De associatief eigendom van de som vertegenwoordigt het associatieve karakter van de sombewerking in verschillende wiskundige verzamelingen. Daarin zijn drie (of meer) elementen van deze sets gerelateerd, a, b en c genoemd, zodat het altijd waar is:
een + (b + c) = (a + b) + c
Op deze manier wordt gegarandeerd dat, ongeacht de manier van groeperen om de bewerking uit te voeren, het resultaat hetzelfde is.
Maar er moet worden opgemerkt dat de associatieve eigenschap niet synoniem is met de commutatieve eigenschap. Dat wil zeggen, we weten dat de volgorde van de toevoegingen de som niet verandert of dat de volgorde van de factoren het product niet verandert. Dus voor de som kan het als volgt worden geschreven: a + b = b + a.
In de associatieve eigenschap is het echter anders, aangezien de volgorde van de toe te voegen elementen behouden blijft en welke wijzigingen de bewerking is die als eerste wordt uitgevoerd. Wat betekent dat het niet uitmaakt om eerst (b + c) toe te voegen en aan dit resultaat a toe te voegen, dan om a met b op te tellen en aan het resultaat c toe te voegen.
Veel belangrijke bewerkingen zoals optellen zijn associatief, maar niet allemaal. Bij het aftrekken van reële getallen komt het bijvoorbeeld voor dat:
een - (b - c) ≠ (a - b) - c
Als a = 2, b = 3, c = 1, dan:
2- (3-1) ≠ (2-3) - 1
0 ≠ -2
Artikel index
Net als bij optellen, stelt de associatieve eigenschap van vermenigvuldiging dat:
een ˟ (b ˟ c) = (een ˟ b) ˟ c
In het geval van de reeks reële getallen is het gemakkelijk te verifiëren dat dit altijd het geval is. Als we bijvoorbeeld de waarden a = 2, b = 3, c = 1 gebruiken, hebben we:
twee (3 1) = (2 3) 1 → 2 3 = 6 1
6 = 6
Reële getallen vervullen de associatieve eigenschap van zowel optellen als vermenigvuldigen. Aan de andere kant is in een andere set, zoals die van vectoren, de som associatief, maar het kruisproduct of vectorproduct niet..
Een voordeel van bewerkingen waarbij aan de associatieve eigenschap wordt voldaan, is dat ze op de meest gemakkelijke manier kunnen worden gegroepeerd. Dit maakt het oplossen veel gemakkelijker..
Stel dat er in een kleine bibliotheek 3 planken zijn met elk 5 planken. In elke plank zijn er 8 boeken. Hoeveel boeken zijn er in totaal?
We kunnen de bewerking als volgt uitvoeren: totaal aantal boeken = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 boeken.
Of zo: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 boeken.
-In de verzamelingen van natuurlijke, gehele, rationele, reële en complexe getallen is aan de associatieve eigenschap van optellen en vermenigvuldigen voldaan.
-Voor polynomen gelden ook bij deze bewerkingen.
-In het geval van bewerkingen van aftrekken, delen en machtsverheffen, wordt de associatieve eigenschap niet vervuld, noch in reële getallen, noch in polynomen.
-In het geval van matrices geldt de associatieve eigenschap voor optellen en vermenigvuldigen, hoewel in het laatste geval niet aan commutativiteit wordt voldaan. Dit betekent dat, gegeven de matrices A, B en C, het waar is dat:
(EEN x B) x C = EEN x (B x C)
Maar ... A x B ≠ B x A
Vectoren vormen een andere set dan reële getallen of complexe getallen. De bewerkingen die voor de set vectoren zijn gedefinieerd, zijn enigszins verschillend: er zijn optellen, aftrekken en drie soorten producten.
De som van vectoren vervult de associatieve eigenschap, evenals getallen, polynomen en matrices. Wat betreft de scalaire producten, scalair voor vector en kruising die tussen vectoren worden gemaakt, deze laatste voldoet er niet aan, maar het scalaire product, een ander soort bewerking tussen vectoren, voldoet eraan, rekening houdend met het volgende:
-Het product van een scalair en een vector resulteert in een vector.
-En als twee vectoren scalair worden vermenigvuldigd, ontstaat er een scalair.
Daarom, gezien de vectoren v, of Y w, en bovendien een scalaire λ, is het mogelijk om te schrijven:
-Som van vectoren: v +of + w v + of) + w
-Scalair product: λ (v of ) = (λv of
Dat laatste is mogelijk dankzij v of resulteert in een scalair, en λv het is een vector.
Echter:
v (of w ) (v of)w
Deze applicatie is erg interessant, omdat zoals eerder gezegd de associatieve eigenschap helpt om bepaalde problemen op te lossen. De som van monomialen is associatief en dit kan worden gebruikt om te bepalen wanneer een voor de hand liggende gemeenschappelijke factor niet op het eerste gezicht verschijnt.
Stel dat u vraagt om rekening te houden met: X3 + tweeXtwee + 3X +6. Dit polynoom heeft geen gemeenschappelijke factor, maar laten we eens kijken wat er gebeurt als het als volgt gegroepeerd is:
X3 + 2xtwee + 3x +6 = (x3 + 2xtwee) + (3x +6)
Het eerste haakje heeft een gemeenschappelijke factor Xtwee
X3 + tweeXtwee Xtwee (x + 2)
In de tweede is de gemeenschappelijke factor 3:
3x +6 = 3 (x + 2)
Dan:
X3 + tweeXtwee + 3X +6 = Xtwee(x + 2) + 3 (x + 2)
Nu is er een duidelijke gemeenschappelijke factor, namelijk x + 2
Xtwee(x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (xtwee+3)
Een schoolgebouw heeft 4 verdiepingen en elk heeft 12 klaslokalen met daarin 30 bureaus. Hoeveel bureaus heeft de school in totaal?
Dit probleem wordt opgelost door de associatieve eigenschap van vermenigvuldiging toe te passen, laten we eens kijken:
Totaal aantal bureaus = 4 verdiepingen x 12 klaslokalen / verdieping x 30 bureaus / klaslokaal = (4 x 12) x 30 bureaus = 48 x 30 = 1440 bureaus.
Of liever: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 bureaus
Gegeven de veeltermen:
EEN (x) = 5x3 + 2xtwee -7x + 1
B (x) = x4 +6x3 -5x
C (x) = -8xtwee +3x -7
Pas de associatieve eigenschap van optellen toe om A (x) + B (x) + C (x) te vinden.
U kunt de eerste twee groeperen en de derde aan het resultaat toevoegen:
A (x) + B (x) = [5x3 + 2xtwee -7x + 1] + [x4 +6x3 -5x] = x4 + 11x3+ 2xtwee -12x +1
Onmiddellijk wordt het polynoom C (x) toegevoegd:
[X4 + 11x3+ 2xtwee -12x +1] + [-8xtwee +3x -7] = x4 + 11x3 - 6xtwee -9x -6
De lezer kan verifiëren dat het resultaat identiek is als het wordt opgelost door middel van de optie A (x) + [B (x) + C (x)].
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.