EEN kracht series bestaat uit een sommatie van termen in de vorm van machten van de variabele X, of meer in het algemeen, van x-c, waar c is constant reëel getal. In sommatie-notatie wordt een reeks bevoegdheden als volgt uitgedrukt:
∑an (x -c)n = eenof + naar1 (x - c) + eentwee (x - c)twee + naar3 (x - c)3 +… + An (x - c)n
Waar de coëfficiënten aof, naar1, naartwee… Zijn echte getallen en de reeks begint bij n = 0.
Deze serie is gericht op waarde c die constant is, maar u kunt kiezen welke c is gelijk aan 0, in welk geval de machtreeks vereenvoudigt tot:
∑an Xn = eenof + naar1 x + eentwee Xtwee + naar3 X3 +… + An Xn
De serie begint met naarof(x-c)0 Y naarofX0 respectievelijk. Maar we weten dat:
(x-c)0= x0 = 1
Daarom naarof(x-c)0 naarofX0 naarof (onafhankelijke term)
Het mooie van power series is dat je er functies mee kunt uitdrukken en dit heeft veel voordelen, zeker als je met een gecompliceerde functie wilt werken.
Wanneer dit het geval is, wordt in plaats van de functie rechtstreeks te gebruiken, de uitbreiding in vermogensreeks gebruikt, die gemakkelijker kan worden afgeleid, geïntegreerd of numeriek kan worden gewerkt..
Alles is natuurlijk afhankelijk van de convergentie van de serie. Een reeks convergeert wanneer het toevoegen van een bepaald groot aantal termen een vaste waarde geeft. En als we nog meer termen toevoegen, blijven we die waarde verkrijgen.
Artikel index
Laten we als voorbeeld nemen van een functie die wordt uitgedrukt als een machtreeks f (x) = eX.
Deze functie kan als volgt worden uitgedrukt in termen van een reeks bevoegdheden:
enX ≈ 1 + x + (xtwee / 2!) + (X3 / 3!) + (X4 / 4!) + (X5 / 5!) + ...
Waar! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ... en er zijn 0 nodig! = 1.
We gaan met behulp van een rekenmachine controleren of de reeks inderdaad overeenkomt met de expliciet gegeven functie. Laten we bijvoorbeeld beginnen met x = 0 te maken.
We weten dat e0 = 1. Laten we eens kijken wat de serie doet:
en0 ≈ 1 + 0 + (0twee / 2!) + (03 / 3!) + (04 / 4!) + (05 / 5!) + ... = 1
En laten we het nu proberen x = 1. Een rekenmachine laat dat zien en1 = 2,71828, en laten we het dan vergelijken met de serie:
en1 ≈ 1 + 1 + (1twee / 2!) + (13 / 3!) + (14 / 4!) + (15 / 5!) +… = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167
Met slechts 5 termen hebben we al een exacte match in e ≈ 2,71. Onze serie heeft nog net iets meer te gaan, maar naarmate er meer termen worden toegevoegd, convergeert de serie zeker naar de exacte waarde van en. De weergave is exact wanneer n → ∞.
Als de bovenstaande analyse wordt herhaald tot n = 2 zeer vergelijkbare resultaten worden verkregen.
Op deze manier zijn we er zeker van dat de exponentiële functie f (x) = eX kan worden weergegeven door deze reeks bevoegdheden:
De functie f (x) = eX het is niet de enige functie die de weergave van een machtreeks ondersteunt. Bijvoorbeeld de functie F.x) = 1/1 - x lijkt veel op het bekende convergente geometrische reeks
∑a.rn = a / 1 - r
Het volstaat om a = 1 en r = x te doen om een reeks te krijgen die geschikt is voor deze functie, die gecentreerd is op c = 0:
Het is echter bekend dat deze reeks convergent is voor │r│<1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.
Als u deze functie in een ander interval wilt definiëren, concentreert u zich eenvoudig op een geschikte waarde en bent u klaar..
Elke functie kan worden ontwikkeld in een machtsreeks gecentreerd op c, zolang deze afgeleiden heeft van alle ordes op x = c. De procedure maakt gebruik van de volgende stelling, genaamd De stelling van Taylor:
Laat f (x) een functie zijn met afgeleiden van orde n, aangeduid als F.(n), wat een reeks uitbreiding van bevoegdheden in het interval toelaat ik. De ontwikkeling ervan in taylor reeks het is:
Zodat:
f (x) = f (c) + f '(c) (x-c) + f "(c) (x-c)twee / 2 + f "(c) (x-c)3 / 6 +… Rn
Waar Rn, dat is de nde term van de reeks, wordt genoemd residu
Als c = 0 wordt de reeks aangeroepen Maclaurin-serie.
Deze reeks die hier wordt gegeven, is identiek aan de reeks die aan het begin is gegeven, alleen hebben we nu een manier om expliciet de coëfficiënten van elke term te vinden, gegeven door:
Er moet echter voor worden gezorgd dat de reeks convergeert naar de functie die moet worden weergegeven. Het komt voor dat niet elke Taylor-reeks noodzakelijkerwijs convergeert naar de f (x) die in gedachten was bij het berekenen van de coëfficiënten naarn.
Dit gebeurt omdat misschien de afgeleiden van de functie, geëvalueerd in x = c samenvallen met dezelfde waarde van de derivaten van een ander, ook in x = c. In dit geval zouden de coëfficiënten hetzelfde zijn, maar de ontwikkeling zou dubbelzinnig zijn omdat het niet zeker is met welke functie het overeenkomt..
Gelukkig is er een manier om te weten:
Convergentiecriterium
Om dubbelzinnigheid te voorkomen, als Rn → 0 wanneer n → ∞ voor alle x in het interval I, de reeks convergeert naar f (x).
Zoek de Geometric Power-serie voor de functie f (x) = 1/2 - x gecentreerd op c = 0.
De gegeven functie moet zo worden uitgedrukt dat deze zo dicht mogelijk samenvalt met 1 / 1- x, waarvan de reeks bekend is. Laten we daarom de teller en de noemer herschrijven, zonder de oorspronkelijke uitdrukking te wijzigen:
1/2 - x = (1/2) / [1 - (x / 2)]
Omdat ½ constant is, komt het uit de sommatie en wordt het geschreven in termen van de nieuwe variabele x / 2:
Merk op dat x = 2 niet tot het domein van de functie behoort, en volgens het convergentiecriterium gegeven in sectie Geometrische machtsreeks, de uitbreiding is geldig voor │x / 2│< 1 o equivalentemente -2 < x < 2.
Zoek de eerste 5 termen van de Maclaurin-reeksuitbreiding van de functie f (x) = sin x.
Derivaten worden voor het eerst gevonden:
-Afgeleide van orde 0: het is dezelfde functie f (x) = sin x
-Eerste afgeleide: (sin x) '= cos x
-Tweede afgeleide: (sin x) "= (cos x) '= - sin x
-Derde afgeleide: (sin x) "= (-sen x) '= - cos x
-Vierde afgeleide: (sin x) "= (- cos x) '= sin x
Vervolgens wordt elke afgeleide geëvalueerd op x = c, net als een Maclaurin-expansie, c = 0:
sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; zonde 0 = 0
De coëfficiënten a zijn geconstrueerdn
naarof = 0/0! = 0; naar1 = 1/1! = 1; naartwee = 0/2! = 0; naar3 = -1 / 3!; naar4 = 0/4! = 0
Ten slotte wordt de serie samengesteld volgens:
sin x ≈ 0.x0 + 1. x1 + 0 .xtwee - (1/3!) X3 + 0.x4… = X - (1/3!)) X3 +
Heeft de lezer meer termen nodig? Hoeveel meer, de serie komt dichter bij de functie.
Merk op dat er een patroon in de coëfficiënten zit, de volgende niet-nul term is een5 en al degenen met een oneven index zijn ook verschillend van 0, waarbij de tekens worden afgewisseld, zodat:
sin x ≈ x - (1/3!)) x3 + (1/5!)) X5 - (1/7!)) X7 + .
Het wordt overgelaten als een oefening om te controleren of het convergeert, u kunt de quotiënt criterium voor serieconvergentie.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.