Parabolische schietkarakteristieken, formules en vergelijkingen, voorbeelden

De parabolisch schot Het bestaat uit het in een bepaalde hoek gooien van een object of projectiel en het laten bewegen onder invloed van de zwaartekracht. Als geen rekening wordt gehouden met luchtweerstand, zal het object, ongeacht zijn aard, een paraboolboogpad volgen.

Het is een dagelijkse beweging, aangezien een van de meest populaire sporten die zijn waarbij ballen of ballen worden gegooid, met de hand, met de voet of met een instrument zoals bijvoorbeeld een racket of een knuppel..

Voor zijn studie wordt het parabolische schot opgesplitst in twee over elkaar geplaatste bewegingen: de ene horizontaal zonder versnelling en de andere verticaal met constante neerwaartse versnelling, wat de zwaartekracht is. Beide bewegingen hebben een beginsnelheid.

Laten we zeggen dat de horizontale beweging langs de x-as loopt en de verticale beweging langs de y-as. Elk van deze bewegingen is onafhankelijk van de andere.

Omdat het bepalen van de positie van het projectiel het hoofddoel is, is het noodzakelijk om een ​​geschikt referentiesysteem te kiezen. Details staan ​​hieronder.

Artikel index

• 1 Parabolische shotformules en vergelijkingen
  • 1.1 - Traject, maximale hoogte, maximale tijd en horizontaal bereik
• 2 Voorbeelden van parabolisch schieten
  • 2.1 Parabolisch schieten bij menselijke activiteiten
  • 2.2 Het parabolische schot in de natuur
• 3 Oefening
• 4 referenties

Parabolische shotformules en vergelijkingen

Stel dat het object wordt gegooid met een hoek α ten opzichte van de horizontale en beginsnelheid v_of zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding links. De parabolische opname is een beweging die plaatsvindt in het vliegtuig xy en in dat geval valt de beginsnelheid als volgt uiteen:

v_os = v_of cos α

v_Hallo = v_of zonde α

De positie van het projectiel, de rode stip in figuur 2, rechter afbeelding, heeft ook twee tijdsafhankelijke componenten, een in X en de andere in Y. Positie is een vector die wordt aangeduid als r en zijn eenheden zijn lengte.

In de figuur valt de beginpositie van het projectiel samen met de oorsprong van het coördinatensysteem, dus x_of = 0, en_of = 0. Dit is niet altijd het geval, je kunt de oorsprong overal kiezen, maar deze keuze vereenvoudigt de berekeningen enorm.

Wat betreft de twee bewegingen in x en in y, dit zijn:

-x (t): is een uniforme rechtlijnige beweging.

-y (t): komt overeen met een gelijkmatig versnelde rechtlijnige beweging met g = 9,8 m / s^twee en verticaal naar beneden gericht.

In wiskundige vorm:

x (t) = v_of cos α.t

y (t) = v_of .zonde α.t - ½g.t^twee

De positievector is:

r (t) = [v_of cos α.t]ik + [v_of .zonde α.t - ½g.t^twee​ j

In deze vergelijkingen zal de oplettende lezer opmerken dat het minteken het gevolg is van de zwaartekracht die naar de grond wijst, de richting die als negatief is gekozen, terwijl naar boven als positief wordt beschouwd..

Aangezien snelheid de eerste afgeleide van positie is, hoeft u alleen maar af te leiden r (t) met betrekking tot tijd en het verkrijgen van:

v (t) = v_of cos α ik + (v_of .zonde α - gt) j

Ten slotte wordt de versnelling vectorieel uitgedrukt als:

naar (t) = -g j

- Traject, maximale hoogte, maximale tijd en horizontaal bereik

Traject

Om de expliciete vergelijking van het pad te vinden, dat is de curve y (x), moeten we de tijdparameter elimineren, oplossen in de vergelijking voor x (t) en vervangen door y (t). De vereenvoudiging is wat bewerkelijk, maar uiteindelijk krijg je:

Maximale hoogte

De maximale hoogte treedt op wanneer v_Y = 0. Wetende dat er de volgende relatie is tussen positie en het kwadraat van de snelheid:

v_Y^twee = v_Hallo ^twee- 2gy

Aan het doen v_Y = 0 net bij het bereiken van de maximale hoogte:

0 = v_Hallo ^twee- 2g. En_{max. hoogte} → en_{max. hoogte} = v_Hallo ^twee/ 2 g

Met:

v_Hallo = v_of senα

Maximale tijd

De maximale tijd is de tijd die het object nodig heeft om en te bereiken_{max. hoogte}. Om het te berekenen wordt gebruikt:

v_Y = v_of .zonde α - gt

Wetende dat v_Y wordt 0 wanneer t = t_{max. hoogte}, resultaat:

v_of .zonde α - g.t_{max. hoogte} = 0

t_{max. hoogte} = v_Hallo / g

Maximaal horizontaal bereik en vliegtijd

Het bereik is erg belangrijk, omdat het aangeeft waar het object zal vallen. Op deze manier weten we of het het doelwit raakt of niet. Om het te vinden hebben we de vluchttijd, totale tijd of t nodig_v.

Uit de bovenstaande illustratie is het gemakkelijk om dat te concluderen t_v = 2.t_{max. hoogte}. Maar wees voorzichtig: dit is alleen waar als de lancering waterpas is, dat wil zeggen dat de hoogte van het startpunt gelijk is aan de hoogte van de aankomst. Anders wordt de tijd gevonden door de kwadratische vergelijking op te lossen die het resultaat is van het vervangen van de eindpositie Y_laatste​

Y_laatste = v_of .zonde α.t_v - ½g.t_v^twee

Het maximale horizontale bereik is in ieder geval:

X_{max. hoogte} = v_os. t_v

Voorbeelden van parabolisch schieten

Parabolisch schieten maakt deel uit van de beweging van mensen en dieren. Ook van bijna alle sporten en spellen waar de zwaartekracht tussenkomt. Bijvoorbeeld:

Parabolisch schieten bij menselijke activiteiten

-De steen gegooid door een katapult.

-De doelschop van de doelman.

-De bal gegooid door de werper.

-De pijl die uit de boog komt.

-Allerlei sprongen

-Gooi een steen met een slinger.

-Elk geworpen wapen.

Het parabolische schot in de natuur

-Water dat uit natuurlijke of kunstmatige stralen stroomt, zoals die uit een fontein.

-Stenen en lava die uit een vulkaan stromen.

-Een bal die van de stoep stuitert of een steen die op water stuitert.

-Allerlei springende dieren: kangoeroes, dolfijnen, gazellen, katten, kikkers, konijnen of insecten, om er maar een paar te noemen.

Oefening

Een sprinkhaan springt onder een hoek van 55º met de horizontaal en landt 0,80 meter vooruit. Vind:

a) De maximale hoogte bereikt.

b) Als hij met dezelfde beginsnelheid zou springen, maar een hoek van 45º vormde, zou hij dan hoger gaan??

c) Wat kan er gezegd worden over het maximale horizontale bereik voor deze hoek?

Oplossing voor

Als de door het probleem geleverde gegevens niet de beginsnelheid v bevatten_of de berekeningen zijn wat omslachtiger, maar uit de bekende vergelijkingen kan een nieuwe uitdrukking worden afgeleid. Beginnend vanaf:

X_{max. hoogte} = v_os . t_vlucht = v_of.cos α. t_v

Als het later landt, keert de hoogte terug naar 0, dus:

v_of .zonde α.t_v - ½g.t_v^twee= 0

Wat t_v is een gemeenschappelijke factor, het is vereenvoudigd:

v_of .zonde α - ½g.t_v= 0

We kunnen t opruimen_v uit de eerste vergelijking:

t_v = x_{max. hoogte} / v_of.cos α

En vervang in de tweede:

v_of .zonde α - (½g.x_{max. hoogte} / v_of.cos α) = 0

Door alle termen te vermenigvuldigen met v_of.cos αde uitdrukking wordt niet gewijzigd en de noemer verdwijnt:

(v_of .zonde α.) (v_of.cos α) - ½g.x_{max. hoogte} = 0

v_of^twee zonde α. cos α = ½g.x_{max. hoogte}

Het kan al worden gewist v_of of vervang ook de volgende identiteit:

zonde 2α = 2 zonde α. cos α → v_of^twee zonde 2α = g.x_{max. hoogte}

Berekend v_of^twee​

v_of^twee = g.X_{max. hoogte} ​ sin 2α = (9,8 x 0,8 / sin 110) m^twee/ s^twee = 8,34 m^twee/ s^twee

En tot slot de maximale hoogte:

Y_{max. hoogte}= v_Hallo ^twee/ 2g = (8,34 x zonde^twee 55) / (2 x 9,8) m = 0,286 m = 28,6 cm

Oplossing b

De kreeft weet dezelfde horizontale snelheid te behouden, maar door de hoek te verkleinen:

Y_{max. hoogte}= v_Hallo ^twee/ 2g = (8,34 x zonde^twee 45) / (2 x 9,8) m = 0,213 m = 21,3 cm

Bereikt een lagere hoogte.

Oplossing c

Het maximale horizontale bereik is:

X_{max. hoogte} = v_of^twee sen 2e / g

Door de hoek te variëren, verandert ook het horizontale bereik:

X_{max. hoogte} = 8,34 sen 90 / 9,8  m = 0,851 m = 85,1 cm

De sprong is nu langer. De lezer kan verifiëren dat dit maximaal is voor de hoek van 45 ° omdat:

sin 2α = sin 90 = 1.

Referenties

1. Figueroa, D. 2005. Serie: Physics for Sciences and Engineering. Deel 1. Kinematica. Bewerkt door Douglas Figueroa (USB).
2. Giambattista, A. 2010. Physics. Tweede druk. Mcgraw heuvel.
3. Giancoli, D. 2006. Natuurkunde: principes met toepassingen. 6e. Ed Prentice Hall.
4. Resnick, R. 1999. Physics. Vol. 1. 3e uitgave in het Spaans. Compañía Redactioneel Continental S.A. door C.V.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitaire natuurkunde met moderne natuurkunde. 14e. Ed. Deel 1.