De complexe getallen zijn de numerieke reeks die de reële getallen en alle wortels van de polynomen omvat, inclusief de even wortels van de negatieve getallen. Deze wortels bestaan niet in de reeks reële getallen, maar in complexe getallen is er de oplossing.
Een complex getal bestaat uit een reëel deel en een deel dat "imaginair" wordt genoemd. Het echte deel heet naar, bijvoorbeeld, en het imaginaire deel ib, met naar Y b reële getallen en "ik" zoals denkbeeldige eenheid. Op deze manier neemt het complexe getal de vorm aan:
z = een + ib
Voorbeelden van complexe getallen zijn 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Maar laten we, voordat we met hen werken, eens kijken waar de denkbeeldige eenheid vandaan komt ik, rekening houdend met deze kwadratische vergelijking:
Xtwee - 10x + 34 = 0
Waarin a = 1, b = -10 en c = 34.
Bij het toepassen van de oplossingsformule om de oplossing te bepalen, vinden we het volgende:
Hoe bepaal je de waarde van √-36? Er is geen reëel getal dat in het kwadraat resulteert in een negatieve hoeveelheid. Vervolgens wordt geconcludeerd dat deze vergelijking geen echte oplossingen heeft.
We kunnen dit echter schrijven:
√-36 = √-6twee = √6twee (-1) = 6√-1
Als we een bepaalde waarde definiëren X zoals dat:
Xtwee = -1
Dan:
x = ± √-1
En de bovenstaande vergelijking zou een oplossing hebben. Daarom werd de denkbeeldige eenheid gedefinieerd als:
ik = √-1
En dus:
√-36 = 6i
Veel wiskundigen uit de oudheid werkten aan het oplossen van soortgelijke problemen, met name de Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) en Raffaele Bombelli (1526-1572).
Jaren later noemde René Descartes (1596-1650) hoeveelheden zoals √-36 in het voorbeeld 'imaginair'. Om deze reden staat √-1 bekend als de denkbeeldige eenheid.
Artikel index
-De reeks complexe getallen wordt aangeduid met C en omvat de reële getallen R en de imaginaire getallen Im. Cijfersets worden weergegeven in een Venn-diagram, zoals weergegeven in de volgende afbeelding:
-Elk complex getal bestaat uit een reëel deel en een imaginair deel.
-Als het imaginaire deel van een complex getal 0 is, is het een puur reëel getal.
-Als het reële deel van een complex getal 0 is, dan is het getal puur denkbeeldig.
-Twee complexe getallen zijn gelijk als hun respectievelijke reële deel en imaginaire deel hetzelfde zijn.
-Bij complexe getallen worden de bekende bewerkingen van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, product en verbetering uitgevoerd, wat resulteert in een ander complex getal.
Complexe getallen kunnen op verschillende manieren worden weergegeven. Dit zijn de belangrijkste:
Het is de vorm die aan het begin is gegeven, waar z is het complexe getal, naar het is het echte deel, b is het imaginaire deel e ik is de denkbeeldige eenheid:
z = een + ib
Of ook:
z = x + iy
Een manier om het complexe getal te plotten, is via het complexe vlak dat in deze afbeelding wordt weergegeven. De denkbeeldige as Im is verticaal, terwijl de reële as horizontaal is en wordt aangeduid als Re.
Het complexe getal z wordt op dit vlak weergegeven als een coördinatenpunt (x, y) of (a, b), zoals het wordt gedaan met de punten van het echte vlak.
De afstand van de oorsprong tot het punt z is de modulus van het complexe getal, aangeduid als r, terwijl φ de hoek is die zich vormt r met de echte as.
Deze weergave is nauw verwant aan die van vectoren in het reële vlak. De waarde van r komt overeen met module van het complexe getal.
De polaire vorm bestaat uit het uitdrukken van het complexe getal door de waarden van te geven r en van φ. Als we naar de figuur kijken, is de waarde van r komt overeen met de hypotenusa van een rechthoekige driehoek. De benen zijn de moeite waard naar Y b, O goed X Y Y.
Van de binominale of binominale vorm kunnen we naar de polaire vorm gaan door:
r = √xtwee+Ytwee
De engel φ Het is degene die het segment r vormt met de horizontale as of denkbeeldige as. Het is bekend als argument van het complexe getal. Op deze manier:
φ = arctg (y / x)
Het argument heeft oneindige waarden, rekening houdend met het feit dat elke keer dat een bocht wordt gedraaid, die 2π radialen waard is, r weer dezelfde positie inneemt. Op deze algemene manier wordt het argument van z, aangeduid met Arg (z), als volgt uitgedrukt:
Arg (z) = φ + 2kπ
Waar k een geheel getal is en wordt gebruikt om het aantal beurten aan te geven: 2, 3, 4…. Het bord geeft de draairichting aan, of het met de klok mee of tegen de klok in is.
En als we van de polaire vorm naar de binominale vorm willen gaan, gebruiken we de trigonometrische verhoudingen. Uit de vorige figuur kunnen we zien dat:
x = r cos φ
y = r zonde φ
Op deze manier z = r (cos φ + i sin φ)
Dat wordt als volgt afgekort:
z = r cis φ
De volgende complexe getallen worden in binominale vorm gegeven:
een) 3 + i
b) 4
d) -6i
En deze in de vorm van een geordend paar:
a) (-5, -3)
b) (0, 9)
c) (7,0)
Ten slotte wordt deze groep weergegeven in polaire of trigonometrische vorm:
a) √2 cis 45º
b) √3 cis 30º
c) 2 cis 315 °
Het nut van complexe getallen gaat verder dan het oplossen van de kwadratische vergelijking die aan het begin wordt getoond, aangezien ze essentieel zijn op het gebied van engineering en natuurkunde, vooral in:
-De studie van elektromagnetische golven
-Wisselstroom- en spanningsanalyse
-Modellering van allerlei soorten signalen
-Relativiteitstheorie, waarbij wordt aangenomen dat de tijd een denkbeeldige omvang heeft.
Met complexe getallen kunnen we alle bewerkingen uitvoeren die met echte worden gedaan. Sommige zijn gemakkelijker te doen als de getallen in binominale vorm komen, zoals optellen en aftrekken. In plaats daarvan zijn vermenigvuldigen en delen eenvoudiger als ze worden uitgevoerd met de polaire vorm.
Laten we eens kijken naar enkele voorbeelden:
Voeg z toe1 = 2 + 5i en ztwee = -3 -8i
De echte delen worden los van de imaginaire delen toegevoegd:
z1 + ztwee = (2 + 5i) + (-3-8i) = -1 -3i
Vermenigvuldig z1 = 4 cis 45º en ztwee = 5 cis 120º
Aangetoond kan worden dat het product van twee complexe getallen in polaire of trigonometrische vorm wordt gegeven door:
z1 . ztwee = r1.rtwee cis (φ1 + φtwee
Volgens dit:
z1 . ztwee = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º
Een eenvoudige toepassing van complexe getallen is om alle wortels van een polynoomvergelijking te vinden zoals die aan het begin van het artikel wordt getoond.
In het geval van de vergelijking xtwee - 10x + 34 = 0, bij het toepassen van de oplossende formule krijgen we:
Daarom zijn de oplossingen:
X1 = 5 + 3i
Xtwee = 5 - 3i
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.