De onmiddellijke snelheid het wordt gedefinieerd als de onmiddellijke verandering van de verplaatsing in de tijd. Het is een concept dat grote precisie toevoegt aan de studie van beweging. En het is een vooruitgang ten opzichte van de gemiddelde snelheid, waarvan de informatie erg algemeen is.
Laten we, om de momentane snelheid te krijgen, naar een zo klein mogelijk tijdsinterval kijken. Differentiaalrekening is het perfecte hulpmiddel om dit idee wiskundig uit te drukken.
Het startpunt is de gemiddelde snelheid:
Deze limiet staat bekend als een afgeleide. In de differentiaalrekening hebben we:
))
Wanneer de beweging beperkt is tot een rechte lijn, kan de vectornotatie achterwege blijven.
Artikel index
De volgende afbeelding toont de geometrische interpretatie van het afgeleide concept: het is de helling van de lijn raaklijn naar de bocht x (t) vs. t op elk punt.
U kunt zich voorstellen hoe u de limiet kunt krijgen als punt Q beetje bij beetje dichter bij punt P komt. Er zal een tijd komen dat beide punten zo dichtbij zijn dat u de een niet van de ander kunt onderscheiden..
De lijn die ze verbindt, zal dan van secans (lijn die op twee punten snijdt) naar raaklijn gaan (lijn die de curve maar op één punt raakt). Om de momentane snelheid van een bewegend deeltje te vinden, zouden we daarom het volgende moeten hebben:
O goed:
-De helling van de raaklijn aan de curve bij P is 0. Een helling van nul betekent dat de mobiel stationair is en dat de snelheid natuurlijk 0 is.
-De helling van de lijn die de curve raakt bij P is groter dan 0. De snelheid is positief. In de bovenstaande grafiek betekent dit dat de mobiel van O af beweegt.
-De helling van de raaklijn aan de curve bij P is kleiner dan 0. De snelheid zou negatief zijn. In de bovenstaande grafiek zijn er geen dergelijke punten, maar in dit geval zou het deeltje O naderen.
-De helling van de lijn die de curve raakt, is constant op P en alle andere punten. In dit geval is de grafiek een rechte lijn en heeft de mobiel uniforme lijnbeweging MRU (de snelheid is constant).
In het algemeen is de functie v (t) het is ook een functie van tijd, die op zijn beurt een afgeleide kan hebben. Wat als het niet mogelijk was om de afgeleiden van de functies te vinden? x (t) Y v (t)?
In het geval van x (t) het kan zijn dat de helling - de momentane snelheid - abrupt van teken verandert. Of dat het onmiddellijk van nul naar een andere waarde zou gaan.
Zo ja, de grafiek x (t) het zou punten of hoeken presenteren op de plaatsen van plotselinge veranderingen. Heel anders dan het geval weergegeven in de vorige afbeelding, waarin de curve x (t) is een vloeiende curve, zonder punten, hoeken, onderbrekingen of abrupte veranderingen.
De waarheid is dat voor echte mobiele telefoons de vloeiende lijnen degene zijn die het gedrag van het object het best weergeven.
De beweging in het algemeen is vrij complex. De mobiele telefoons kunnen een tijdje worden gestopt, versnellen om uit rust te komen om snelheid te hebben en weg te gaan van het startpunt, een tijdje op snelheid te blijven, dan te remmen om weer te stoppen, enzovoort..
Ze kunnen weer opnieuw beginnen en in dezelfde richting verder gaan. Of bedien het omgekeerde en keer terug. Dit wordt gevarieerde beweging in één dimensie genoemd..
Hier zijn enkele voorbeelden van het berekenen van de momentane snelheid om het gebruik van de gegeven definities te verduidelijken:
Een deeltje beweegt langs een rechte lijn met de volgende bewegingswet:
x (t) = -t3 + 2 ttwee + 6 t - 10
Alle units zijn in het internationale systeem. Vind:
a) De positie van het deeltje op t = 3 seconden.
b) De gemiddelde snelheid in het interval tussen t = 0 s en t = 3 s.
c) De gemiddelde snelheid in het interval tussen t = 0 s en t = 3 s.
d) De momentane snelheid van het deeltje uit de vorige vraag, op t = 1 s.
a) Om de positie van het deeltje te vinden, wordt de bewegingswet (positiefunctie) geëvalueerd op t = 3:
x (3) = (-4/3) .33 + 2. 3twee + 6,3 - 10 m = -10 m
Het is geen probleem dat de positie negatief is. Het teken (-) geeft aan dat het deeltje links van de oorsprong O staat.
b) Bij de berekening van de gemiddelde snelheid zijn de eind- en beginposities van het deeltje vereist op de aangegeven tijdstippen: x (3) en x (0). De positie op t = 3 is x (3) en is bekend uit het vorige resultaat. De positie op t = 0 seconden is x (0) = -10 m.
Omdat de eindpositie gelijk is aan de beginpositie, wordt direct geconcludeerd dat de gemiddelde snelheid 0 is.
c) De gemiddelde snelheid is de verhouding tussen de afgelegde afstand en de afgelegde tijd. Nu is de afstand de module of de grootte van de verplaatsing, dus:
afstand = | x2 - x1 | = | -10 - (-10) | m = 20 m
Merk op dat de afgelegde afstand altijd positief is.
vm = 20 m / 3 s = 6,7 m / s
d) Hier is het nodig om de eerste afgeleide van de positie met betrekking tot de tijd te vinden. Vervolgens wordt het geëvalueerd voor t = 1 seconde.
x '(t) = -4 ttwee + 4 t + 6
x '(1) = -4,1twee + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s
Hieronder ziet u de grafiek van de positie van een gsm als functie van de tijd. Vind de momentane snelheid op t = 2 seconden.
Trek de raaklijn aan de curve op t = 2 seconden en bereken vervolgens de helling door twee willekeurige punten op de lijn te nemen.
In dit voorbeeld nemen we twee punten die gemakkelijk kunnen worden gevisualiseerd, waarvan de coördinaten zijn (2 s, 10 m) en de snede met de verticale as (0 s, 7 m):
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.