De transcendente nummers zijn degenen die niet kunnen worden verkregen als resultaat van een polynoomvergelijking. Het tegenovergestelde van een transcendent getal is een algebraïsch getal, dat zijn oplossingen van een polynoomvergelijking van het type:
naarn Xn + naarn-1 Xn-1 +… + Atwee Xtwee + naar1 x + een0 = 0
Waar de coëfficiënten an, naarn-1,… naartwee, naar1, naar0 zijn rationale getallen, de coëfficiënten van het polynoom. Als een getal x een oplossing is voor de vorige vergelijking, dan is dat getal niet transcendent.
We zullen een paar getallen analyseren en kijken of ze transcendent zijn of niet:
a) 3 is niet transcendent omdat het een oplossing is van x - 3 = 0.
b) -2 kan niet transcendent zijn omdat het een oplossing is van x + 2 = 0.
c) ⅓ is een oplossing van 3x - 1 = 0
d) Een oplossing van de vergelijking xtwee - 2x + 1 = 0 is √2 -1, dus dat getal is per definitie niet transcendent.
e) Geen van beide is √2 omdat het het resultaat is van de vergelijking xtwee - 2 = 0. Kwadratuur √2 geeft het resultaat 2, afgetrokken van 2 is gelijk aan nul. Dus √2 is een irrationeel getal, maar het is niet transcendent.
Artikel index
Het probleem is dat er geen algemene regel is om ze te verkrijgen (later zullen we een manier zeggen), maar enkele van de meest bekende zijn het aantal pi en de Neper-nummer, respectievelijk aangegeven door: π Y en.
Het nummer π Het lijkt vanzelfsprekend door op te merken dat het wiskundige quotiënt tussen de omtrek P van een cirkel en zijn diameter D, ongeacht of het een kleine of grote cirkel is, altijd hetzelfde getal geeft, genaamd pi
π = P / D ≈ 3,14159 ...
Dit betekent dat als de diameter van de omtrek als meeteenheid wordt genomen, voor alle, groot of klein, de omtrek altijd P = 3,14 ... = π, zoals te zien is in de animatie van figuur 2.
Om meer decimalen te bepalen, is het nodig om P en D nauwkeuriger te meten en vervolgens het quotiënt te berekenen, wat wiskundig is gedaan. Het komt erop neer dat de decimalen van het quotiënt geen einde hebben en zichzelf nooit herhalen, dus het getal π behalve transcendent is het ook irrationeel.
Een irrationeel getal is een getal dat niet kan worden uitgedrukt als de deling van twee hele getallen.
Het is bekend dat elk transcendent getal irrationeel is, maar het is niet waar dat alle irrationele getallen transcendent zijn. √2 is bijvoorbeeld irrationeel, maar niet transcendent.
Het transcendente getal e is de basis van natuurlijke logaritmen en de decimale benadering is:
e ≈ 2,718281828459045235360 ... .
Als je het nummer wilde schrijven en precies, het zou nodig zijn om oneindige decimalen te schrijven, omdat elk transcendent getal irrationeel is, zoals eerder gezegd.
De eerste tien cijfers van en zijn gemakkelijk te onthouden:
2,7 1828 1828 en hoewel het een zich herhalend patroon lijkt te volgen, wordt dit niet bereikt in decimalen van orde groter dan negen.
Een meer formele definitie van en is de volgende:
Wat betekent dat de exacte waarde van en wordt bereikt door de bewerking uit te voeren die in deze formule wordt aangegeven, wanneer het natuurlijke getal n neigt naar oneindig.
Dit verklaart waarom we alleen benaderingen kunnen verkrijgen van en, aangezien het niet uitmaakt hoe groot het getal n is, het zal altijd mogelijk zijn om een n hoger.
Laten we zelf op zoek gaan naar enkele benaderingen:
-Als n = 100 dan (1 + 1/100)100 = 2.70481 die in het eerste decimaal nauwelijks samenvalt met de "ware" waarde van e.
-Als je kiest voor n = 10.000, heb je (1 + 1 / 10.000)10.000 = 2,71815 wat overeenkomt met de "exacte" waarde van e in de eerste drie decimalen.
Dit proces zou oneindig moeten worden gevolgd om de "ware" waarde van e te verkrijgen. Ik denk niet dat we er tijd voor hebben, maar laten we er nog een proberen:
Laten we n = 100.000 gebruiken:
(1 + 1 / 100.000)100.000 = 2,7182682372
Dat heeft slechts vier decimalen die overeenkomen met de waarde die als exact wordt beschouwd.
Het belangrijkste is om te begrijpen dat hoe hoger de waarde van n gekozen is om e te berekenenn, hoe dichter het bij de werkelijke waarde is. Maar die echte waarde zal alleen worden verkregen als n oneindig is.
Andere belangrijke nummers
Naast deze bekende nummers zijn er nog andere transcendente nummers, bijvoorbeeld:
- twee√2
Elk algebraïsch getal, behalve 0 of 1, verheven tot een irrationele exponent, zal een transcendent getal zijn.
-Het Champernowne-nummer in basis 10:
C_10 = 0.123456789101112131415161718192021… .
-Het Champernowne-nummer in basis 2:
C_2 = 0,1101110010110111… .
-Het gamma-getal γ of de constante van Euler-Mascheroni:
γ ≈ 0,577 215664901532860606
Die wordt verkregen door de volgende berekening uit te voeren:
γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)
Wanneer n heel erg groot zijn. Om de exacte waarde van het Gamma-nummer te hebben, moet u de berekening uitvoeren met n eindeloos. Iets vergelijkbaars met wat we hierboven hebben gedaan.
En er zijn veel meer transcendente getallen. De grote wiskundige Georg Cantor, geboren in Rusland en leefde tussen 1845 en 1918, toonde aan dat de reeks transcendente getallen veel groter is dan de reeks algebraïsche getallen..
P = π D = 2 π R, waarbij P de omtrek is, D de diameter en R de straal van de omtrek. Houd er rekening mee dat:
-De diameter van de omtrek is het langste segment dat twee punten van hetzelfde verbindt en dat altijd door het midden gaat,
-De straal is de helft van de diameter en is het segment dat van het midden naar de rand gaat.
A = π Rtwee = ¼ π Dtwee
S = 4 π Rtwee.
Ja, hoewel het er misschien niet zo uitziet, is het oppervlak van een bol hetzelfde als dat van vier cirkels met dezelfde straal als de bol..
V = 4/3 π R3
De pizzeria "EXÓTICA" verkoopt pizza's met drie diameters: klein 30 cm, medium 37 cm en groot 45 cm. Een kind heeft veel honger en hij realiseerde zich dat twee kleine pizza's evenveel kosten als één grote. Wat is beter voor hem, koop twee kleine pizza's of één grote?
Hoe groter het oppervlak, hoe groter de hoeveelheid pizza, daarom wordt de oppervlakte van een grote pizza berekend en vergeleken met die van twee kleine pizza's:
Grote pizzaruimte = ¼ π Dtwee = ¼ ⋅3,1416⋅45twee = 1590,44 cmtwee
Kleine pizzaruimte = ¼ π dtwee = ¼ ⋅3,1416⋅30twee = 706,86 cmtwee
Daarom hebben twee kleine pizza's een oppervlakte van
2 x 706,86 = 1413,72 cmtwee .
Het is duidelijk: je zult meer pizza's hebben als je één grote koopt dan twee kleine.
De pizzeria "EXÓTICA" verkoopt ook een halfronde pizza met een straal van 30 cm voor dezelfde prijs als een rechthoekige pizza met een zijkant van 30 x 40 cm. Welke zou jij kiezen?
Zoals vermeld in het vorige gedeelte, is het oppervlak van een bol vier keer dat van een cirkel met dezelfde diameter, dus een halve bol met een diameter van 30 cm heeft:
12 '' halfronde pizza: 1413,72 cmtwee (tweemaal een cirkel met dezelfde diameter)
Rechthoekige pizza: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cmtwee .
De halfronde pizza heeft een groter oppervlak.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.