De discrete Fourier-transformatie is een numerieke methode die wordt gebruikt om samples te definiëren die verwijzen naar de spectrale frequenties waaruit een signaal bestaat. Bestudeer periodieke functies in gesloten parameters, wat een ander discreet signaal oplevert.
Om de discrete Fourier-transformatie van N-punten op een discreet signaal te verkrijgen, moet op een reeks aan de volgende 2 voorwaarden worden voldaan x [n]
x [n] = 0 n < 0 ˄ n > N - 1
Als aan deze voorwaarden is voldaan, kan de discrete Fourier-transformatie worden gedefinieerd als
De discrete Fourier-transformatie kan worden gedefinieerd als een N-punts bemonstering van de Fourier-transformatie.
Artikel index
Er zijn 2 gezichtspunten van waaruit de resultaten verkregen op een reeks x kunnen worden geïnterpreteerds[n] via de discrete Fourier-transformatie.
-De eerste komt overeen met de spectrale coëfficiënten, al bekend uit de Fourier-reeks. Het wordt waargenomen in discrete periodieke signalen, waarbij monsters samenvallen met de reeks xs[n].
-De tweede behandelt het spectrum van een discreet aperiodisch signaal, met monsters die overeenkomen met de reeks xs[n].
De discrete transformatie is een benadering van het spectrum van het originele analoge signaal. De fase hangt af van de bemonsteringsmomenten, terwijl de grootte afhangt van het bemonsteringsinterval..
De algebraïsche grondslagen van de structuur vormen de logische grondslagen van de volgende secties.
C. Sn → C. F [SkAls een reeks wordt vermenigvuldigd met een scalair, zal de transformatie dat ook zijn.
Tn + V.n = F [Tk] + F [VkDe transformatie van een som is gelijk aan de som van de transformaties.
F [Sn] → (1 / N) S-k; Als de discrete Fourier-transformatie opnieuw wordt berekend naar een uitdrukking die al is getransformeerd, wordt dezelfde uitdrukking verkregen, geschaald in N en omgekeerd ten opzichte van de verticale as.
Bij het nastreven van vergelijkbare doelstellingen als in de Laplace-transformatie, verwijst de convolutie van functies naar het product tussen hun Fourier-transformaties. Convolutie is ook van toepassing op discrete tijden en is verantwoordelijk voor veel moderne procedures..
Xn * Rn → F [Xn] .F [RnDe transformatie van een convolutie is gelijk aan het product van de transformaties.
Xn . Rn→ F [Xn] * F [RnDe transformatie van een product is gelijk aan de convolutie van de transformaties.
Xn-m → F [Xk] e -i (2π / N) km Als een reeks wordt vertraagd in m samples, zal het effect op de discrete transformatie een wijziging zijn van de hoek gedefinieerd door (2π / N) km.
Xt [-k] = X *t[k] = Xt [N - K]
W.-nmN . x [n] ↔ Xt[k - m]
x [n] y [n] ↔ (1 / N) Xt[k] * Yt[k]
X [-n] ↔ Xt[-k] = X *t[k]
x * [n] ↔ X *t[-k]
Met betrekking tot de conventionele Fourier-transformatie heeft deze verschillende overeenkomsten en verschillen. De Fourier-transformatie zet een reeks om in een ononderbroken lijn. Op deze manier wordt gezegd dat het resultaat van de Fourier-variabele een complexe functie is van een reële variabele.
De discrete Fourier-transformatie ontvangt, in tegenstelling tot, een discreet signaal en zet het om in een ander discreet signaal, dat wil zeggen een reeks.
Ze dienen voornamelijk om vergelijkingen aanzienlijk te vereenvoudigen, terwijl ze afgeleide uitdrukkingen omzetten in machtselementen. Ter aanduiding van differentiële uitdrukkingen in vormen van integreerbare veeltermen.
Bij de optimalisatie, modulatie en modellering van resultaten fungeert het als een gestandaardiseerde uitdrukking en is het na verschillende generaties een veelvoorkomend hulpmiddel voor engineering.
Dit wiskundige concept werd in 1811 gepresenteerd door Joseph B. Fourier, terwijl hij een verhandeling over de warmteverspreiding. Het werd snel overgenomen door verschillende takken van wetenschap en techniek.
Het werd vastgesteld als het belangrijkste werkinstrument bij de studie van vergelijkingen met partiële afgeleiden, zelfs door het te vergelijken met de bestaande werkrelatie tussen de Laplace-transformatie en gewone differentiaalvergelijkingen.
Elke functie die kan worden gebruikt met een Fourier-transformatie, moet null zijn buiten een gedefinieerde parameter.
De discrete transformatie wordt verkregen door de uitdrukking:
Na het geven van een discrete reeks X [n]
De inverse van de discrete Fourier-transformatie wordt gedefinieerd door de uitdrukking:
Zodra de discrete transformatie is bereikt, kan de reeks worden gedefinieerd in het tijdsdomein X [n].
Het parametrisatieproces dat overeenkomt met de discrete Fourier-transformatie ligt in de windowing. Om de transformatie uit te voeren, moeten we de volgorde in de tijd beperken. In veel gevallen hebben de signalen in kwestie deze beperkingen niet.
Een reeks die niet voldoet aan de groottecriteria om toe te passen op de discrete transformatie, kan worden vermenigvuldigd met een "venster" -functie V [n], waarmee het gedrag van de reeks wordt gedefinieerd in een gecontroleerde parameter.
X [n]. V [n]
De breedte van het spectrum is afhankelijk van de breedte van het venster. Naarmate de breedte van het venster toeneemt, wordt de berekende transformatie smaller.
De discrete Fourier-transformatie is een krachtig hulpmiddel bij de studie van discrete sequenties.
De discrete Fourier-transformatie transformeert een continue variabele functie in een discrete variabele transformatie.
Het Cauchy-probleem voor de warmtevergelijking vormt een veelvoorkomend toepassingsgebied van de discrete Fourier-transformatie. Waar de functie wordt gegenereerd warmtekern of Dirichlet-kern, die van toepassing is op bemonstering van waarden in een gedefinieerde parameter.
De algemene reden voor de toepassing van de discrete Fourier-transformatie in deze tak is voornamelijk te wijten aan de karakteristieke ontleding van een signaal als een oneindige superpositie van gemakkelijker te behandelen signalen.
Het kan een geluidsgolf zijn of een elektromagnetische golf, de discrete Fourier-transformatie drukt het uit in een superpositie van eenvoudige golven. Deze weergave komt vrij vaak voor in de elektrotechniek.
Het zijn series gedefinieerd in termen van cosinus en sinus. Ze dienen om het werken met algemene periodieke functies te vergemakkelijken. Wanneer ze worden toegepast, maken ze deel uit van de technieken voor het oplossen van gewone en partiële differentiaalvergelijkingen..
De Fourier-serie is zelfs algemener dan de Taylor-serie, omdat ze periodiek discontinue functies ontwikkelen die geen Taylor-reeksweergave hebben..
Om de Fourier-transformatie analytisch te begrijpen, is het belangrijk om de andere manieren te bekijken waarop de Fourier-reeks kan worden gevonden, totdat we de Fourier-reeks in zijn complexe notatie kunnen definiëren..
Vaak is het nodig om de structuur van een Fourier-reeks aan te passen aan periodieke functies waarvan de periode p = 2L> 0 is in het interval [-L, L].
Er wordt rekening gehouden met het interval [-π, π], wat voordelen biedt bij het benutten van de symmetrische kenmerken van de functies.
Als f even is, wordt de Fourier-reeks vastgesteld als een reeks cosinussen.
Als f oneven is, wordt de Fourier-reeks vastgesteld als een reeks Sines.
Als we een functie f (t) hebben, die aan alle vereisten van de Fourier-reeks voldoet, is het mogelijk om deze in het interval [-t, t] aan te duiden met behulp van de complexe notatie:
Met betrekking tot de berekening van de fundamentele oplossing worden de volgende voorbeelden gegeven:
Laplace-vergelijking
Warmtevergelijking
Schrödingervergelijking
Wave vergelijking
Anderzijds zijn de volgende voorbeelden van de toepassing van de discrete Fourier-transformatie op het gebied van signaaltheorie:
-Systeemidentificatieproblemen. Gevestigd f en g
-Consistentieprobleem uitgangssignaal
-Problemen met signaalfiltering
Bereken de discrete Fourier-transformatie voor de volgende reeks.
U kunt de PTO van x [n] definiëren als:
Xt[k] = 4, -j2, 0, j2 voor k = 0, 1, 2, 3
We willen door middel van een digitaal algoritme het spectrale signaal bepalen dat wordt gedefinieerd door de uitdrukking x (t) = e-t. Waarbij de maximale frequentie-aanvragende coëfficiënt f ism= 1Hz. Een harmonische komt overeen met f = 0,3 Hz. De fout is beperkt tot minder dan 5%. Berekenen F.s , D en N.
Rekening houdend met de steekproefstelling F.s = 2fm = 2 Hz
Een frequentieresolutie van F.0 = 0,1 Hz, vanwaar je D = 1 / 0.1 = 10s krijgt
0,3 Hz is de frequentie die overeenkomt met de index k = 3, waarbij N = 3 × 8 = 24 monsters. Aangeeft dat F.s = N / A = 24/10 = 2,4> 2
Aangezien het doel is om de laagst mogelijke waarde voor N te krijgen, kunnen de volgende waarden als oplossing worden beschouwd:
F.0 = 0,3 Hz
D = 1 / 0,3 = 3,33 s
k = 1
N = 1 × 8 = 8
Niemand heeft nog op dit artikel gereageerd.