EEN gelijkzijdige driehoek het is een veelhoek met drie zijden, waar ze allemaal gelijk zijn; dat wil zeggen, ze hebben dezelfde maat. Voor dit kenmerk kreeg het de naam gelijkzijdige (gelijke zijden).
Driehoeken zijn polygonen die als de eenvoudigste in geometrie worden beschouwd, omdat ze bestaan uit drie zijden, drie hoeken en drie hoekpunten. In het geval van de gelijkzijdige driehoek, omdat deze gelijke zijden heeft, betekent dit dat de drie hoeken ook gelijk zullen zijn..
Artikel index
Gelijkzijdige driehoeken zijn platte en gesloten figuren, opgebouwd uit drie lijnstukken. Driehoeken worden geclassificeerd op basis van hun kenmerken, in relatie tot hun zijden en hoeken; de gelijkzijdige werd geclassificeerd met behulp van de maat van zijn zijden als een parameter, omdat deze precies hetzelfde zijn, dat wil zeggen, ze zijn congruent.
De gelijkzijdige driehoek is een specifiek geval van de gelijkbenige driehoek omdat twee van de zijden congruent zijn. Dat is de reden waarom alle gelijkzijdige driehoeken ook gelijkbenig zijn, maar niet alle gelijkbenige driehoeken zullen gelijkzijdig zijn.
Op deze manier hebben gelijkzijdige driehoeken dezelfde eigenschappen als een gelijkbenige driehoek..
Gelijkzijdige driehoeken kunnen ook worden geclassificeerd door de breedte van hun binnenhoeken als een gelijkzijdige acute driehoek, die drie zijden en drie binnenhoeken heeft met dezelfde maat. De hoeken zullen scherp zijn, dat wil zeggen, ze zullen kleiner zijn dan 90of.
Driehoeken hebben in het algemeen verschillende lijnen en punten waaruit het bestaat. Ze worden gebruikt om de oppervlakte, de zijkanten, de hoeken, de mediaan, deellijn, de middelloodlijn en de hoogte te berekenen..
In de volgende grafiek zien we een schaaldriehoek waarin enkele van de genoemde componenten gedetailleerd worden weergegeven
De bissectrice verdeelt de zijde van een driehoek in twee delen. In gelijkzijdige driehoeken wordt die zijde verdeeld in twee exact gelijke delen, dat wil zeggen, de driehoek wordt verdeeld in twee congruente rechthoekige driehoeken.
Zo valt de middelloodlijn getrokken vanuit elke hoek van een gelijkzijdige driehoek samen met de mediaan en de middelloodlijn van de zijde tegenover die hoek..
Voorbeeld:
De volgende afbeelding toont de driehoek ABC met een middelpunt D dat een van zijn zijden in twee segmenten AD en BD verdeelt.
Door een lijn te trekken van punt D naar het tegenoverliggende hoekpunt, wordt per definitie de mediaan CD verkregen, die relatief is ten opzichte van hoekpunt C en zijde AB.
Aangezien het segment CD de driehoek ABC verdeelt in twee gelijke driehoeken CDB en CDA, betekent dit dat het congruentiegeval zal zijn: zijde, hoek, zijde en daarom zal CD ook de bissectrice van BCD zijn..
Het plotten van segment CD verdeelt de tophoek in twee gelijke hoeken van 30of, de hoek van hoekpunt A meet nog steeds 60of en de lijn CD vormt een hoek van 90of met betrekking tot het middelpunt D.
Het segment CD vormt hoeken die dezelfde maat hebben voor de driehoeken ADC en BDC, dat wil zeggen, ze zijn zodanig aanvullend dat de maat van elk zal zijn:
Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180of
twee Med. (ADC) = 180of
Med. (ADC) = 180of ÷ 2
Med. (ADC) = 90of.
En dus hebben we dat segment CD ook de middelloodlijn is van zijde AB.
Door de middelloodlijn van het hoekpunt van een hoek naar het middelpunt van de andere kant te trekken, verdeelt het de gelijkzijdige driehoek in twee congruente driehoeken.
Op zo'n manier dat er een hoek van 90 wordt gevormdof (Rechtsaf). Dit geeft aan dat dat lijnsegment volledig loodrecht op die kant staat, en per definitie zou die lijn de hoogte zijn.
Op deze manier valt de middelloodlijn van elke hoek van een gelijkzijdige driehoek samen met de hoogte ten opzichte van de tegenoverliggende zijde van die hoek..
Omdat de hoogte, mediaan, bissectrice en middelloodlijn tegelijkertijd door hetzelfde segment worden weergegeven, zullen in een gelijkzijdige driehoek de ontmoetingspunten van deze segmenten - het orthocentrum, deellijn, de middelloodlijn en de omtreklijn - op hetzelfde punt worden gevonden:
De belangrijkste eigenschap van gelijkzijdige driehoeken is dat ze altijd gelijkbenige driehoeken zullen zijn, aangezien gelijkbenige driehoeken worden gevormd door twee congruente zijden en gelijkzijdig door drie..
Op deze manier erfden de gelijkzijdige driehoeken alle eigenschappen van de gelijkbenige driehoek:
De som van de binnenhoeken is altijd gelijk aan 180of, en aangezien al zijn hoeken congruent zijn, zal elk van deze 60 metenof.
De som van de buitenhoeken is altijd gelijk aan 360of, daarom zal elke externe hoek 120 metenof. Dit komt omdat de interne en externe hoeken aanvullend zijn, dat wil zeggen dat ze bij het optellen altijd gelijk zijn aan 180of.
De som van de maten van twee zijden moet altijd groter zijn dan de maat van de derde zijde, dat wil zeggen a + b> c, waarbij a, b en c de maten van elke zijde zijn.
Gelijkzijdige driehoeken hebben alle drie de zijden met dezelfde maat of lengte; dat wil zeggen, ze zijn congruent. Daarom hebben we in het vorige item dat a = b = c.
Gelijkzijdige driehoeken worden ook wel gelijkzijdige driehoeken genoemd, omdat hun drie binnenhoeken congruent met elkaar zijn. Dit komt omdat alle zijden ook dezelfde maat hebben.
De omtrek van een veelhoek wordt berekend door de zijkanten op te tellen. Omdat in dit geval de gelijkzijdige driehoek al zijn zijden heeft met dezelfde maat, wordt de omtrek berekend met de volgende formule:
P = 3 kant.
Omdat de hoogte de lijn is die loodrecht op de basis staat, wordt deze in twee gelijke delen verdeeld door zich uit te strekken naar het tegenoverliggende hoekpunt. Dit is hoe twee gelijke rechthoekige driehoeken worden gevormd.
De hoogte (h) vertegenwoordigt het tegenoverliggende been (a), de helft van de zijde AC van het aangrenzende been (b) en de zijde BC vertegenwoordigt de hypotenusa (c).
Met behulp van de stelling van Pythagoras kan de waarde van de hoogte worden bepaald:
naartwee + btwee = ctwee
Waar:
naartwee = hoogte (h).
btwee = zijde b / 2.
ctwee = kant a.
Als we deze waarden in de stelling van Pythagoras vervangen en de hoogte oplossen, hebben we:
htwee + l / twee)twee ltwee
htwee + ltwee 4 = ltwee
htwee ltwee - ltwee 4
htwee = (4ltwee - ltwee 4
htwee 3ltwee 4
htwee = √ (3ltwee 4)
Als de hoek gevormd door de congruente zijden bekend is, kan de hoogte (weergegeven door een poot) worden berekend door de trigonometrische verhoudingen toe te passen.
De benen worden tegengesteld of aangrenzend genoemd, afhankelijk van de hoek die als referentie wordt genomen..
In de bovenstaande afbeelding is het been h bijvoorbeeld tegenovergesteld voor hoek C, maar grenzend aan hoek B:
Zo kan de hoogte worden berekend met:
Er zijn gevallen waarin de afmetingen van de zijden van de driehoek niet bekend zijn, maar hun hoogte en de hoeken gevormd bij de hoekpunten.
Om het gebied in deze gevallen te bepalen, is het noodzakelijk om de trigonometrische verhoudingen toe te passen.
Als we de hoek van een van de hoekpunten kennen, worden de benen geïdentificeerd en wordt de bijbehorende trigonometrische verhouding gebruikt:
Poot AB zal dus tegengesteld zijn voor hoek C, maar grenzend aan hoek A.Afhankelijk van de zijde of poot die overeenkomt met de hoogte, wordt de andere zijde vrijgemaakt om zijn waarde te verkrijgen, wetende dat in een gelijkzijdige driehoek de drie zijden altijd zullen hebben dezelfde meting.
De oppervlakte van de driehoeken wordt altijd berekend met dezelfde formule, waarbij de basis vermenigvuldigd wordt met de hoogte en gedeeld door twee:
Gebied = (b h) ÷ 2
Wetende dat de hoogte wordt gegeven door de formule:
De zijden van een gelijkzijdige driehoek ABC zijn elk 20 cm. Bereken de hoogte en oppervlakte van die veelhoek.
Om de oppervlakte van deze gelijkzijdige driehoek te bepalen, is het noodzakelijk om de hoogte te berekenen, wetende dat deze bij het tekenen de driehoek in twee gelijke rechthoekige driehoeken verdeelt.
Op deze manier kan de stelling van Pythagoras worden gebruikt om het te vinden:
naartwee + btwee = ctwee
Waar:
a = 20/2 = 10 cm.
b = hoogte.
c = 20 cm.
De gegevens worden vervangen in de stelling:
10twee + btwee = 20twee
100 cm + btwee = 400 cm
btwee = (400 - 100) cm
btwee = 300 cm
b = √ 300 cm
b = 17,32 cm.
Dat wil zeggen, de hoogte van de driehoek is gelijk aan 17,32 cm. Nu is het mogelijk om de oppervlakte van de gegeven driehoek te berekenen door in de formule te substitueren:
Gebied = (b h) ÷ 2
Gebied = (20 cm 17,32 cm) ÷ 2
Gebied = 346,40 cmtwee ÷ 2
Oppervlakte = 173,20 cmtwee.
Een andere eenvoudigere manier om de oefening op te lossen, is door de gegevens in de directe formule te vervangen door het gebied, waarbij de waarde van de hoogte ook impliciet wordt gevonden:
Bloemen worden geplant op een stuk land dat de vorm heeft van een gelijkzijdige driehoek. Als de omtrek van dat land gelijk is aan 450 m, bereken dan het aantal vierkante meters dat de bloemen zullen innemen.
Wetende dat de omtrek van een driehoek overeenkomt met de som van de drie zijden en aangezien het terrein de vorm heeft van een gelijkzijdige driehoek, zullen de drie zijden hiervan dezelfde maat of lengte hebben:
P = zijkant + zijkant + zijkant = 3 l
3 l = 450 m.
l = 450 mtr 3
l = 150 m.
Nu is het alleen nodig om de hoogte van die driehoek te berekenen.
De hoogte verdeelt de driehoek in twee congruente rechthoekige driehoeken, waarbij één been de hoogte vertegenwoordigt en de andere helft de basis. Door de stelling van Pythagoras kan de hoogte worden bepaald:
naartwee + btwee = ctwee
Waar:
naar = 150 m ÷ 2 = 75 m.
c = 150 m.
b = hoogte
De gegevens worden vervangen in de stelling:
(75 m)twee + btwee = (150 m)twee
5.625 m + btwee = 22.500 m
btwee = 22.500 m - 5.625 m
btwee = 16.875 m
b = √16.875 m
b = 129,90 m.
Het gebied dat de bloemen zullen innemen, zal dus zijn:
Gebied = b * h ÷ 2
Oppervlakte = (150 m 129,9 m) ÷ 2
Oppervlakte = (19.485 mtwee) ÷ 2
Oppervlakte = 9.742,5 mtwee
De gelijkzijdige driehoek ABC wordt gedeeld door een lijnstuk dat van het hoekpunt C naar het middelpunt D loopt, aan de andere kant (AB). Dit segment meet 62 meter. Bereken de oppervlakte en omtrek van die gelijkzijdige driehoek.
Wetende dat de gelijkzijdige driehoek wordt gedeeld door een lijnstuk dat overeenkomt met de hoogte en zo twee congruente rechthoekige driehoeken vormt, verdeelt dit op zijn beurt ook de hoek van het hoekpunt C in twee hoeken met dezelfde maat, 30of elk.
De hoogte vormt een hoek van 90of ten opzichte van segment AB, en de hoek van top A zal dan 60 metenof.
Gebruik vervolgens de hoek van 30 als referentieof, de hoogte CD wordt ingesteld als het been naast de hoek en BC als de hypotenusa.
Uit deze gegevens kan de waarde van een van de zijden van de driehoek worden bepaald met behulp van de trigonometrische verhoudingen:
Omdat in de gelijkzijdige driehoek alle zijden exact dezelfde maat of lengte hebben, betekent dit dat elke zijde van de gelijkzijdige driehoek ABC gelijk is aan 71,6 meter. Wetende dat, is het mogelijk om het gebied te bepalen:
Gebied = b * h ÷ 2
Oppervlakte = (71,6 m 62 m) ÷ 2
Oppervlakte = 4.438,6 mtwee ÷ 2
Oppervlakte = 2219,3 mtwee
De omtrek wordt gegeven door de som van de drie zijden:
P = zijkant + zijkant + zijkant = 3 l
P = 3l
P = 3 71,6 m
P = 214,8 m.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.