De niet-coplanaire vectoren zijn degenen die niet hetzelfde vliegtuig delen. Twee vrije vectoren en een punt definiëren een enkel vlak. Een derde vector kan dat vlak al dan niet delen en als dat niet het geval is, zijn het niet-coplanaire vectoren.
Niet-coplanaire vectoren kunnen niet worden weergegeven in tweedimensionale ruimtes zoals een schoolbord of vel papier, omdat sommige ervan in de derde dimensie zijn opgenomen. Om ze correct weer te geven, moet je perspectief gebruiken.
Als we naar figuur 1 kijken, bevinden alle getoonde objecten zich strikt in het vlak van het scherm, maar dankzij het perspectief kunnen onze hersenen zich een vlak (P) voorstellen dat eruit komt..
Op dat vlak (P) staan de vectoren r, s, of, terwijl de vectoren v Y w ze zitten niet in dat vliegtuig.
Daarom de vectoren r, s, of ze zijn coplanair of coplanair ten opzichte van elkaar omdat ze hetzelfde vlak (P) delen. Vectoren v Y w ze delen geen vlak met een van de andere getoonde vectoren, daarom zijn ze niet coplanair.
Artikel index
Een vlak is uniek gedefinieerd als drie punten voorkomen in een driedimensionale ruimte.
Stel dat die drie punten het punt zijn NAAR, punt B en het punt C die het vlak bepalen (P). Met deze punten is het mogelijk om twee vectoren te construeren AB = u Y AC = v die door constructie coplanair zijn met het vliegtuig (P).
Het vectorproduct (of kruisproduct) van deze twee vectoren resulteert in een derde vector loodrecht op hen en dus loodrecht op het vlak (P)
n = u X v n of Y n v n (P)
Elk ander punt dat bij het vliegtuig hoort (P) moet voldoen aan dat de vector AQ staat loodrecht op de vector n Dit is hetzelfde als zeggen dat het puntproduct (of puntproduct) van n met AQ moet nul zijn:
n AQ = 0 (*)
De vorige voorwaarde is gelijk aan te zeggen dat:
AQ of X v) = 0
Deze vergelijking zorgt ervoor dat het punt Q behoren tot het vliegtuig (P).
De bovenstaande vergelijking kan in cartesiaanse vorm worden geschreven. Hiervoor schrijven we de coördinaten van de punten NAAR, Q en de componenten van de normaalvector n
A = (a, b, c)
Q = (x, y, z)
n= (nx, ny, nz)
De componenten van AQ zijn dus:
AQ= (x-a, y-b, z-c)
De voorwaarde voor de vector AQ bevindt zich in het vliegtuig (P) is de voorwaarde (*) die nu als volgt wordt geschreven:
(nx, ny, nz) • (x-a, y-b, z-c) = 0
Berekening van het puntproduct blijft:
nx (x-a) + ny (y-b) + nz (z-b) = 0
Als het wordt ontwikkeld en herschikt, blijft het:
nx x + ny y + nz z = nx een + ny b + nz c
De vorige uitdrukking is de cartesiaanse vergelijking van een vlak (P), als functie van de componenten van een vector loodrecht op (P) en de coördinaten van een punt NAAR die behoort tot (P).
Zoals te zien is in de vorige sectie, de toestand AQ of X v) = 0 garandeert dat de vector AQ is coplanair met of Y v.
Als we bellen w naar vector AQ dan kunnen we bevestigen dat:
w, of Y v ze zijn coplanair, als en slechts als w of X v ) = 0.
Als het drievoudige product (of gemengd product) van drie vectoren verschilt van nul, zijn die drie vectoren niet-coplanair.
Ja w of X v ) ≠ 0 dan zijn de vectoren u, v en w niet coplanair.
Als de cartesische componenten van de vectoren u, v en w worden geïntroduceerd, kan de niet-coplanariteitsvoorwaarde als volgt worden geschreven:
Het drievoudige product heeft een geometrische interpretatie en vertegenwoordigt het volume van het parallellepipedum gegenereerd door de drie niet-coplanaire vectoren.
De reden is als volgt; Wanneer twee van de niet-coplanaire vectoren vectorieel worden vermenigvuldigd, wordt een vector verkregen waarvan de grootte het gebied is van het parallellogram dat ze genereren.
Als deze vector dan scalair wordt vermenigvuldigd met de derde niet-coplanaire vector, hebben we de projectie op een vector loodrecht op het vlak bepaald door de eerste twee vermenigvuldigd met het gebied dat ze bepalen..
Dat wil zeggen, we hebben de oppervlakte van het parallellogram gegenereerd door de eerste twee vermenigvuldigd met de hoogte van de derde vector.
Als je drie vectoren hebt en een ervan kan niet worden geschreven als een lineaire combinatie van de andere twee, dan zijn de drie vectoren niet-coplanair. Dat zijn drie vectoren of, v Y w zijn niet coplanair als de voorwaarde:
α of + β v + γ w = 0
Er wordt alleen aan voldaan als α = 0, β = 0 en γ = 0.
Er zijn drie vectoren
of = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) en w = (-1, 2, z)
Merk op dat de z-component van de vector w Het is niet bekend.
Zoek het bereik van waarden dat z kan aannemen op een manier die garandeert dat de drie vectoren niet hetzelfde vlak delen.
w of X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18
We stellen deze uitdrukking gelijk aan de waarde nul
21 z + 18 = 0
en we lossen z op
z = -18 / 21 = -6/7
Als de variabele z de waarde -6/7 zou hebben, zouden de drie vectoren coplanair zijn.
Dus de waarden van z die garanderen dat de vectoren niet coplanair zijn, zijn die in het volgende interval:
z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)
Zoek het volume van het parallellepipedum weergegeven in de volgende afbeelding:
Om het volume van het parallellepipedum in de figuur te vinden, zullen de Cartesiaanse componenten van drie gelijktijdige niet-coplanaire vectoren aan de oorsprong van het coördinatensysteem worden bepaald. De eerste is de vector of 4m en parallel aan de X-as:
of= (4, 0, 0) m
De tweede is de vector v in het XY-vlak van maat 3m dat 60º vormt met de X-as:
v= (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m
En de derde de vector w van 5 m en waarvan de projectie in het XY-vlak 60 ° vormt met de X-as, daarnaast vormt w 30 ° met de Z-as.
w= (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)
Nadat de berekeningen zijn uitgevoerd, hebben we: w= (1,25, 2,17, 2,5) m.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.