrie. Deze stellingen zijn:

Stelling van Steiner

Ook wel genoemd stelling van parallelle assen, relateert het traagheidsmoment ten opzichte van een as met een andere die door het massamiddelpunt van het object gaat, zolang de assen evenwijdig zijn. Om het toe te passen, is het noodzakelijk om de afstand D tussen beide assen te kennen en natuurlijk de massa M van het object.

Worden ik_z het traagheidsmoment van een verlengd object ten opzichte van de z-as, ik_CM het traagheidsmoment ten opzichte van een as die door het massamiddelpunt (CM) van dat object gaat, dan is het waar dat:

ik_z = Ik_CM + MD^twee

Of in de notatie van de volgende afbeelding: ik_{z '} = Ik_z + Md^twee

Stelling van loodrechte assen

Deze stelling wordt toegepast op vlakke oppervlakken en gaat als volgt: het traagheidsmoment van een vlak object rond een as loodrecht daarop is de som van de traagheidsmomenten rond twee assen loodrecht op de eerste as:

ik_z = Ik_X + ik_Y

Als het object symmetrie heeft zodat ik_X en ik_Y gelijk zijn, dan is het waar dat:

ik_z = 2I_X

Oefening opgelost

Zoek het traagheidsmoment van de staaf ten opzichte van een as die door een van zijn uiteinden gaat, zoals weergegeven in figuur 1 (rechtsonder) en figuur 10.

Oplossing:

We hebben al het traagheidsmoment van de staaf rond een as die door zijn geometrische middelpunt gaat. Omdat de balk homogeen is, bevindt het zwaartepunt zich op dat punt, dus dit zal de onze zijn ik_CM om de stelling van Steiner toe te passen.

Als de lengte van de staaf is L., de z-as bevindt zich op een afstand D = L / 2, dus:

ik_z = Ik_CM + MD^twee= (1/12) ML^twee+M (L / 2)^twee= (1/3) ML^twee

Referenties

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Deel 1. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 190-200.
3. Stelling van de parallelle as. Hersteld van: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Physics for Science and Engineering. Deel 1. Cengage.
5. Sevilla Universiteit. Traagheidsmoment van bolvormige vaste stoffen. Hersteld van: laplace.us.es.
6. Sevilla Universiteit. Traagheidsmoment van een deeltjessysteem. Hersteld van: laplace.us.es.
7. Wikipedia. Stelling van de parallelle as. Hersteld van: en.wikipedia.org