De Laplace-transformatie In de afgelopen jaren is het van groot belang geweest in engineering, wiskunde en natuurkunde, naast andere wetenschappelijke gebieden, omdat het niet alleen van groot theoretisch belang is, maar ook een eenvoudige manier biedt om problemen op te lossen die voortkomen uit wetenschap en techniek..
Oorspronkelijk werd de Laplace-transformatie gepresenteerd door Pierre-Simón Laplace in zijn studie over waarschijnlijkheidstheorie en werd aanvankelijk behandeld als een wiskundig object van puur theoretisch belang..
Huidige toepassingen ontstaan wanneer verschillende wiskundigen probeerden een formele rechtvaardiging te geven aan de "operationele regels" die door Heaviside worden gebruikt bij de studie van vergelijkingen van elektromagnetische theorie..
Artikel index
Laat f een functie zijn die is gedefinieerd voor t ≥ 0. De Laplace-transformatie wordt als volgt gedefinieerd:
Er wordt gezegd dat de Laplace-transformatie bestaat als de vorige integraal convergeert, anders wordt er gezegd dat de Laplace-transformatie niet bestaat.
Over het algemeen worden kleine letters gebruikt om de functie aan te duiden die moet worden getransformeerd, en de hoofdletter komt overeen met de transformatie. Op deze manier hebben we:
Beschouw de constante functie f (t) = 1. We hebben dat zijn transformatie is:
Telkens wanneer de integraal convergeert, dat wil zeggen, wanneer s> 0. Anders is s < 0, la integral diverge.
Laat g (t) = t. De Laplace-transformatie wordt gegeven door
Door onderdelen te integreren en te weten dat jij-st neigt naar 0 wanneer neigt naar oneindig en s> 0, samen met het vorige voorbeeld hebben we:
De transformatie kan al dan niet bestaan, bijvoorbeeld voor de functie f (t) = 1 / t de integraal die de Laplace-transformatie definieert, convergeert niet en daarom bestaat de transformatie niet.
De voldoende voorwaarden om te garanderen dat de Laplace-transformatie van een functie f bestaat, zijn dat f in delen continu is voor t ≥ 0 en van exponentiële orde is.
Er wordt gezegd dat een functie stuksgewijs continu is voor t ≥ 0, wanneer er voor elk interval [a, b] met a> 0 een eindig aantal punten t isk, waarbij f discontinuïteiten heeft en continu is in elk subinterval [tk-1,tk.
Aan de andere kant wordt gezegd dat een functie van exponentiële orde c is als er reële constanten M> 0, c en T> 0 zijn, zodat:
Als voorbeelden hebben we dat f (t) = ttwee is van exponentiële volgorde, aangezien | ttwee < e3t voor alle t> 0.
Formeel hebben we de volgende stelling
Als f een gedeeltelijk continue functie is voor t> 0 en van exponentiële orde c, dan bestaat er de Laplace-transformatie voor s> c.
Het is belangrijk op te merken dat dit een voorwaarde is voor toereikendheid, dat wil zeggen dat het mogelijk is dat er een functie is die niet aan deze voorwaarden voldoet en toch bestaat de Laplace-transformatie ervan..
Een voorbeeld hiervan is de functie f (t) = t-1/2 die niet stuksgewijs continu is voor t ≥ 0, maar de Laplace-transformatie bestaat.
De volgende tabel toont de Laplace-transformaties van de meest voorkomende functies.
De Laplace-transformatie dankt zijn naam aan Pierre-Simon Laplace, een Franse wiskundige en theoretische astronoom die werd geboren in 1749 en stierf in 1827. Zijn faam was zo groot dat hij bekend stond als de Newton van Frankrijk..
In 1744 wijdde Leonard Euler zijn studie aan integralen met de vorm
als oplossingen van gewone differentiaalvergelijkingen, maar hij liet dit onderzoek al snel varen. Later onderzocht Joseph Louis Lagrange, die Euler enorm bewonderde, ook dit soort integralen en bracht ze in verband met de waarschijnlijkheidstheorie..
In 1782 begon Laplace deze integralen te bestuderen als oplossingen voor differentiaalvergelijkingen en volgens historici besloot hij in 1785 het probleem te herformuleren, wat later aanleiding gaf tot de Laplace-transformaties zoals ze vandaag worden begrepen..
Omdat het in het veld van de waarschijnlijkheidstheorie was geïntroduceerd, was het van weinig belang voor de wetenschappers van die tijd en werd het alleen gezien als een wiskundig object van alleen theoretisch belang..
Het was halverwege de 19e eeuw toen de Engelse ingenieur Oliver Heaviside ontdekte dat differentiaaloperatoren kunnen worden behandeld als algebraïsche variabelen, waardoor Laplace-transformaties hun moderne toepassing krijgen..
Oliver Heaviside was een Engelse natuurkundige, elektrotechnisch ingenieur en wiskundige die in 1850 in Londen werd geboren en in 1925 stierf. Terwijl hij probeerde differentiaalvergelijkingsproblemen op te lossen die werden toegepast op vibratietheorie en Laplace's studies gebruikte, begon hij de moderne toepassingen van Laplace-transformaties vorm te geven..
De resultaten die door Heaviside werden gepresenteerd, verspreidden zich snel door de wetenschappelijke gemeenschap van die tijd, maar omdat zijn werk niet rigoureus was, werd hij snel bekritiseerd door de meer traditionele wiskundigen..
Het nut van het werk van Heaviside bij het oplossen van vergelijkingen in de natuurkunde maakte zijn methoden echter populair bij natuurkundigen en ingenieurs..
Ondanks deze tegenslagen en na enkele decennia van mislukte pogingen, kon aan het begin van de 20e eeuw een rigoureuze rechtvaardiging worden gegeven aan de operationele regels van Heaviside..
Deze pogingen wierpen hun vruchten af dankzij de inspanningen van verschillende wiskundigen zoals onder anderen Bromwich, Carson, van der Pol..
Onder de eigenschappen van de Laplace-transformatie vallen de volgende op:
Laten c1 en c2 constant zijn en f (t) en g (t) functies waarvan Laplace-transformaties respectievelijk F (s) en G (s) zijn, dan hebben we:
Vanwege deze eigenschap wordt gezegd dat de Laplace-transformatie een lineaire operator is.
Voorbeeld
Als het gebeurt dat:
En 'a' is een reëel getal, dus:
Voorbeeld
Omdat de Laplace-transformatie van cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) dan:
Ja
Dan
Voorbeeld
Als f (t) = t ^ 3, dan is F (s) = 6 / s ^ 4. En dus de transformatie van
is G (s) = 6e-2 sec/ s ^ 4
Ja
En 'a' is niet nul, we moeten wel
Voorbeeld
Omdat de transformatie van f (t) = sin (t) F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) is, hebben we
Als f, f ', f ",…, f(n) zijn continu voor t ≥ 0 en zijn van exponentiële orde en f(n)(t) is stuksgewijs continu voor t ≥ 0, dan
Ja
Dan
Als het moet
Dan
Als het moet
Dan
Laat f een periodieke functie zijn met periode T> 0, dat wil zeggen, f (t + T) = f (t), dan
Als f continu is in delen en van exponentiële volgorde en
Dan
Wanneer we de Laplace-transformatie toepassen op een functie f (t), krijgen we F (s), die de genoemde transformatie vertegenwoordigt. Op dezelfde manier kunnen we zeggen dat f (t) de inverse Laplace-transformatie is van F (s) en wordt geschreven als
We weten dat de Laplace-transformaties van f (t) = 1 en g (t) = t zijn F (s) = 1 / s en G (s) = 1 / stwee respectievelijk, daarom moeten we
Enkele veel voorkomende inverse Laplace-transformaties zijn als volgt
Bovendien is de inverse Laplace-transformatie lineair, dat wil zeggen dat het waar is
Vind
Om deze oefening op te lossen, moeten we de functie F (s) matchen met een van de vorige tabel. Als we in dit geval n + 1 = 5 nemen en de lineariteitseigenschap van de inverse transformatie gebruiken, vermenigvuldigen en delen we door 4! Krijgen
Voor de tweede inverse transformatie passen we partiële breuken toe om de functie F (s) te herschrijven en vervolgens de eigenschap van lineariteit, waarbij we
Zoals we aan de hand van deze voorbeelden kunnen zien, is het gebruikelijk dat de functie F (s) die wordt geëvalueerd niet exact overeenkomt met een van de functies die in de tabel worden gegeven. Voor deze gevallen is het, zoals te zien is, voldoende om de functie te herschrijven totdat de juiste vorm is bereikt.
De belangrijkste toepassing van Laplace-transformaties is het oplossen van differentiaalvergelijkingen.
Met behulp van de transformatie-eigenschap van een afgeleide is het duidelijk dat
En van de n-1-derivaten geëvalueerd op t = 0.
Deze eigenschap maakt de transformatie erg nuttig voor het oplossen van beginwaardeproblemen waar differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten bij betrokken zijn..
De volgende voorbeelden laten zien hoe u de Laplace-transformatie kunt gebruiken om differentiaalvergelijkingen op te lossen.
Gegeven het volgende beginwaardeprobleem
Gebruik de Laplace-transformatie om de oplossing te vinden.
We passen de Laplace-transformatie toe op elk lid van de differentiaalvergelijking
Door de eigenschap van de transformatie van een afgeleide die we hebben
Door alle expressie te ontwikkelen en Y ('s) te wissen, blijven we over
We gebruiken partiële breuken om de rechterkant van de vergelijking te herschrijven
Ten slotte is ons doel om een functie y (t) te vinden die voldoet aan de differentiaalvergelijking. Het gebruik van de inverse Laplace-transformatie geeft ons het resultaat
Oplossen
Net als in het vorige geval passen we de transformatie toe aan beide zijden van de vergelijking en scheiden we term per term.
Op deze manier hebben we als resultaat
Vervangen door de gegeven beginwaarden en oplossen voor Y (s)
Met behulp van eenvoudige breuken kunnen we de vergelijking als volgt herschrijven
En het toepassen van de omgekeerde Laplace-transformatie geeft ons het resultaat
In deze voorbeelden zou je tot de verkeerde conclusie kunnen komen dat deze methode niet veel beter is dan traditionele methoden om differentiaalvergelijkingen op te lossen..
De voordelen van de Laplace-transformatie zijn dat u geen parametervariatie hoeft te gebruiken of u zorgen hoeft te maken over de verschillende gevallen van de onbepaalde coëfficiëntmethode..
Bovendien gebruiken we bij het oplossen van beginwaardeproblemen met deze methode vanaf het begin de beginvoorwaarden, dus het is niet nodig om andere berekeningen uit te voeren om de specifieke oplossing te vinden.
De Laplace-transformatie kan ook worden gebruikt om oplossingen te vinden voor gelijktijdige gewone differentiaalvergelijkingen, zoals het volgende voorbeeld laat zien.
Uitzoeken
Met de beginvoorwaarden x (0) = 8 en y (0) = 3.
Als het moet
Dan
Oplossen geeft ons resultaat
En het toepassen van de omgekeerde Laplace-transformatie die we hebben
De Laplace-transformatie is van groot belang in de natuurkunde, het heeft voornamelijk toepassingen voor mechanica en elektrische circuits.
Een eenvoudig elektrisch circuit bestaat uit de volgende elementen
Een schakelaar, een batterij of bron, een inductor, een weerstand en een condensator. Bij het sluiten van de schakelaar wordt een elektrische stroom opgewekt die wordt aangeduid met i (t). De lading van de condensator wordt aangegeven met q (t).
Volgens de tweede wet van Kirchhoff moet de spanning die wordt geproduceerd door de bron E naar het gesloten circuit gelijk zijn aan de som van elk van de spanningsvallen.
De elektrische stroom i (t) is gerelateerd aan de lading q (t) op de condensator door i = dq / dt. Aan de andere kant wordt de spanningsval in elk van de elementen als volgt gedefinieerd:
De spanningsval over een weerstand is iR = R (dq / dt)
De spanningsval over een inductor is L (di / dt) = L (dtweeq / dttwee
De spanningsval over een condensator is q / C
Met deze gegevens en het toepassen van de tweede wet van Kirchhoff op het eenvoudige gesloten circuit, wordt een differentiaalvergelijking van de tweede orde verkregen die het systeem beschrijft en ons in staat stelt de waarde van q (t) te bepalen.
Een inductor, een condensator en een weerstand zijn verbonden met een batterij E, zoals weergegeven in de afbeelding. De inductor is 2 henries, de condensator is 0,02 farad en de weerstand is 16 ohm. Op tijdstip t = 0 is het circuit gesloten. Vind de lading en stroom op elk moment t> 0 als E = 300 volt.
We hebben dat de differentiaalvergelijking die deze schakeling beschrijft, de volgende is
Waar de beginvoorwaarden q (0) = 0 zijn, i (0) = 0 = q '(0).
Door de Laplace-transformatie toe te passen, krijgen we dat
En oplossen voor Q (t)
Vervolgens toepassen we de inverse Laplace-transformatie die we hebben
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.