EEN primitief F (x) van een functie F.(x) wordt ook wel primitief of simpelweg de onbepaalde integraal van genoemde functie genoemd, indien in een bepaald interval ik, Is het waar dat F '(x) = f (x)
Laten we bijvoorbeeld de volgende functie nemen:
f (x) = 4x3
Een primitieve van deze functie is F (x) = x4, sinds het afleiden van F (x) door middel van de regel van afleiding voor de machten:
We krijgen precies f (x) = 4x3.
Dit is echter slechts een van de vele primitieve waarden van f (x), aangezien deze andere functie: G (x) = x4 + 2 is ook, omdat bij het differentiëren van G (x) met betrekking tot x, hetzelfde wordt terug verkregen f (x).
Laten we het bekijken:
Onthoud dat de afgeleide van een constante 0 is. Daarom is de term x4 je kunt elke constante toevoegen en zijn afgeleide blijft 4x3.
Er wordt geconcludeerd dat elke functie van de algemene vorm F (x) = x4 + C, waarbij C een reële constante is, dient als primitief van f (x).
Het illustratieve voorbeeld hierboven kan als volgt worden uitgedrukt:
dF (x) = 4x3 dx
De primitieve of onbepaalde integraal wordt uitgedrukt met het symbool ∫, daarom:
F (x) = ∫4x3 dx = x4 + C
Waarbij de functie f (x) = 4x3 het heet integreren, en C is de constante van integratie.
Artikel index
Het vinden van een primitief van een functie is in sommige gevallen eenvoudig als de afgeleiden goed bekend zijn. Laat bijvoorbeeld de functie f (x) = sin x, een primitieve want het is een andere functie F (x), zodat we bij het differentiëren f (x) krijgen.
Die functie kan zijn:
F (x) = - cos x
Laten we eens kijken of het waar is:
F '(x) = (- cos x)' = - (-sen x) = sin x
Daarom kunnen we schrijven:
∫sen x dx = -cos x + C
Naast het kennen van de afgeleiden, zijn er enkele basis- en eenvoudige integratieregels om de primitieve of onbepaalde integraal te vinden.
Laat k een echte constante zijn, dan:
1. - ∫kdx = k ∫dx = kx + C
twee.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Als een functie h (x) kan worden uitgedrukt als het optellen of aftrekken van twee functies, dan is de onbepaalde integraal:
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Dit is de eigenschap van lineariteit.
De heerschappij van bevoegdheden voor integralen kan het op deze manier worden ingesteld:
Voor het geval van n = -1 wordt de volgende regel gebruikt:
5. - ∫X -1 dx = ln x + C
Het is gemakkelijk aan te tonen dat de afgeleide van ln x het is precies X -1.
Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarin het onbekende als afgeleide wordt gevonden.
Nu, uit de vorige analyse, is het gemakkelijk te realiseren dat de inverse bewerking van de afgeleide de primitieve of onbepaalde integraal is.
Laat f (x) = y '(x), dat wil zeggen, de afgeleide van een bepaalde functie. We kunnen de volgende notatie gebruiken om deze afgeleide aan te duiden:
Hieruit volgt onmiddellijk dat:
dy = f (x) dx
De onbekende van de differentiaalvergelijking is de functie y (x), waarvan de afgeleide f (x) is. Om het op te lossen, is de vorige uitdrukking aan beide kanten geïntegreerd, wat overeenkomt met het toepassen van het primitieve:
∫dy = ∫f (x) dx
De linker integraal wordt opgelost door de integratieregel 1, met k = 1, waardoor het gewenste onbekende wordt opgelost:
y (x) ∫f (X) dx = F (X) + C
En aangezien C een echte constante is, moet de verklaring voldoende aanvullende informatie bevatten om de waarde van C te berekenen om te weten welke in elk geval geschikt is. begintoestand.
In de volgende sectie zullen we voorbeelden zien van de toepassing van dit alles.
Pas de integratieregels toe om de volgende primitieve of onbepaalde integralen van de gegeven functies te verkrijgen, waarbij de resultaten zoveel mogelijk worden vereenvoudigd. Het is handig om het resultaat te verifiëren door middel van afleiding.
We passen eerst regel 3 toe, aangezien de integrand de som is van twee termen:
∫ (X + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
Voor de eerste integraal is de regel van bevoegdheden van toepassing:
∫ xdx = (xtwee / 2) + C1
Regel 1 is van toepassing op de tweede integraal, waarbij k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + Ctwee
En nu worden de resultaten toegevoegd. De twee constanten zijn gegroepeerd in één, algemeen C genoemd:
∫ (X + 7) dx = (Xtwee / 2) + 7x + C
Door lineariteit wordt deze integraal opgesplitst in drie eenvoudigere integralen, waarop de machtsregel zal worden toegepast:
∫ (x3/2 + Xtwee + 6) dx = ∫x3/2 dx + ∫xtwee dx + ∫6 dx =
Merk op dat een integratieconstante verschijnt voor elke integraal, maar ze ontmoeten elkaar in een enkel gesprek C.
In dit geval is het handig om de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging toe te passen om de integrand te ontwikkelen. Vervolgens wordt de machtsregel gebruikt om elke integraal afzonderlijk te vinden, zoals in de vorige oefening.
∫ (X + 1) (3x-2) dx = ∫ (3xtwee-2x + 3x-2) dx = ∫ (3xtwee + x - 2) dx
De zorgvuldige lezer zal opmerken dat de twee centrale termen vergelijkbaar zijn, daarom worden ze verminderd voordat ze worden geïntegreerd:
∫ (X + 1) (3x-2) dx = ∫3xtwee dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x3 + (1/2) xtwee - 2x + C
Een manier om de integraal op te lossen zou zijn om de kracht te ontwikkelen, zoals werd gedaan in voorbeeld d. Omdat de exponent echter hoger is, zou het raadzaam zijn om de variabele te veranderen, zodat je niet zo lang hoeft te ontwikkelen.
De verandering van variabele is als volgt:
u = x + 7
Deze uitdrukking aan beide kanten afleiden:
du = dx
De integraal wordt getransformeerd naar een eenvoudigere met de nieuwe variabele, die wordt opgelost met de machtsregel:
∫ (x + 7)5 dx = ∫ u5 du = (1/6) u6 + C
Ten slotte wordt de wijziging geretourneerd om terug te keren naar de oorspronkelijke variabele:
∫ (x + 7)5 dx = (1/6) (x + 7)6 + C
Een deeltje is aanvankelijk in rust en beweegt langs de x-as. Zijn versnelling voor t> 0 wordt gegeven door de functie a (t) = cos t. Het is bekend dat op t = 0, de positie x = 3 is, allemaal in internationale systeemeenheden. Er wordt gevraagd om de snelheid v (t) en de positie x (t) van het deeltje te vinden.
Omdat versnelling de eerste afgeleide is van snelheid met betrekking tot tijd, hebben we de volgende differentiaalvergelijking:
een (t) = v '(t) = cos t
Het volgt dat:
v (t) = ∫ cos t dt = zonde t + C1
Aan de andere kant weten we dat de snelheid op zijn beurt de afgeleide is van de positie, daarom integreren we opnieuw:
X (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (zonde t + C1) dt = ∫sen t dt + ∫C1 dt = - cos t + C1 t + Ctwee
De integratieconstanten worden bepaald op basis van de informatie in de verklaring. Ten eerste zegt het dat het deeltje aanvankelijk in rust was, dus v (0) = 0:
v (0) = zonde 0 + C1 = 0
C1 = 0
Dan hebben we dat x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C1 0 + Ctwee = - 1 + Ctwee = 3 → Ctwee = 3 + 1 = 4
De snelheids- en positiefuncties zijn absoluut als volgt:
v (t) = zonde t
x (t) = - cos t + 4
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.