De lineaire golven zijn die waarin het superpositieprincipe van toepassing is, dat wil zeggen die waarin de golfvorm en zijn ruimte-tijd-evolutie kunnen worden bereikt als de som van basisoplossingen, bijvoorbeeld van een harmonisch type. Niet alle golven voldoen aan het superpositieprincipe, degenen die niet voldoen, worden niet-lineaire golven genoemd.
De naam 'lineair' komt van het feit dat lineaire golven altijd voldoen aan een differentiaalvergelijking in partiële afgeleiden, waarin alle termen die betrekking hebben op de afhankelijke variabele of zijn afgeleiden worden verheven tot de eerste macht.
Aan de andere kant voldoen niet-lineaire golven aan golfvergelijkingen die kwadratische termen of hogere graden hebben in de afhankelijke variabele of in zijn afgeleiden.
Lineaire golven worden soms verward met longitudinale golven, dat zijn die waarin de trilling plaatsvindt in dezelfde voortplantingsrichting, zoals geluidsgolven.
Maar zowel longitudinale golven als transversale golven kunnen op hun beurt lineair of niet-lineair zijn, afhankelijk van onder meer de amplitude van de aanvankelijke verstoring en het medium waarin ze zich voortplanten..
Het gebeurt in het algemeen dat wanneer de aanvankelijke storing een kleine amplitude heeft, de vergelijking die de voortplanting van de golf beschrijft lineair is of kan worden gelineariseerd door bepaalde benaderingen, hoewel dit niet altijd het geval is..
Artikel index
In een lineair medium kan een in ruimte en tijd beperkte golfvorm worden weergegeven door de som van golffuncties van het sinus- of cosinustype van verschillende frequenties en golflengten met behulp van Fourier-reeksen.
Lineaire golven hebben altijd een differentiaalvergelijking van het lineaire type geassocieerd, waarvan de oplossing de voorspelling weergeeft van wat de verstoring zal zijn in latere momenten van een aanvankelijke verstoring die ruimtelijk op het eerste moment is gelokaliseerd..
De klassieke lineaire golfvergelijking, in een enkele ruimtelijke dimensie, waarvan de oplossingen lineaire golven zijn, is:
In de bovenstaande vergelijking of vertegenwoordigt de verstoring van een bepaalde fysieke grootheid op de positie X en in een oogwenk t, namelijk of is een functie van X Y t
u = u (x, t)
Bijvoorbeeld als het een geluidsgolf in de lucht is, of kan de variatie van de druk ten opzichte van zijn waarde vertegenwoordigen zonder te storen.
In het geval van een elektromagnetische golf vertegenwoordigt u het elektrische veld of het magnetische veld dat loodrecht op de voortplantingsrichting oscilleert.
In het geval van een strak touw, of geeft de transversale verplaatsing weer ten opzichte van de evenwichtspositie van het touw, zoals weergegeven in de volgende afbeelding:
Als er twee of meer oplossingen van de lineaire differentiaalvergelijking zijn, dan is elke oplossing vermenigvuldigd met een constante een oplossing en dat geldt ook voor de som ervan.
In tegenstelling tot niet-lineaire vergelijkingen, laten lineaire golfvergelijkingen harmonische oplossingen toe van het type:
of1= A⋅sen (k⋅x - ω⋅t) Y oftwee= A⋅sen (k⋅x + ω⋅t)
Dit kan worden geverifieerd door eenvoudige substitutie in de lineaire golfvergelijking.
De eerste oplossing stelt een reizende golf voor die naar rechts beweegt, terwijl de tweede oplossing snel naar links gaat c = ω / k.
Harmonische oplossingen zijn kenmerkend voor lineaire golfvergelijkingen.
Aan de andere kant is de lineaire combinatie van twee harmonische oplossingen ook een oplossing van de lineaire golfvergelijking, bijvoorbeeld:
u = EEN1 cos (k1⋅x - ω1⋅t) + Atwee sen (ktwee⋅x - ωtwee⋅t) is de oplossing.
Het meest relevante kenmerk van lineaire golven is dat elke golfvorm, hoe complex ook, kan worden verkregen door een sommatie van eenvoudige harmonische golven in sinus en cosinus:
u (x, t) = EEN0 + n NAARn cos (kn⋅x - ωn⋅t) + ∑m B.m sen (km⋅x - ωm⋅t).
In de klassieke lineaire golfvergelijking, c vertegenwoordigt de voortplantingssnelheid van de puls.
In gevallen waar c is een constante waarde, bijvoorbeeld elektromagnetische golven in een vacuüm, dan een puls op het eerste moment t = 0 Vorm f (x) verspreidt zich volgens:
u (x, t) = f (x - c⋅t)
Zonder enige vervorming. Wanneer dit gebeurt, wordt gezegd dat het medium niet-verspreidend is..
In verspreide media kan de voortplantingssnelheid c echter afhangen van de golflengte λ, dat wil zeggen: c = c (λ).
Elektromagnetische golven zijn verspreid wanneer ze door een materieel medium reizen. Ook de oppervlaktegolven van het water verplaatsen zich met verschillende snelheden, afhankelijk van de diepte van het water.
De snelheid waarmee een harmonische golf van het type A⋅sen (k⋅x - ω⋅t) het is ω / k = c y wordt de fasesnelheid genoemd. Als het medium verspreid is, dan c is een functie van het golfgetal k c = c (k), waar k is gerelateerd aan golflengte door k = 2π / λ.
De relatie tussen frequentie en golflengte wordt de verspreidingsverhouding, dan uitgedrukt in termen van de hoekfrequentie ω en het golfnummer k het is: ω = c (k) ⋅k.
Enkele karakteristieke dispersierelaties van lineaire golven zijn als volgt:
In oceaangolven waar de golflengte (afstand tussen toppen) veel groter is dan de diepte H., maar aangezien de amplitude veel kleiner is dan de diepte, is de dispersierelatie:
ω = √ (gH) ⋅k
Van daaruit wordt geconcludeerd dat ze zich met constante snelheid voortplanten √ (gH) (niet-verspreidend medium).
Maar golven in zeer diepe wateren zijn verspreid, aangezien hun verspreidingsverhouding is:
ω = √ (g / k) ⋅k
Dit betekent dat de fasesnelheid ω / k is variabel en hangt af van het golfgetal en dus van de golflengte van de golf.
Als twee harmonische lineaire golven elkaar overlappen maar voortbewegen met verschillende snelheden, dan komt de groepssnelheid (dat wil zeggen, van het golfpakket) niet overeen met de fasesnelheid.
Groepssnelheid vg wordt gedefinieerd als de afgeleide van de frequentie ten opzichte van het golfgetal in de dispersierelatie: vg = ω '(k).
De volgende afbeelding toont de superpositie of som van twee harmonische golven of1= A⋅sen (k1⋅x - ω1⋅t) Y oftwee= A⋅sen (ktwee⋅x - ωtwee⋅t) reizen met verschillende snelheden v1= ω1/ k1 Y vtwee= ωtwee/ ktwee. Merk op hoe de groepssnelheid verschilt van de fasesnelheid, in dit geval de groepssnelheid ∆ω / ∆k.
Afhankelijk van de spreidingsverhouding kan het zelfs gebeuren dat de fasesnelheid en de groepssnelheid, in lineaire golven, tegengestelde richtingen hebben..
Elektromagnetische golven zijn lineaire golven. De golfvergelijking is afgeleid van de vergelijkingen van het elektromagnetisme (de vergelijkingen van Maxwell) die ook lineair zijn.
Het is de vergelijking die de dynamica van de deeltjes op atomaire schaal beschrijft, waarbij de golfkarakteristieken relevant zijn, bijvoorbeeld het geval van elektronen in het atoom..
Dus de "elektronengolf" of golffunctie zoals het ook wel wordt genoemd, is een lineaire golf.
Lineaire golven zijn ook die waarbij de amplitude veel kleiner is dan de golflengte en de golflengte veel groter dan de diepte. Golven in diep water volgen de lineaire theorie (bekend als Airy golftheorie).
De golf die de kust nadert en de karakteristieke curling-kam vormt (en waar surfers dol op zijn) is een niet-lineaire golf..
Omdat geluid een kleine verstoring van de atmosferische druk is, wordt het als een lineaire golf beschouwd. De schokgolf van een explosie of het golffront van een supersonisch vliegtuig zijn echter typische voorbeelden van een niet-lineaire golf..
De golven die zich voortplanten door een strak touw zijn lineair, zolang de initiële pulsatie een kleine amplitude heeft, dat wil zeggen dat de elastische limiet van het touw niet wordt overschreden..
Lineaire golven in de snaren worden aan hun uiteinden gereflecteerd en overlappen, waardoor staande golven of trillingsmodi ontstaan die de harmonische en subharmonische tonen geven die kenmerkend zijn voor snaarinstrumenten..
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.