Denkbeeldige getalleneigenschappen, toepassingen, voorbeelden

De denkbeeldige getallen zijn degenen die een oplossing geven voor de vergelijking waarin het onbekende, kwadraat, gelijk is aan een negatief reëel getal. De denkbeeldige eenheid is ik = √ (-1).

In de vergelijking: z^twee= - een, z is een denkbeeldig getal dat als volgt wordt uitgedrukt:

 z = √ (-a) = i√ (a)

Wezen naar een positief reëel getal. Ja a = 1, dan z = ik, waar ik is de denkbeeldige eenheid.

Over het algemeen wordt een puur denkbeeldig getal z altijd uitgedrukt in de vorm: 

z = y⋅i

Waar Y is een reëel getal e ik is de denkbeeldige eenheid.

Net zoals reële getallen worden weergegeven op een regel, genaamd de echt rechtdoor, op analoge wijze worden de imaginaire getallen weergegeven op de denkbeeldige lijn.

De denkbeeldige lijn is altijd orthogonaal (90º-vorm) ten opzichte van de echt rechtdoor en de twee lijnen definiëren een Cartesiaans vlak genaamd de complex vlak.

In figuur 1 wordt het complexe vlak getoond en daarop zijn enkele reële getallen weergegeven, enkele denkbeeldige getallen en ook enkele complexe getallen:

X₁, X_twee, X₃ het zijn echte cijfers

Y₁, Y_twee, Y₃ het zijn denkbeeldige getallen

Z_twee en Z₃ het zijn complexe getallen

Het getal O is de echte nul en het is ook de denkbeeldige nul, dus de oorsprong O is de complexe nul uitgedrukt door:

0 + 0i 

Artikel index

• 1 Eigenschappen
  • 1.1 Optellen en aftrekken van imaginair
  • 1.2 Product van denkbeelden
  • 1.3 Product van een reëel getal door een ander denkbeeldig
  • 1.4 Empowerment van een denkbeeldig
  • 1.5 Som van een reëel getal en een imaginair getal
• 2 Toepassingen
• 3 Oefeningen met denkbeeldige getallen
  • 3.1 - Oefening 1
  • 3.2 - Oefening 2
  • 3.3 - Oefening 3
  • 3.4 - Oefening 4
  • 3.5 - Oefening 5
  • 3.6 - Oefening 6
• 4 referenties

Eigendommen

De verzameling imaginaire getallen wordt aangeduid met:

I = ..., -3i, ..., -2i, ...., - i, ...., 0i, ...., I, ...., 2i, ...., 3i, ...

En u kunt enkele bewerkingen op deze numerieke set definiëren. Een denkbeeldig getal wordt niet altijd verkregen uit deze bewerkingen, dus laten we ze wat gedetailleerder bekijken:

Optellen en aftrekken van imaginair

Denkbeeldige getallen kunnen van elkaar worden opgeteld en afgetrokken, wat resulteert in een nieuw denkbeeldig getal. Bijvoorbeeld:

 3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Product van imaginair

Wanneer het product van het ene imaginaire getal met het andere wordt gemaakt, is het resultaat een reëel getal. Laten we de volgende bewerking uitvoeren om het te controleren:

2i x 3i = 6 x ik^twee = 6 x (√ (-1))^twee = 6 x (-1) = -6.

En zoals we kunnen zien, is -6 een reëel getal, hoewel het is verkregen door twee puur denkbeeldige getallen te vermenigvuldigen.

Product van een reëel getal door een ander denkbeeldig

Als een reëel getal wordt vermenigvuldigd met i, is het resultaat een denkbeeldig getal, dat overeenkomt met een rotatie van 90 graden tegen de klok in.

En het is dat ik^twee komt overeen met twee opeenvolgende rotaties van 90 graden, wat overeenkomt met vermenigvuldigen met -1, dat wil zeggen i^twee = -1. Het is te zien in het volgende diagram:

Bijvoorbeeld:

-3 x 5i = -15i

-3 x ik = -3i.

Empowerment van een denkbeeldig

U kunt de potentiëring van een denkbeeldig getal definiëren tot een integer exponent:

ik¹ = ik

ik^twee = ik X ik = √ (-1) X √ (-1) = -1

ik³ = ik x ik^twee = -i

ik⁴ = ik^twee x ik^twee = -1 x -1 = 1

ik⁵ = ik x ik⁴ = ik

Over het algemeen moet je ikⁿ = i ^ (n mod 4), waar mod is de rest van de scheiding tussen n Y 4.

Negatieve integer-potentiëring kan ook worden uitgevoerd:

ik^-1 = 1 / i¹ = ik / (ik X ik¹) = ik / (ik^twee) = i / (-1) = -i

ik-^twee = 1 / i^twee = 1 / (-1) = -1

ik-³= 1 / i³ = 1 / (- ik) = (-1) / ik = -1 x ik^-1 = (-1) x (-i) = ik

In het algemeen is het denkbeeldige getal b⋅i verheven tot de macht n:

(b⋅i) ikⁿ = bⁿ ikⁿ = bⁿ i ^ (n mod 4)

Enkele voorbeelden zijn de volgende:

(5 ik)¹² = 5¹² ik¹² = 5¹² ik⁰ = 5¹² x 1 = 244140625

(5 ik)^elf = 5^elf ik^elf = 5^elf ik³ = 5^elf x (-i) = -48828125 i

(-2 ik)¹⁰ = -2¹⁰ ik¹⁰ = 2¹⁰ ik^twee = 1024 x (-1) = -1024

Som van een reëel getal en een imaginair getal

Wanneer u een reëel getal toevoegt aan een imaginair getal, is het resultaat noch reëel noch imaginair, het is een nieuw type getal genaamd complex getal.

Als X = 3,5 en Y = 3,75i bijvoorbeeld, is het resultaat het complexe getal:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Merk op dat in de som de reële en imaginaire delen niet bij elkaar kunnen worden gegroepeerd, dus een complex getal zal altijd een reëel deel en een imaginair deel hebben..

Deze bewerking breidt de reeks reële getallen uit tot de breedste complexe getallen.

Toepassingen

De naam van denkbeeldige getallen werd voorgesteld door de Franse wiskundige René Descartes (1596-1650) als een aanfluiting of als een onenigheid met het voorstel van hetzelfde van de Italiaanse wiskundige van de eeuw Raffaelle Bombelli.

Andere grote wiskundigen, zoals Euler en Leibniz, steunden Descartes in dit meningsverschil en noemden denkbeeldige getallen amfibieën nummers, die werden verscheurd tussen zijn en niets.

De naam van denkbeeldige getallen blijft vandaag bestaan, maar hun bestaan ​​en belang is zeer reëel en voelbaar, aangezien ze van nature op veel natuurkundige gebieden voorkomen, zoals:

-De relativiteitstheorie.

-In elektromagnetisme.

-Kwantummechanica.

Oefeningen met denkbeeldige getallen

- Oefening 1

Zoek de oplossingen van de volgende vergelijking:

z^twee + 16 = 0

Oplossing

z^twee = -16

Met vierkantswortel in beide leden hebben we:

√ (z^twee ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = i x 4 = 4i

Met andere woorden, de oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking zijn:

z = + 4i of z = -4i.

- Oefening 2

Zoek het resultaat van het verhogen van de imaginaire eenheid tot de macht 5 minus de aftrekking van de imaginaire eenheid verheven tot de macht -5.

Oplossing

ik⁵ - ik-⁵ = ik⁵ - 1 / i⁵ = ik - 1 / ik = ik - (ik) / (ik X ik) = ik - ik / (- 1) = ik + ik = 2i

- Oefening 3

Zoek het resultaat van de volgende bewerking:

(3i)³ + 9i 

Oplossing

3³ ik³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- Oefening 4

Vind de oplossingen van de volgende kwadratische vergelijking:

(-2x)^twee + 2 = 0

Oplossing

De vergelijking wordt als volgt herschikt:

(-2x)^twee = -2

Vervolgens wordt de vierkantswortel van beide leden genomen

√ ((- 2x)^twee) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 ik

Dan lossen we x op om uiteindelijk te krijgen:

x = ± √2 / 2 ik

Dat wil zeggen, er zijn twee mogelijke oplossingen:

x = (√2 / 2) ik

Of deze andere:

x = - (√2 / 2) ik

- Oefening 5

Zoek de waarde van Z gedefinieerd door:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Oplossing

We weten dat de vierkantswortel van een negatief reëel getal een imaginair getal is, bijvoorbeeld √ (-9) is gelijk aan √ (9) x √ (-1) = 3i.

Aan de andere kant is √ (-4) gelijk aan √ (4) x √ (-1) = 2i.

Dus de oorspronkelijke vergelijking kan worden vervangen door:

3i x 2i - 7 = 6 ik^twee - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- Oefening 6

Zoek de waarde van Z die het resultaat is van de volgende deling van twee complexe getallen:

Z = (9 - ik^twee) / (3 + i)

Oplossing

De teller van de uitdrukking kan worden verwerkt met behulp van de volgende eigenschap:

Een verschil in kwadraten is het product van de som en het verschil tussen de binominale waarden zonder kwadraten.

Dan:

Z = [(3 - i) (3 + i)] / (3 + i)

De resulterende uitdrukking wordt vervolgens vereenvoudigd en blijft staan

Z = (3 - ik)

Referenties

1. Earl, R. Complexe getallen. Hersteld van: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Wiskunde 1e. Gediversifieerd. CO-BO edities.
3. Hoffmann, J. 2005. Selectie van wiskundeonderwerpen. Monfort Publications.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice hal.
5. Wikipedia. Denkbeeldig getal. Hersteld van: en.wikipedia.org