Fundamentele stelling van rekenkundig bewijs, toepassingen, oefeningen

De De fundamentele stelling van rekenkunde stelt dat elk natuurlijk getal groter dan 1 kan worden ontleed als een product van priemgetallen - sommige kunnen worden herhaald - en deze vorm is uniek voor dat getal, hoewel de volgorde van de factoren kan verschillen.

Bedenk dat een priemgetal p Het is degene die zichzelf alleen erkent en 1 als positieve delers De volgende getallen zijn priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13 enzovoort, aangezien er oneindigheden zijn. Het getal 1 wordt niet als een priemgetal beschouwd, omdat het een enkele deler heeft.

De nummers die niet aan het bovenstaande voldoen, worden op hun beurt gebeld samengestelde nummers, als 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 ... Laten we als voorbeeld het getal 10 nemen en we zien meteen dat het kan worden afgebroken als een product van 2 en 5:

10 = 2 × 5

Zowel 2 als 5 zijn in feite priemgetallen. De stelling stelt dat dit mogelijk is voor elk getal n:

Waar p₁, p_twee, p₃... p_r zijn priemgetallen en k₁, k_twee, k₃,... k_r het zijn natuurlijke getallen. De priemgetallen werken dus als de stenen waaruit, door vermenigvuldiging, de natuurlijke getallen worden opgebouwd.

Artikel index

• 1 Bewijs van de fundamentele stelling van de rekenkunde
  • 1.1 Uniekheid van factorisatie in priemgetallen
• 2 Toepassingen
  • 2.1 Priemgetallen in de natuur
  • 2.2 Priemgetallen en online winkelen
• 3 Opgeloste oefeningen
  • 3.1 - Oefening 1
  • 3.2 - Oefening 2
• 4 referenties

Bewijs van de fundamentele stelling van de rekenkunde

We beginnen met aan te tonen dat elk getal kan worden opgesplitst in priemfactoren. Laat een natuurlijk getal n> 1, priemgetal of samengesteld getal zijn.

Als n = 2 bijvoorbeeld, kan het worden uitgedrukt als: 2 = 1 × 2, wat een priemgetal is. Ga op dezelfde manier verder met de volgende nummers:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

We gaan zo door en ontbinden alle natuurlijke getallen totdat we het getal n -1 bereiken. Laten we kijken of we het kunnen doen met het volgende nummer: n.

Als n een priemgetal is, kunnen we het ontleden als n = 1 × n, maar stel dat n samengesteld is en een deler d heeft, logisch gezien kleiner dan n:

1< d < n.

Als n / d = p₁, met P₁ een priemgetal, dan wordt n geschreven als:

n = p₁.d

Als d een priemgetal is, is er niets meer te doen, maar als dat niet het geval is, is er een getal n_twee wat een deler is van d en kleiner dan dit: n_twee < d, por lo que d podrá escribirse como el producto de n_twee door een ander priemgetal p_twee​

d = p_twee n_twee

Dat bij het vervangen van het oorspronkelijke nummer n zou geven:

n = p₁ .p_twee .n_twee

Stel nu dat n_twee een van beide is een priemgetal en we schrijven het als het product van een priemgetal p₃, door een deler van jou n₃, zodanig dat n₃ < n_twee < n₁ < n:

n_twee = p₃.n₃ → n = p₁ p_twee p₃.n₃

 We herhalen deze procedure een eindig aantal keren totdat we het volgende verkrijgen:

n = p₁.p_twee.p₃ ... p_r

Dit betekent dat het mogelijk is om te ontbinden iedereen hele getallen van 2 tot n, als een product van priemgetallen.

Uniciteit van priemfactorisatie

Laten we nu nagaan of deze ontbinding uniek is, afgezien van de volgorde van de factoren. Stel dat n op twee manieren kan worden geschreven:

n = p₁.p_twee.p₃ ... p_r = q_1.wat_twee.wat₃... wat_s  (met r ≤ s)

Natuurlijk dat₁, wat_twee, wat₃... zijn ook priemgetallen. Zoals p₁ deel a (q_1.wat_twee.wat₃... wat_s) Dan p₁ gelijk is aan een van de "q", het maakt niet uit waarop, dus we kunnen zeggen dat p₁ = q₁. We delen n door p₁ en we krijgen:

p_twee.p₃ ... p_r ​_.wat_twee.wat₃... wat_s

We herhalen de procedure totdat we alles door p delen_r, dan krijgen we:

1 = q_{r + 1}... wat_s

Maar het is niet mogelijk om tot wat te komen_{r + 1}... wat_s = 1 wanneer r < s, solo si r = s. Aunque al admitir que r = s, también se admite que los “p” y los “q” son los mismos. Por lo tanto la descomposición es única.

Toepassingen

Zoals we eerder hebben gezegd, vertegenwoordigen de priemgetallen, zo je wilt, de atomen van de getallen, hun basiscomponenten. De fundamentele rekenkunde heeft dus talloze toepassingen, de meest voor de hand liggende: we kunnen gemakkelijker met grote getallen werken als we ze uitdrukken als het product van kleinere getallen..

Op dezelfde manier kunnen we het grootste gemene veelvoud (LCM) en de grootste gemene deler (GCF) vinden, een procedure die ons helpt om gemakkelijker sommen breuken te maken, wortels van grote getallen te vinden of met radicalen te werken, te rationaliseren en applicatieproblemen van zeer uiteenlopende aard oplossen.

Bovendien zijn priemgetallen buitengewoon raadselachtig. Een patroon wordt er nog niet in herkend en het is niet mogelijk om te weten welk het volgende zal zijn. De grootste tot nu toe is gevonden door computers en heeft 24.862.048 cijfers, hoewel de nieuwe priemgetallen steeds minder vaak voorkomen.

Priemgetallen in de natuur

De krekels, cicádidos of krekels die in het noordoosten van de Verenigde Staten leven, ontstaan ​​in cycli van 13 of 17 jaar. Het zijn beide priemgetallen.

Op deze manier vermijden de krekels samenvallen met roofdieren of concurrenten die een andere geboorteperiode hebben, noch concurreren de verschillende soorten krekels met elkaar, omdat ze niet samenvallen in hetzelfde jaar..

Priemgetallen en online winkelen

Priemgetallen worden in cryptografie gebruikt om creditcardgegevens geheim te houden bij het doen van aankopen via internet. Op deze manier komen de gegevens die de koper precies in de winkel aankomt zonder te verdwalen of in handen te vallen van gewetenloze mensen..

Hoe? De gegevens op de kaarten zijn gecodeerd in een getal N dat kan worden uitgedrukt als het product van priemgetallen. Deze priemgetallen zijn de sleutel die de gegevens onthullen, maar ze zijn onbekend bij het publiek, ze kunnen alleen worden gedecodeerd op het web waarnaar ze zijn doorverwezen.

Het opsplitsen van een getal in factoren is een gemakkelijke taak als de getallen klein zijn (zie de opgeloste opgaven), maar in dit geval worden priemgetallen van 100 cijfers als sleutel gebruikt, die bij het vermenigvuldigen veel grotere getallen opleveren, waarvan de gedetailleerde ontbinding een enorme taak.

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Ontleed 1029 in priemfactoren.

Oplossing

1029 is deelbaar door 3. Het is bekend omdat bij het optellen van de cijfers de som een ​​veelvoud is van 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Aangezien de volgorde van de factoren het product niet verandert, kunnen we daar beginnen:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Aan de andere kant 343 = 7³, dan:

1029 = 3 × 7³ = 3 × 7 × 7 × 7

En aangezien zowel 3 als 7 priemgetallen zijn, is dit de ontbinding van 1029.

- Oefening 2

Factor de trinominale x^twee + 42x + 432.

Oplossing

De trinominale wordt herschreven in de vorm (x + a). (x + b) en we moeten de waarden van a en b vinden, zodat:

a + b = 42; a.b = 432

Het getal 432 wordt opgesplitst in priemfactoren en van daaruit wordt de juiste combinatie met vallen en opstaan ​​gekozen, zodat de toegevoegde factoren 42 geven.

432 = 2⁴ × 3³ = 2 × 3³× 2³ = 2⁴× 3^twee × 3 = ...

Vanaf hier zijn er verschillende mogelijkheden om 432 te schrijven:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72 ... .

En ze kunnen allemaal worden gevonden door producten tussen de priemfactoren te combineren, maar om de voorgestelde oefening op te lossen, is de enige geschikte combinatie: 432 = 24 × 18 sinds 24 + 18 = 42, dan:

X^twee + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)

Referenties

1. Baldor, A. 1986. Theoretische praktische rekenkunde. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos S.A.
2. BBC Wereld. De verborgen natuurcode. Hersteld van: bbc.com.
3. De Leon, Manuel Priemgetallen: de bewakers van internet. Hersteld van: blogs.20minutos.es.
4. UNAM. Getaltheorie I: Fundamentele Theorema van de rekenkunde. Hersteld van: teoriadenumeros.wikidot.com.
5. Wikipedia. De fundamentele stelling van rekenkunde. Hersteld van: es.wikipedia.org.