De eerste graads of lineaire vergelijkingen met een onbekende zijn die die kunnen worden uitgedrukt als de som van twee termen, als volgt:
bijl + b = 0
Waar a en b, met naar ≠ 0, zijn reële getallen R of ook complex C.Om het op te lossen, worden termen getransponeerd, wat betekent dat termen van de ene kant van de gelijkheid naar de andere moeten worden veranderd.
Om het onbekende op te lossen, wordt de term + b getransponeerd, die naar de rechterkant van de gelijkheid met veranderd teken moet gaan.
ax = -b
Dan wordt de waarde van x gewist, als volgt:
x = - b / a
Als voorbeeld gaan we de volgende vergelijking oplossen:
6x - 5 = 4
We transponeren de term -5 naar de rechterkant met een veranderd teken:
6x = 4 + 5
Dit komt overeen met het toevoegen van 5 aan beide zijden van de oorspronkelijke vergelijking:
6x - 5 + 5 = 4 + 5 → 6x = 9
En nu lossen we de onbekende "x" op:
x = 9/6 = 3/2
Wat gelijk staat aan het delen van beide zijden van de gelijkheid door 6. We kunnen dus het volgende gebruiken om de oplossing te vinden:
-Dezelfde hoeveelheid kan worden opgeteld of afgetrokken van beide zijden van de gelijkheid in een vergelijking, zonder deze te wijzigen.
-Je kunt ook alle termen zowel links als rechts van de vergelijking met hetzelfde aantal vermenigvuldigen (of delen).
-En als beide leden van een vergelijking tot dezelfde macht worden verheven, verandert de gelijkheid ook niet.
Artikel index
De oplossing van een vergelijking van de eerste graad wordt ook wel de wortel genoemd. Het is de waarde van x die de oorspronkelijke uitdrukking omzet in een gelijkheid. Bijvoorbeeld in:
5x = 8x - 15
Als we x = 5 in deze vergelijking vervangen, krijgen we:
5⋅5 = 8⋅5 - 15
25 = 40 - 15
25 = 25
Aangezien lineaire vergelijkingen van de eerste graad in vele vormen voorkomen, die soms niet voor de hand liggend zijn, is er een reeks algemene regels die verschillende algebraïsche manipulaties omvatten om de waarde van het onbekende te vinden:
-Allereerst, als er aangegeven bewerkingen zijn, moeten deze worden uitgevoerd.
-Groeperingssymbolen zoals haakjes, vierkante haken en accolades, indien aanwezig, moeten worden verwijderd met behoud van de juiste tekens.
-De termen zijn omgezet om al degenen die het onbekende bevatten aan de ene kant van de gelijkheid te plaatsen, en degenen die het niet bevatten aan de andere kant..
-Vervolgens worden alle soortgelijke termen verkleind om bij het formulier te komen ax = -b.
-En de laatste stap is om het onbekende op te ruimen.
De eerstegraads vergelijking die aan het begin is opgeworpen, kan worden afgeleid uit de vergelijking van de lijn y = mx + c, waardoor y = 0. De resulterende waarde van x komt overeen met het snijpunt van de lijn met de horizontale as.
In de volgende afbeelding zijn er drie regels. Beginnend met de groene lijn, waarvan de vergelijking is:
y = 2x - 6
Door y = 0 te maken in de vergelijking van de lijn, wordt de vergelijking van de eerste graad verkregen:
2x - 6 = 0
Wiens oplossing is x = 6/2 = 3. Als we nu de grafiek gedetailleerd maken, is het gemakkelijk te beseffen dat de lijn in feite de horizontale as snijdt bij x = 3.
De blauwe lijn snijdt de x-as op x = 5, wat de oplossing is voor de vergelijking -x + 5 = 0. Ten slotte snijdt de lijn waarvan de vergelijking y = 0,5x + 2 is, de x-as op x = - 4 , wat gemakkelijk te zien is uit de vergelijking van de eerste graad:
0,5 x + 2 = 0
x = 2 / 0,5 = 4
Dit zijn degenen in wiens termen er geen noemers zijn, bijvoorbeeld:
21 - 6x = 27 - 8x
Uw oplossing is:
-6x + 8x = 27 - 21
2x = 6
x = 3
Deze vergelijkingen bevatten minstens één andere noemer dan 1. Om ze op te lossen, is het raadzaam om alle termen te vermenigvuldigen met het kleinste gemene veelvoud (LCM) van de noemers, om ze te elimineren.
De volgende vergelijking is van het fractionele type:
Omdat deze getallen klein zijn, is het niet moeilijk om te zien dat m.c.m (6, 8,12) = 24. Dit resultaat wordt gemakkelijk verkregen door de getallen uit te drukken als een product van priemgetallen of hun machten, laten we eens kijken:
6 = 3,2
8 = 23
12 = 2twee⋅3
Het kleinste gemene veelvoud wordt bepaald door de gemeenschappelijke en ongebruikelijke factoren 6, 8 en 12 te vermenigvuldigen met hun grootste exponent, en vervolgens:
lcm (6,8,12) = 23 ⋅3 = 8 × 3 = 24
Omdat we het kleinste gemene veelvoud hebben, moet het worden vermenigvuldigd met elk van de termen van de vergelijking:
4 (x + 5) -3 (2x + 3) = 2 (1-5x)
We maken gebruik van het distributieve eigendom:
4x + 20 - 6x -9 = 2 - 10x
Alle termen die de onbekende 'x' bevatten, zijn gegroepeerd aan de linkerkant van de gelijkheid, waarbij de onafhankelijke of numerieke termen aan de rechterkant blijven:
4x - 6x + 10 x = 2 +9 - 20
8x = -9
x = - 9/8
Het zijn lineaire vergelijkingen met een onbekende, die echter vergezeld gaan van letterlijke coëfficiënten (letters). Deze letters worden op dezelfde manier behandeld als cijfers. Een voorbeeld van een letterlijke vergelijking van de eerste graad is:
-3ax + 2a = 5x - b
Deze vergelijking wordt op dezelfde manier opgelost alsof de onafhankelijke termen en coëfficiënten numeriek waren:
-3ax - 5x = - b - 2a
Factoring van de onbekende "x":
x (-3a - 5) = - b - 2a
x = (- b - 2a) / (-3a - 5) → x = (2a + b) / (3a + 5)
Stelsels vergelijkingen bestaan uit een reeks vergelijkingen met twee of meer onbekenden. De oplossing van het systeem bestaat uit waarden die tegelijkertijd aan de vergelijkingen voldoen en om deze eenduidig te bepalen moet er voor elke onbekende een vergelijking zijn..
De algemene vorm van een systeem van m lineaire vergelijkingen met n onbekenden is:
naarelfX1 + naar12Xtwee +… naar1nXn = b1
naareenentwintigX1 + naar22Xtwee +… naar2nXn = btwee
naarm1X1 + naarm2Xtwee +… naarmnXn = bm
Als het systeem een oplossing heeft, zou dat zo zijn compatibel bepaald, wanneer er een oneindige reeks waarden is die eraan voldoen onbepaald compatibel, en tenslotte als het geen oplossing heeft, dan is het dat wel onverenigbaar.
Bij het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen worden verschillende methoden gebruikt: reductie, substitutie, egalisatie, grafische methoden, Gauss-Jordan-eliminatie en het gebruik van determinanten behoren tot de meest gebruikte. Maar er zijn andere algoritmen om tot de oplossing te komen, handiger voor systemen met veel vergelijkingen en onbekenden.
Een voorbeeld van een stelsel lineaire vergelijkingen met twee onbekenden is:
8x - 5 = 7y - 9
6x = 3j + 6
De oplossing van dit systeem wordt later in de sectie opgeloste oefeningen gepresenteerd..
De absolute waarde van een reëel getal is de afstand tussen de locatie op de getallenlijn en 0 op de getallenlijn. Omdat het een afstand is, is de waarde ervan altijd positief.
De absolute waarde van een getal wordt aangegeven door de modulobalken: │x│. De absolute waarde van een positief of negatief getal is altijd positief, bijvoorbeeld:
│ + 8│ = 8
│-3│ = 3
In een vergelijking met een absolute waarde bevindt het onbekende zich tussen modulusbalken. Laten we eens kijken naar de volgende eenvoudige vergelijking:
│x│ = 10
Er zijn twee mogelijkheden, de eerste is dat x een positief getal is, in welk geval we hebben:
x = 10
En de andere mogelijkheid is dat x een negatief getal is, in dit geval:
x = -10
Dit zijn de oplossingen van deze vergelijking. Laten we nu naar een ander voorbeeld kijken:
│x + 6│ = 11
Het bedrag in de balken kan positief zijn, dus:
x + 6 = 11
x = 11-6 = 5
Of het kan negatief zijn. In dat geval:
-(x + 6) = 11
-x - 6 = 11 ⇒ -x = 11 + 6 = 17
En de waarde van het onbekende is:
x = -17
Deze vergelijking van de absolute waarde heeft daarom twee oplossingen: x1 = 5 en xtwee = -17. We kunnen controleren of beide oplossingen leiden tot een gelijkheid in de oorspronkelijke vergelijking:
│5 + 6│ = 11
│11│ = 11
Y
│-17 + 6│ = 11
│-11│ = 11
Los het volgende stelsel lineaire vergelijkingen op met twee onbekenden:
8x - 5 = 7y -9
6x = 3j + 6
Zoals voorgesteld, is dit systeem ideaal voor het gebruik van de substitutiemethode, aangezien in de tweede vergelijking het onbekende X is bijna klaar voor inklaring:
x = (3j + 6) / 6
En het kan onmiddellijk worden vervangen door de eerste vergelijking, die dan een eerstegraadsvergelijking wordt met onbekende "y":
8 [(3y + 6) / 6] - 5 = 7y - 9
De noemer kan worden verwijderd door elke term met 6 te vermenigvuldigen:
6. 8⋅ [(3y + 6) / 6] - 6,5 = 6,7y- 6. 9
8⋅ (3j + 6) - 30 = 42j - 54
Het verdelende vermogen in de eerste termijn toepassen op het recht van de gelijkheid:
24y + 48-30 = 42y - 54 ⇒ 24y + 18 = 42y - 54
De vergelijking kan worden vereenvoudigd, aangezien alle coëfficiënten veelvouden zijn van 6:
4j + 3 = 7j - 9
-3y = -12
y = 4
Met dit resultaat gaan we naar de opruiming van x:
x = (3y +6) / 6 → x = (12 + 6) / 6 = 3
Los de volgende vergelijking op:
Producten verschijnen in deze vergelijking en volgens de instructies die aan het begin zijn gegeven, moeten ze eerst worden ontwikkeld:
3x - 10x +14 = 5x + 36x + 12
Vervolgens worden alle termen die de onbekenden bevatten naar de linkerkant van de gelijkheid gebracht en naar de rechterkant staan de onafhankelijke termen:
3x - 10x - 5x - 36x = 12 - 14
-48x = -2
x = 1/24
Als je de drie binnenhoeken van een driehoek optelt, krijg je 180º. De majeur overschrijdt de mineur met 35 °, en de laatste overschrijdt op zijn beurt het verschil tussen de majeur en het medium met 20 °. Wat zijn de invalshoeken?
We noemen "x" de grootste hoek, "y" de middelste en "z" de kleinste. Wanneer de verklaring bevestigt dat de som van hen 180 ° is, kan het worden geschreven:
x + y + z = 180
Dan weten we dat het grotere groter is dan het kleinere met 35 °, we kunnen dit als volgt schrijven:
x = z + 35
Ten slotte overschrijdt de kleinste het verschil tussen de grootste en de middelste met 20º:
z = x - y + 20
We hebben een systeem van 3 vergelijkingen en 3 onbekenden:
x + y + z = 180
x = z + 35
z = x - y + 20
Oplossen voor z uit de eerste vergelijking die we hebben:
z = 180 - x - y
Passend bij de derde:
180 - x - y = x - y + 20
De onbekenden zoals altijd aan de linkerkant doorgeven:
-X - Y - X + Y = 20 - 180
De "y" wordt geannuleerd en blijft:
-2x = - 160
x = 80º
Uit de tweede vergelijking vinden we de waarde van z:
z = x - 35 = 80 - 35 = 45º
En de waarde van y wordt gevonden vanaf de eerste of derde:
y = 180 - x - z = 180 - 80 - 45 = 55º
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.