De kruisproduct of vectorproduct het is een manier om twee of meer vectoren te vermenigvuldigen. Er zijn drie manieren om vectoren te vermenigvuldigen, maar geen van deze is vermenigvuldiging in de gebruikelijke zin van het woord. Een van deze vormen staat bekend als een vectorproduct, wat ons als resultaat een derde vector geeft.
Het kruisproduct, ook wel het kruisproduct of uitproduct genoemd, heeft verschillende algebraïsche en geometrische eigenschappen. Deze eigenschappen zijn erg handig, vooral bij de studie van natuurkunde..
Artikel index
Een formele definitie van het vectorproduct is de volgende: als A = (a1, a2, a3) en B = (b1, b2, b3) vectoren zijn, dan is het vectorproduct van A en B, dat we zullen aanduiden als AxB, is:
AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
Vanwege de AxB-notatie wordt het gelezen als "A cross B".
Een voorbeeld van het gebruik van het uitproduct is dat als A = (1, 2, 3) en B = (3, -2, 4) vectoren zijn, we de definitie van een vectorproduct gebruiken, hebben we:
AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)
AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).
Een andere manier om het vectorproduct uit te drukken, wordt gegeven door de notatie van determinanten.
De berekening van een determinant van de tweede orde wordt gegeven door:
Daarom kan de formule voor het kruisproduct in de definitie als volgt worden herschreven:
Dit wordt meestal als volgt vereenvoudigd tot een determinant van de derde orde:
Waar i, j, k de vectoren vertegenwoordigen die de basis vormen van R3.
Met behulp van deze manier om het kruisproduct uit te drukken, hebben we dat het vorige voorbeeld kan worden herschreven als:
Enkele eigenschappen die het vectorproduct bezit, zijn de volgende:
Als A een willekeurige vector is in R3, we moeten:
- AxA = 0
- Ax0 = 0
- 0xA = 0
Deze eigenschappen zijn eenvoudig te controleren door alleen de definitie te gebruiken. Als A = (a1, a2, a3) hebben we:
AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.
Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.
Als i, j, k de eenheidsbasis van R vertegenwoordigen3, we kunnen ze als volgt schrijven:
ik = (1, 0, 0)
j = (0, 1, 0)
k = (0, 0, 1)
We hebben dus dat de volgende eigenschappen waar zijn:
Als geheugensteuntje wordt vaak de volgende cirkel gebruikt om deze eigenschappen te onthouden:
Daar moeten we opmerken dat elke vector met zichzelf vector 0 als resultaat geeft, en de rest van de producten kan worden verkregen met de volgende regel:
Het kruisproduct van twee opeenvolgende vectoren met de klok mee geeft de volgende vector; en wanneer tegen de klok in wordt gekeken, is het resultaat de volgende vector met minteken.
Dankzij deze eigenschappen kunnen we zien dat het vectorproduct niet commutatief is; Merk bijvoorbeeld op dat i x j ≠ j x i. De volgende eigenschap vertelt ons hoe AxB en BxA in het algemeen gerelateerd zijn.
Als A en B vectoren zijn van R3, we moeten:
AxB = - (BxA).
Als A = (a1, a2, a3) en B = (b1, b2, b3), hebben we per definitie van extern product:
AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)
= (- 1) (BxA).
We kunnen ook zien dat dit product niet associatief is met het volgende voorbeeld:
ix (ixj) = ixk = - j maar (ixi) xj = 0xj = 0
Hieruit kunnen we zien dat:
ix (ixj) ≠ (ixi) xj
Als A, B, C vectoren zijn van R3 en r is een reëel getal, het volgende is waar:
- Ax (B + C) = AxB + AxC
- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)
Dankzij deze eigenschappen kunnen we het vectorproduct berekenen met behulp van de algebrawetten, op voorwaarde dat de volgorde wordt gerespecteerd. Bijvoorbeeld:
Als A = (1, 2, 3) en B = (3, -2, 4), kunnen we ze herschrijven op basis van de canonieke basis van R3.
Dus A = i + 2j + 3k en B = 3i - 2j + 4k. Vervolgens de vorige eigenschappen toepassen:
AxB = (ik + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)
= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)
= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)
= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k
= (14, 5, - 8).
Zoals we aan het begin al zeiden, zijn er naast het vectorproduct nog andere manieren om vectoren te vermenigvuldigen. Een van deze manieren is het scalaire product of inproduct, dat wordt aangeduid als A ∙ B en waarvan de definitie is:
Als A = (a1, a2, a3) en B = (b1, b2, b3), dan is A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3
De eigenschap die beide producten met elkaar verbindt, staat bekend als het drievoudige scalaire product.
Als A, B en C vectoren zijn van R3, dan A ∙ BxC = AxB ∙ C
Laten we als voorbeeld eens kijken dat, gegeven A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) en C = (- 5, 1, - 4), aan deze eigenschap is voldaan.
BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k
A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74
Aan de andere kant:
AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k
AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74
Een ander drievoudig product is Ax (BxC), dat bekend staat als het drievoudige vectorproduct..
Als A, B en C vectoren zijn van R3, dan:
Bijl (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C
Laten we als voorbeeld eens kijken dat, gegeven A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) en C = (- 5, 1, - 4), aan deze eigenschap is voldaan.
Uit het vorige voorbeeld weten we dat BxC = (- 18, - 22, 17). Laten we Ax (BxC) berekenen:
Bijl (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k
Aan de andere kant moeten we:
EEN ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4
A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3
We moeten dus:
(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)
Het is een van de geometrische eigenschappen van vectoren. Als A en B twee vectoren zijn in R3 en ϴ is de hoek die tussen deze twee wordt gevormd, dan:
|| AxB || = || A |||| B || sin (ϴ), waarbij || || geeft de modulus of grootte van een vector aan.
De geometrische interpretatie van deze eigenschap is als volgt:
Laat A = PR en B = PQ. Dan is de hoek gevormd door de vectoren A en B de hoek P van de driehoek RQP, zoals weergegeven in de volgende afbeelding.
Daarom is het gebied van het parallellogram dat PR en PQ als aangrenzende zijden heeft || A |||| B || sin (ϴ), aangezien we als basis kunnen nemen || A || en de hoogte wordt gegeven door || B || sin (ϴ).
Hieruit kunnen we concluderen dat || AxB || is het gebied van genoemd parallellogram.
Gegeven de volgende hoekpunten van een vierhoek P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) en S (5,7, -3), laat zien dat genoemde vierhoek is een parallellogram en zoek het gebied.
Hiervoor bepalen we eerst de vectoren die de richting van de zijkanten van de vierhoek bepalen. Dit is:
A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)
B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)
C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)
D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)
Zoals we kunnen zien, hebben A en C dezelfde richtvector, dus we hebben dat beide parallel zijn; hetzelfde gebeurt met B en D. Daarom concluderen we dat PQRS een parallellogram is.
Om de oppervlakte van dit parallellogram te hebben, berekenen we BxA:
BxA = (ik + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)
= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i
= - 6i - 2j - 7k.
Daarom zal het kwadraat van het gebied zijn:
|| BxA ||twee = (- 6)twee + (- twee)twee + (- 7)twee = 36 + 4 + 49 = 89.
Geconcludeerd kan worden dat het parallellogramgebied de vierkantswortel is van 89.
Twee vectoren A en B zijn parallel in R3 als en slechts als AxB = 0
Het is duidelijk dat als A of B de nulvector is, is voldaan aan AxB = 0. Aangezien de nulvector parallel is aan een andere vector, is de eigenschap geldig.
Als geen van de twee vectoren de nulvector is, is hun grootte anders dan nul; dat wil zeggen, beide || A || ≠ 0 als || B || ≠ 0, dus we hebben || AxB || = 0 als en slechts als sin (ϴ) = 0, en dit gebeurt als en slechts als ϴ = π of ϴ = 0.
Daarom kunnen we AxB = 0 concluderen als en slechts als ϴ = π of ϴ = 0, wat alleen gebeurt als beide vectoren evenwijdig aan elkaar zijn.
Als A en B twee vectoren zijn in R3, dan staat AxB loodrecht op zowel A als B.
Laten we voor dit bewijs onthouden dat twee vectoren loodrecht staan als A ∙ B gelijk is aan nul. Verder weten we dat:
A ∙ AxB = AxA ∙ B, maar AxA is gelijk aan 0. Daarom hebben we:
A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.
Hieruit kunnen we concluderen dat A en AxB loodrecht op elkaar staan. Evenzo moeten we:
AxB ∙ B = A ∙ BxB.
Omdat BxB = 0, hebben we:
AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.
AxB en B staan dus loodrecht op elkaar en daarmee wordt de eigenschap aangetoond. Dit is erg handig, omdat het ons in staat stelt om de vergelijking van een vlak te bepalen.
Verkrijg een vergelijking van het vlak dat door de punten P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) en R (2, 1, 3) gaat.
Stel dat A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) en B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2). Dan A = - i + 3j + k en B = i - 2j + k. Om het vlak te vinden dat door deze drie punten wordt gevormd, volstaat het om een vector te vinden die loodrecht op het vlak staat, namelijk AxB.
AxB = (- ik + 3j + k) X (ik - 2j + k) = 5i + 2j - k.
Met deze vector, en door het punt P (1, 3, 2) te nemen, kunnen we de vergelijking van het vlak als volgt bepalen:
(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0
We hebben dus dat de vergelijking van het vlak 5x + 2y - z - 9 = 0 is.
Zoek de vergelijking van het vlak dat het punt P (4, 0, - 2) bevat en dat loodrecht staat op elk van de vlakken x - y + z = 0 en 2x + y - 4z - 5 = 0 .
Wetende dat een normaalvector naar een vlakke ax + by + cz + d = 0 is (a, b, c), hebben we dat (1, -1,1) een normaalvector is van x - y + z = 0 y (2,1, - 4) is een normaalvector van 2x + y - 4z - 5 = 0.
Daarom moet een normaalvector op het gezochte vlak loodrecht staan op (1, -1,1) en op (2, 1, - 4). Deze vector is:
(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.
Dan hebben we dat het gezochte vlak degene is die het punt P (4,0, - 2) bevat en de vector (3,6,3) als een normaalvector heeft.
3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0
x + 2y + z - 2 = 0.
Een toepassing die het drievoudige scalaire product heeft, is om het volume te kunnen berekenen van een parallellepipedum waarvan de randen worden gegeven door de vectoren A, B en C, zoals weergegeven in de afbeelding:
We kunnen deze toepassing op de volgende manier afleiden: zoals we al eerder zeiden, de vector AxB is een vector die normaal is op het vlak van A en B. We hebben ook dat de vector - (AxB) een andere vector is die normaal is op dat vlak.
We kiezen de normaalvector die de kleinste hoek vormt met vector C; zonder verlies van algemeenheid, laat AxB de vector zijn waarvan de hoek met C het kleinst is.
We hebben dat zowel AxB als C hetzelfde startpunt hebben. Verder weten we dat het gebied van het parallellogram dat de basis vormt van het parallellepipedum || AxB || is. Daarom, als de hoogte van het parallellepipedum wordt gegeven door h, hebben we dat het volume zal zijn:
V = || AxB || h.
Laten we aan de andere kant eens kijken naar het scalaire product tussen AxB en C, dat als volgt kan worden beschreven:
Door trigonometrische eigenschappen hebben we echter dat h = || C || cos (ϴ), dus we hebben:
Op deze manier hebben we dat:
In algemene termen hebben we dat het volume van een parallellepipedum wordt gegeven door de absolute waarde van het drievoudige scalaire product AxB ∙ C.
Gegeven de punten P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) en S = (2, 6, 9), vormen deze punten een parallellepipedum waarvan de randen het zijn PQ, PR en PS. Bepaal het volume van het parallellepipedum.
Als we nemen:
- A = PQ = (-1, 6, 1)
- B = PR = (-4, 4, 2)
- C = PS = (-3, 2, 2)
Gebruikmakend van de eigenschap van het drievoudige scalaire product, hebben we:
AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).
AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24-4 +80 = 52.
Daarom hebben we dat het volume van genoemd parallellepipedum 52 is.
Bepaal het volume van een parallellepipedum waarvan de randen worden gegeven door A = PQ, B = PR en C = PS, waarbij de punten P, Q, R en S zijn (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) en (2, 2, 5), respectievelijk.
Eerst hebben we dat A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).
We berekenen AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).
Vervolgens berekenen we AxB ∙ C:
AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5-6 = 1.
We concluderen dus dat het volume van het parallellepipedum 1 kubieke eenheid is.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.