De Fourier-transformatie is een methode van analytische geschiktheid gericht op integreerbare functies die tot de familie van t behorenintegraal getransformeerd. Het bestaat uit een herdefinitie van functies F. (t) in termen van Cos (t) en Sen (t).
De trigonometrische identiteiten van deze functies, samen met hun afleidings- en antiderivatiekenmerken, dienen om de Fourier-transformatie te definiëren door middel van de volgende complexe functie:
Dat is waar zolang de uitdrukking zinvol is, dat wil zeggen, wanneer de oneigenlijke integraal convergent is. Algebraïsch wordt gezegd dat de Fourier-transformatie een lineair homeomorfisme is.
Elke functie die kan worden gebruikt met een Fourier-transformatie, moet null zijn buiten een gedefinieerde parameter.
Artikel index
De Fourier-transformatie voldoet aan de volgende eigenschappen:
Om het bestaan van de Fourier-transformatie te verifiëren in een functie f (t) gedefinieerd in de reals R, aan de volgende 2 axioma's moet worden voldaan:
Laat M (t) en N (t) twee willekeurige functies zijn met welomlijnde Fourier-transformaties, met alle constanten a en b.
F. [een M (t) + b N (t)] (z) = een F. [M (t)] (z) + b F. [N (t)] (z)
Wat ook wordt ondersteund door de lineariteit van de integraal met dezelfde naam.
Het heeft een functie F. die continu en integreerbaar is in alle reële getallen, waarbij:
En de afgeleide van f (f ') is continu en afgebakend gedefinieerd R
De Fourier-transformatie van een afgeleide wordt gedefinieerd door integratie door delen, door de volgende uitdrukking:
F. [f '(t)] (z) = izF. [f (t)] (z)
Bij afleidingen van hogere orde zal het op een homologe manier worden toegepast, waarbij we voor alle n 1 hebben:
F. [f n'(t)] (z) = (iz)nF. [f (t)] (z)
Het heeft een functie F. die continu en integreerbaar is in alle reële getallen, waarbij:
ik (d / dz)F. [f (t)] (z) = F. [t. f (t)] (z)
Voor iedereen θ die behoort tot een set S en T die tot de set S 'behoort, hebben we:
F [ τnaar θ] = en-ja F. θ] F [ τnaarT en-iax F. T]
Met τnaar werken als de vertaaloperator op de vector a.
Voor iedereen θ die behoort tot een set S en T die tot de set S 'behoort, hebben we:
τnaar F. [θ] = F. [en-iax.θ] τnaar F [T F. [en-ja . T]
Voor iedereen naar die behoort tot R
Voor iedereen θ die behoort tot een set S. T die behoort tot de set S '
λ behorend bij R - 0 je moet:
F. [θ (λx)] = (1 / | λ |) F. [θ] (Y /λ
F. [T (λx)] = (1 / | λ |) F. [T] (y / λ
Ja F. is een continue en duidelijk integreerbare functie, waarbij a> 0. Dan:
F [f (at)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)
Om dit resultaat te demonstreren, kunnen we doorgaan met de verandering van variabele.
Als T → + dan s = bij → + ∞
Als T → - dan s = bij → - ∞
Om de symmetrie van de Fourier-transformatie te bestuderen, moet de identiteit van Parseval en de Plancherel-formule worden geverifieerd.
We hebben θ en δ die bij horen S. Daaruit kan worden afgeleid dat:
Krijgen
1 / (2π)d F [θ ], F [8 Parseval's identiteit
1 / (2π)d / 2 F [θ L.tweeRd Plancherel-formule
Bij het nastreven van vergelijkbare doelstellingen als in de Laplace-transformatie, verwijst de convolutie van functies naar het product tussen hun Fourier-transformaties.
We hebben f en g als 2 begrensde, welomlijnde en volledig integreerbare functies:
F (f * g) = F (f). F (g)
Dan bij het wijzigen van de variabele
t + s = x; het gaat verder met de onjuiste dubbele integraal
F (f). F (g) = F (f. G)
Voor iedereen θ die toebehoort aan R, F [ θ] voldoet aan de criteria van een continue functie begrensd door Rd.
Ook F [ θ] (y) → 0 in C als | y |
Dit wiskundige concept werd gepresenteerd door Joseph B. Fourier in 1811 tijdens het ontwikkelen van een verhandeling over de warmteverspreiding. Het werd snel overgenomen door verschillende takken van wetenschap en techniek.
Het werd vastgesteld als het belangrijkste werkinstrument bij de studie van vergelijkingen met partiële afgeleiden, zelfs door het te vergelijken met de bestaande werkrelatie tussen de Laplace-transformatie en gewone differentiaalvergelijkingen.
Het dient voornamelijk om vergelijkingen aanzienlijk te vereenvoudigen, terwijl afgeleide uitdrukkingen worden omgezet in machtselementen, waarmee differentiële uitdrukkingen worden aangeduid in de vorm van integreerbare veeltermen..
Bij de optimalisatie, modulatie en modellering van resultaten fungeert het als een gestandaardiseerde uitdrukking en is het na verschillende generaties een veelvoorkomend hulpmiddel voor engineering.
Het zijn series gedefinieerd in termen van cosinus en sinus; Ze dienen om het werken met algemene periodieke functies te vergemakkelijken. Wanneer ze worden toegepast, maken ze deel uit van de technieken voor het oplossen van gewone en partiële differentiaalvergelijkingen..
De Fourier-serie is zelfs algemener dan de Taylor-serie, omdat ze periodiek discontinue functies ontwikkelen die geen Taylor-reeksweergave hebben..
Om de Fourier-transformatie analytisch te begrijpen, is het belangrijk om de andere manieren te bekijken waarop de Fourier-reeks kan worden gevonden, totdat we de Fourier-reeks in zijn complexe notatie kunnen definiëren..
Vaak is het nodig om de structuur van een Fourier-reeks aan te passen aan periodieke functies waarvan de periode p = 2L> 0 is in het interval [-L, L].
Er wordt rekening gehouden met het interval [-π, π], wat voordelen biedt bij het benutten van de symmetrische kenmerken van de functies.
Als f even is, wordt de Fourier-reeks vastgesteld als een reeks cosinussen.
Als f oneven is, wordt de Fourier-reeks vastgesteld als een reeks Sines.
Als we een functie f (t) hebben, die voldoet aan alle ontwikkelbaarheidseisen van de Fourier-reeks, is het mogelijk om deze in het interval [-t, t] aan te duiden met behulp van de complexe notatie:
De Fourier-transformatie is een krachtig hulpmiddel bij de studie van partiële differentiaalvergelijkingen van het lineaire type met constante coëfficiënten. Ze zijn evenzeer van toepassing op functies met onbegrensde domeinen.
Net als de Laplace-transformatie, transformeert de Fourier-transformatie een partiële afgeleide functie in een gewone differentiaalvergelijking die veel eenvoudiger te bedienen is..
Het Cauchy-probleem voor de warmtevergelijking presenteert een gebied van frequente toepassing van de Fourier-transformatie waarbij de functie wordt gegenereerd warmtekern of Dirichlet-kern.
Met betrekking tot de berekening van de fundamentele oplossing, worden de volgende gevallen gepresenteerd waarin het gebruikelijk is om de Fourier-transformatie te vinden:
-Laplace-vergelijking
-Warmtevergelijking
-Schrödingervergelijking
-Wave vergelijking
De algemene reden voor de toepassing van de Fourier-transformatie in deze tak is voornamelijk te wijten aan de karakteristieke ontleding van een signaal als een oneindige superpositie van gemakkelijker te behandelen signalen.
Het kan een geluidsgolf zijn of een elektromagnetische golf, de Fourier-transformatie drukt het uit in een superpositie van eenvoudige golven. Deze weergave komt vrij vaak voor in de elektrotechniek.
Aan de andere kant zijn er voorbeelden van de toepassing van de Fourier-transformatie op het gebied van signaaltheorie:
-Systeemidentificatieproblemen. Gevestigd f en g
-Consistentieprobleem uitgangssignaal
-Problemen met signaalfiltering
Definieer de Fourier-transformatie voor de volgende uitdrukking:
We kunnen het ook op de volgende manier vertegenwoordigen:
F (t) = Sen (t) [H(t + k) - H.(t - k)
De rechthoekige puls is gedefinieerd:
p (t) = H(t + k) - H.(t - k)
De Fourier-transformatie wordt toegepast op de volgende uitdrukking die lijkt op de modulatiestelling.
f (t) = p (t) Sen (t)
Waar: F [w] = (1/2) i [p (w + 1) - p (w - 1)]
En de Fourier-transformatie wordt gedefinieerd door:
F [w] = (1/2) i [(2 / 2w + 1) Sen (k (w + 1)) - (2 / 2w + 1) Sen (k (w-1))]
Definieer de Fourier-transformatie voor de uitdrukking:
Aangezien f (h) een even functie is, kan worden gesteld dat
Integratie door onderdelen wordt toegepast door de variabelen en hun verschillen als volgt te selecteren
u = sin (zh) du = z cos (zh) dh
dv = h (e-htwee v = (e-htwee / twee
Je hebt vervangen
Na evaluatie onder de fundamentele stelling van de calculus
Als we voorkennis over differentiaalvergelijkingen van de eerste orde toepassen, wordt de uitdrukking aangeduid als
Om K te krijgen evalueren we
Ten slotte wordt de Fourier-transformatie van de uitdrukking gedefinieerd als
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.