De Riemann-som is de naam die wordt gegeven aan de benaderende berekening van een bepaalde integraal, door middel van een discrete sommatie met een eindig aantal termen. Een veel voorkomende toepassing is de benadering van het gebied van functies op een grafiek.
Het was de Duitse wiskundige Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) die voor het eerst een rigoureuze definitie gaf van de integraal van een functie in een bepaald interval. Hij maakte het bekend in een artikel dat in 1854 werd gepubliceerd.
De Riemann-som wordt gedefinieerd op basis van een functie y = f (x), waarbij x behoort tot het gesloten interval [a, b]. Op dit interval wordt een partitie P van n elementen gemaakt:
P = x0= een, x1, Xtwee,..., xn= b
Dit betekent dat het interval als volgt is verdeeld:
Xk-1 ≤ tk ≤ xk
Figuur 1 toont grafisch de Riemann-som van de functie f op het interval [x0, X4] op een partitie van vier subintervallen, de grijze rechthoeken.
De som vertegenwoordigt de totale oppervlakte van de rechthoeken en het resultaat van deze som benadert numeriek de oppervlakte onder de curve f, tussen de abscis x = x0 y x = x4.
Natuurlijk verbetert de benadering van het gebied onder de curve aanzienlijk naarmate het aantal toeneemt n partities is groter. Op deze manier convergeert de som naar het gebied onder de curve, wanneer het getal n van partities neigt naar oneindig.
Artikel index
De Riemann-som van de functie f (x) op de partitie:
P = x0= een, x1, Xtwee,..., xn= b
Gedefinieerd op het interval [a, b], wordt het gegeven door:
S (P, f) = ∑k = 1n f (tk) (xk - Xk-1
Waar Tk is een waarde op het interval [xk, Xk-1In de Riemann-som worden meestal regelmatige intervallen met breedte Δx = (b - a) / n gebruikt, waarbij a en b de minimum- en maximumwaarden van de abscis zijn, terwijl n het aantal onderverdelingen is.
In dat geval is het Riemann juiste som het is:
Sd (f, n) = [f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f (a + (n-1) Δx) + f (b)] * Δx
Terwijl de Riemann verliet som wordt uitgedrukt als:
Als (f, n) = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
Eindelijk, de centrale Riemann-som het is:
Sc (f, n) = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
Afhankelijk van waar het punt t zich bevindtk op het interval [xk, Xk-1] de Riemann-som kan de exacte waarde van het gebied onder de curve van de functie y = f (x) overschatten of onderschatten. Met andere woorden, de rechthoeken kunnen uit de curve steken of er iets onder staan..
De belangrijkste eigenschap van de Riemann-som en waarvan het belang is afgeleid, is dat als het aantal onderverdelingen naar oneindig neigt, het resultaat van de som convergeert naar de bepaalde integraal van de functie:
Bereken de waarde van de bepaalde integraal tussen a = -2 tot en met b = +2 van de functie:
f (x) = xtwee
Maak gebruik van een Riemann-som. Om dit te doen, zoek eerst de som voor n reguliere partities van het interval [a, b] en neem vervolgens de wiskundige limiet voor het geval dat het aantal partities naar oneindig neigt.
Dit zijn de te volgen stappen:
-Definieer eerst het interval van de partities als:
Δx = (b - a) / n.
-Dan ziet de Riemann-som van rechts die overeenkomt met de functie f (x) er als volgt uit:
[-2 + (4i / n)]twee = 4 - (16 i / n) + (4 / n)twee iktwee
-En dan wordt het zorgvuldig vervangen in de sommatie:
-De volgende stap is om de sommaties te scheiden en de constante grootheden als een gemeenschappelijke factor van elke som te nemen. Houd er rekening mee dat de index i is, dus de cijfers en de termen met n worden als constant beschouwd:
-Elke sommatie wordt geëvalueerd, aangezien er voor elk ervan passende uitdrukkingen zijn. De eerste som geeft bijvoorbeeld n:
S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6ntwee
-Ten slotte hebben we dat de integraal die we willen berekenen is:
= 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333
De lezer kan verifiëren dat dit het exacte resultaat is, dat kan worden verkregen door de onbepaalde integraal op te lossen en de limieten van integratie te evalueren volgens de regel van Barrow.
Bepaal ongeveer het gebied onder de functie:
f (x) = (1 / √ (2π)) e(-Xtwee/twee)
Voer x = -1 en x = + 1 in, met een centrale Riemann-som met 10 partities. Vergelijk met het exacte resultaat en schat het procentuele verschil.
De stap of toename tussen twee opeenvolgende discrete waarden is:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Dus de partitie P waarop de rechthoeken zijn gedefinieerd, ziet er als volgt uit:
P = -1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0.2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0
Maar aangezien wat gewenst is de centrale som is, wordt de functie f (x) geëvalueerd in het midden van de subintervallen, dat wil zeggen in de set:
T = -0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9.
De (centrale) Riemann-som ziet er als volgt uit:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Omdat de functie f symmetrisch is, is het mogelijk om de som terug te brengen tot slechts 5 termen en wordt het resultaat vermenigvuldigd met twee:
S = 2 * 0,2 * f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)
S = 2 * 0,2 * 0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266 = 0,683
De functie die in dit voorbeeld wordt gegeven, is niets anders dan de bekende Gaussische bel (genormaliseerd, met gemiddelde gelijk aan nul en standaarddeviatie één). Het gebied onder de curve in het interval [-1,1] voor deze functie is bekend als 0,6827.
Dit betekent dat de geschatte oplossing met slechts 10 termen overeenkomt met de exacte oplossing tot op drie decimalen. De procentuele fout tussen de geschatte en de exacte integraal is 0,07%.
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.