De Atoommodel van Dirac-Jordan is de relativistische generalisatie van de Hamiltoniaanse operator in de vergelijking die de kwantumgolffunctie van het elektron beschrijft. In tegenstelling tot het vorige model, dat van Schrodinger, is het niet nodig om de spin op te leggen door middel van het Pauli-uitsluitingsprincipe, omdat het van nature lijkt.
Bovendien bevat het Dirac-Jordan-model relativistische correcties, de spin-baan-interactie en de Darwin-term, die de fijne structuur van de elektronische niveaus van het atoom verklaren..
Vanaf 1928 trachtten de wetenschappers Paul A. M. Dirac (1902-1984) en Pascual Jordan (1902-1980) de door Schrodinger ontwikkelde kwantummechanica te veralgemenen, door Einsteins correcties van de speciale relativiteitstheorie op te nemen..
Dirac vertrekt van de Schrodinger-vergelijking, die bestaat uit een differentiaaloperator, een Hamiltoniaan genaamd, die werkt op een functie die bekend staat als de elektronengolffunctie. Schrodinger hield echter geen rekening met de relativistische effecten.
De oplossingen van de golffunctie stellen ons in staat om de gebieden te berekenen waar met een zekere mate van waarschijnlijkheid het elektron rond de kern zal worden gevonden. Deze regio's of zones worden genoemd orbitalen en zijn afhankelijk van bepaalde discrete kwantumgetallen, die de energie en het impulsmoment van het elektron bepalen.
Artikel index
In kwantummechanische theorieën, of ze nu relativistisch zijn of niet, is er geen concept van banen, aangezien noch de positie, noch de snelheid van het elektron tegelijkertijd kan worden gespecificeerd. En bovendien leidt het specificeren van een van de variabelen tot totale onnauwkeurigheid in de andere..
De Hamiltoniaan van zijn kant is een wiskundige operator die inwerkt op de kwantumgolffunctie en is opgebouwd uit de energie van het elektron. Een vrij elektron heeft bijvoorbeeld de totale energie E die afhangt van zijn lineaire momentum p dus:
E = (ptwee) / 2m
Om de Hamiltoniaan te construeren, gaan we uit van deze uitdrukking en substituut p door de kwantumoperator voor momentum:
p = -i ħ ∂ / ∂r
Het is belangrijk op te merken dat de termen p Y p zijn verschillend, aangezien de eerste het momentum is en de andere de differentiële operator geassocieerd met momentum.
Bovendien is i de imaginaire eenheid en ħ de constante van Planck gedeeld door 2π, op deze manier wordt de Hamiltoniaanse operator H van het vrije elektron verkregen:
H = (ħtwee/ 2m) ∂twee / rtwee
Om de Hamiltoniaan van het elektron in het atoom te vinden, tel je de interactie van het elektron met de kern op:
H = (ħ2 / 2m) ∂twee / rtwee - eΦ (r)
In de vorige uitdrukking -e is de elektrische lading van het elektron en Φ (r) is de elektrostatische potentiaal geproduceerd door de centrale kern.
Nu werkt de operator H op de golffunctie ψ volgens de Schrodinger-vergelijking, die als volgt is geschreven:
H ψ = (ik ħ ∂ / ∂t) ψ
Eerste postulaat: De relativistische golfvergelijking heeft dezelfde structuur als de Schrodinger-golfvergelijking, wat verandert is de H:
H ψ = (ik ħ ∂ / ∂t) ψ
Tweede postulaat: De Hamiltoniaanse operator is opgebouwd uitgaande van de relatie tussen energie en momentum van Einstein, die als volgt is geschreven:
E = (mtwee c4 + ptwee ctwee1/2
In de vorige relatie, als het deeltje momentum p = 0 heeft, dan hebben we de beroemde vergelijking E = mctwee die de rustenergie van een deeltje met massa m relateert aan de lichtsnelheid c.
Derde postulaat: om de Hamiltoniaanse operator te verkrijgen, wordt dezelfde kwantiseringsregel gebruikt die in de Schrodinger-vergelijking wordt gebruikt:
p = -i ħ ∂ / ∂r
In het begin was het niet duidelijk hoe om te gaan met deze differentiaaloperator die handelde binnen een vierkantswortel, dus Dirac ging op zoek naar een lineaire Hamiltoniaanse operator op de momentumoperator en van daaruit ontstond zijn vierde postulaat.
Vierde postulaat: om de vierkantswortel in de relativistische energieformule te verwijderen, stelde Dirac de volgende structuur voor E voortwee
Het is natuurlijk nodig om de alfa-coëfficiënten (α0, α1, α2, α3) te bepalen om dit waar te maken.
In zijn compacte vorm wordt de Dirac-vergelijking beschouwd als een van de mooiste wiskundige vergelijkingen ter wereld:
En dat is wanneer het duidelijk wordt dat de constante alfa's geen scalaire grootheden kunnen zijn. De enige manier waarop aan de gelijkheid van het vierde postulaat wordt voldaan, is dat het 4 × 4 constante matrices zijn, die bekend staan als Dirac-matrices
Er wordt onmiddellijk opgemerkt dat de golffunctie niet langer een scalaire functie is en een viercomponentenvector wordt genaamd spinor
Om het atoommodel te verkrijgen, is het nodig om van de vergelijking van het vrije elektron naar die van het elektron in het elektromagnetische veld dat door de atoomkern wordt geproduceerd, te gaan. Met deze interactie wordt rekening gehouden door het scalaire potentieel Φ en het vectorpotentiaal op te nemen NAAR in de Hamiltoniaan:
De golffunctie (spinor) die resulteert uit het incorporeren van deze Hamiltoniaan heeft de volgende kenmerken:
- Het voldoet aan de speciale relativiteitstheorie, omdat het rekening houdt met de intrinsieke energie van het elektron (eerste term van de relativistische Hamiltoniaan)
- Het heeft vier oplossingen die overeenkomen met de vier componenten van spinor
- De eerste twee oplossingen komen overeen met spin + ½ en de andere met spin - ½
- Ten slotte voorspellen de andere twee oplossingen het bestaan van antimaterie, aangezien ze overeenkomen met die van positronen met tegengestelde spins..
Het grote voordeel van de Dirac-vergelijking is dat de correcties op de basis Schrodinger Hamiltoniaan H (o) kunnen worden opgesplitst in verschillende termen die we hieronder zullen laten zien:
In de vorige uitdrukking is V de scalaire potentiaal, aangezien de vectorpotentiaal NAAR is nul als wordt aangenomen dat het centrale proton stationair is en daarom niet verschijnt.
De reden dat de Dirac-correcties op de Schrodinger-oplossingen in de golffunctie subtiel zijn. Ze komen voort uit het feit dat de laatste drie termen van de gecorrigeerde Hamiltoniaan allemaal worden gedeeld door de snelheid c van het licht in het kwadraat, een immens getal, waardoor deze termen numeriek klein zijn..
Met behulp van de Dirac-Jordan-vergelijking vinden we correcties op het energiespectrum van het elektron in het waterstofatoom. Correcties voor energie in atomen met meer dan één elektron in geschatte vorm worden ook gevonden via een methodologie die bekend staat als perturbatietheorie..
Evenzo maakt het Dirac-model het mogelijk om de fijne structuurcorrectie in waterstofenergieniveaus te vinden..
Nog subtielere correcties zoals de hyperfijne structuur en de Lamb-shift worden echter verkregen uit meer geavanceerde modellen zoals kwantumveldentheorie, die precies werd geboren door de bijdragen van het Dirac-model.
De volgende afbeelding laat zien hoe de relativistische correcties van Dirac op energieniveaus eruit zien:
Oplossingen voor de Dirac-vergelijking voorspellen bijvoorbeeld correct een waargenomen verschuiving op niveau 2s. Het is de bekende fijne structuurcorrectie in de Lyman-alpha-lijn van het waterstofspectrum (zie figuur 3).
Overigens is de fijne structuur de naam in de atoomfysica voor de verdubbeling van de lijnen van het emissiespectrum van atomen, wat een direct gevolg is van elektronische spin..
Atomic de Broglie-model.
Chadwick Atomic Model.
Atoommodel van Heisenberg.
Perrin's atomaire model.
Thomson's atomaire model.
Atoommodel van Dalton.
Het atomaire model van Schrödinger.
Atoommodel van Democritus.
Atoommodel van Leucippus.
Bohr atomair model.
Huidig atomair model.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.