Demonstratie van circulaire permutaties, voorbeelden, opgeloste oefeningen

De circulaire permutaties het zijn verschillende soorten groeperingen van alle elementen van een set, wanneer deze in cirkels moeten worden gerangschikt. Bij dit type permutatie is de volgorde van belang en worden de elementen niet herhaald.

Stel dat u het aantal verschillende arrays van de cijfers één tot en met vier wilt weten, waarbij u elk getal op een van de hoekpunten van een ruit plaatst. Dit zouden in totaal 6 arrangementen zijn:

Het moet niet worden verward dat de nummer één zich in alle gevallen als een vaste positie in de bovenste positie van de ruit bevindt. Circulaire permutaties worden niet veranderd door de rotatie van de array. De volgende zijn een enkele of dezelfde permutatie:

Artikel index

• 1 Demonstratie en formules
• 2 voorbeelden
  • 2.1 Voorbeeld 1
  • 2.2 Voorbeeld 2
• 3 Opgeloste oefeningen
  • 3.1 - Oefening 1
  • 3.2 - Oefening 2
• 4 referenties

Demo en formules

In het voorbeeld van de verschillende 4-cijferige cirkelvormige arrays die zich op de hoekpunten van een ruit bevinden, kan het aantal arrays (6) als volgt worden gevonden:

1- Elk van de vier cijfers wordt als startpunt genomen op een van de hoekpunten en gaat verder naar het volgende hoekpunt. (het maakt niet uit of het met de klok mee of tegen de klok in wordt gedraaid)

2- Er zijn 3 opties over om het tweede hoekpunt te selecteren, daarna zijn er 2 opties om het derde hoekpunt te selecteren en er is natuurlijk nog maar één selectieoptie over voor het vierde hoekpunt.

3- Het aantal cirkelvormige permutaties, aangeduid met (4 - 1) P (4 - 1), wordt dus verkregen door het product van de selectie-opties in elke positie:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 verschillende 4-cijferige cirkelvormige arrays.

Over het algemeen is het aantal circulaire permutaties dat kan worden bereikt met alle n elementen van een set:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (N - 1) (n - 2)… (2) (1)

Merk op dat (n - 1)! staat bekend als n faculteit en verkort het product van alle getallen van het getal (n - 1) tot het getal één, beide inbegrepen.

Voorbeelden

voorbeeld 1

Op hoeveel verschillende manieren moeten 6 mensen aan een ronde tafel zitten??

U wilt het aantal verschillende manieren vinden waarop 6 personen rond een ronde tafel kunnen zitten.

Aantal manieren om te zitten = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Aantal manieren om te zitten = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 verschillende manieren

Voorbeeld 2

Op hoeveel verschillende manieren hebben 5 mensen om zichzelf op de hoekpunten van een vijfhoek te plaatsen??

Er wordt gezocht naar het aantal manieren waarop 5 personen in elk van de hoekpunten van een vijfhoek kunnen worden gelokaliseerd.

Aantal manieren om zichzelf te lokaliseren = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Aantal manieren om te worden gevonden = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 verschillende manieren

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Een juwelier verwerft 12 verschillende edelstenen om ze te plaatsen in de punten van de uren van een klok die hij aan het voorbereiden is namens het koninklijk huis van een Europees land.

a) Hoeveel verschillende manieren heeft ze om de stenen op de klok te rangschikken?

b) Hoeveel verschillende vormen heeft het als de steen die naar 12 uur gaat uniek is?

c) Hoeveel verschillende vormen als de 12-uursteen uniek is en de stenen van de andere drie windstreken, 3, 6 en 9 uur; er zijn drie specifieke stenen die kunnen worden uitgewisseld, en de rest van de uren wordt toegewezen aan de rest van de stenen?

Oplossingen

a) Er wordt gevraagd naar het aantal manieren waarop alle stenen aan de omtrek van de klok kunnen worden gerangschikt; dat wil zeggen, het aantal circulaire arrangementen waarbij alle beschikbare stenen betrokken zijn.

Aantal arrangementen in de klok = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Aantal fixes op de klok = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Aantal arrangementen op de klok = 39976800 verschillende vormen

b) Hij vraagt ​​zich af hoeveel verschillende manieren van ordenen er zijn, wetende dat de steen van de 12-uurshandgreep uniek en vast is; dat wil zeggen, het aantal cirkelvormige arrangementen met betrekking tot de resterende 11 stenen.

Aantal arrangementen in de klok = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Aantal fixes op de klok = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Aantal arrangementen op de klok = 3.628.800 verschillende vormen

c) Ten slotte wordt gezocht naar het aantal manieren om alle stenen te ordenen, behalve de steen van 12 uur die is bevestigd, de stenen van 3, 6 en 9 die 3 stenen hebben om onder hen te verdelen; dat wil zeggen, 3! rangschikkingsmogelijkheden en het aantal cirkelvormige rangschikkingen met de overige 8 stenen.

Aantal arrangementen in de klok = 3! * [(8-1) P (8-1)] = 3! * (8-1)!

Aantal arrangementen in de klok = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Aantal arrangementen op de klok = 241920 verschillende vormen

- Oefening 2

De stuurgroep van een bedrijf bestaat uit 8 leden die vergaderen aan een ovale tafel.

a) Hoeveel verschillende arrangementen rond de tafel heeft de commissie??

b) Stel dat de voorzitter in een commissiearrangement aan het hoofd van de tafel zit, hoeveel verschillende arrangementen heeft de rest van de commissie??

c) Veronderstel dat de vice-president en de secretaris aan de zijde van de president zitten in eender welke regeling van de commissie.?

Oplossingen

a) We willen het aantal verschillende manieren vinden om de 12 leden van de commissie rond de ovale tafel te ordenen.

Aantal commissieregelingen = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Aantal commissieregelingen = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Aantal commissieregelingen = 39976800 verschillende formulieren

b) Aangezien de commissievoorzitter zich op een vaste positie bevindt, wordt gezocht naar het aantal manieren om de resterende 11 commissieleden rond de ovale tafel te ordenen.

Aantal commissieregelingen = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Aantal commissieregelingen = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Aantal commissieregelingen = 3.628.800 verschillende formulieren

c) De president bevindt zich op een vaste positie en aan de zijkanten bevinden zich de vice-president en de secretaris met twee arrangementen: vice-president aan de rechterkant en secretaris aan de linkerkant of vice-president aan de linkerkant en secretaris aan de rechterkant. Dan wil je het aantal verschillende manieren vinden om de 9 overgebleven leden van de commissie rond de ovale tafel te ordenen en te vermenigvuldigen met de 2 vormen van arrangementen die de vice-president en de secretaris hebben..

Aantal commissieregelingen = 2 * [(9-1) P (9-1)] = 2 * [(9-1)!]

Aantal commissieregelingen = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Aantal commissieregelingen = 80640 verschillende vormen

Referenties

1. Boada, A. (2017). Gebruik van permutatie met herhaling als het aanleren van experimenten. Vivat Academia Magazine. Opgehaald van researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Waarschijnlijkheid en statistieken. Toepassingen en methoden. McGraw-Hill / Interamericana de México S. A. de C. V.
3. Glas, G.; Stanley, J. (1996). Statistische methoden die niet worden toegepast op de sociale wetenschappen. Prentice Hall Hispanoamericana S. A.
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistieken. Vierde ed. McGraw-Hill / Interamericana de México S. A.
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ja, Ka. (2007). Waarschijnlijkheid en statistiek voor ingenieurs en wetenschappers. Achtste ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistieken toegepast op zaken en economie. Derde ed. McGraw-Hill / Interamericana S. A.
7. Wikipedia. (2019). Permutatie. Opgehaald van en.wikipedia.org.